Gammaリスク：単位、ポジションの曲率、ヘッジ、フル・リプライシング

Gammaの単位と符号、ポジション換算、局所的なDelta-Gamma損益、Cash Gammaの名称、離散ヘッジ、フル・リプライシング、ライフサイクル・リスクを検証します。

教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資では損失が生じる可能性があります。

直接的な答え

オプション価値 V(S,...) に対し、Gammaは局所的な曲率 Gamma_i = partial Delta_i / partial S = partial^2 V_i / partial S^2 です。Deltaをオプション1単位当たりの原資産単位、Sをドルで測る場合、単位Gammaは原資産が $1 動いたときのDelta変化です。契約数量 q、乗数または受渡し数量 M、株式ヘッジ h を持つ符号付きポジションでは、Delta_pos = q x M x Delta_i + h、Gamma_pos = q x M x Gamma_i です。

通常のバニラ・オプションでは、単位Gammaは一般にロングで正、ショートのポジション符号を適用すると負です。この規則をすべてのデジタル、バリア、調整後、経路依存、権利行使境界のエクスポージャーに一般化してはいけません。方向は一度だけ適用します。データ・フィードがすでに符号付きでポジション換算済みのGammaを提供する場合、q や M を再度掛けません。

符号付き曲率とヘッジ記録の構築

正確なシリーズ、評価時点、ロングまたはショート、数量、乗数、現行の受渡し対象、通貨、権利行使方式、決済方法、株式または代理ヘッジを確定します。
価格座標と単位を明示します。スポットのドル、指数ポイント、先物ポイント、変化率、1株当たり、1契約当たり、または集計済みのポジション感応度のいずれかです。
モデルが使用するスポット、時間、金利、配当、株券調達、ボラティリティ・サーフェス、サーフェス動学規則を固定します。Gammaはこれらの入力から独立していません。
単位および符号付きポジションのDeltaとGammaを別々に計算し、グロスとネットの各レッグを保持します。プラットフォームが符号、数量、乗数、現金換算をすでに適用していないか確認します。
凍結した状態での小幅な変動には、Delta_pos_new ~= Delta_pos_old + Gamma_pos x Delta S と Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2 を使います。省略したTheta、Vega、キャリー、クロス・グリークス、コストの項を明記します。
中心有限差分、対称な上昇・下落ショック、複数のバンプ幅、およびスポット、時間、サーフェス、ジャンプ、流動性のシナリオでのフル・リプライシングにより検証し、ヘッジ注文と実際の約定を記録します。
オプション、株式、現金、配当、資金調達、株券調達、取引費用、証拠金、権利行使、アサインメント、決済、手数料、税金、および局所的な要因分解と実損益の残差を照合します。

Cash GammaとDollar Gammaの名称は標準化されていません。一般的な定義の1つは CashGamma = Gamma_pos x S^2 です。リターン r_move に対してGammaがもたらすDollar-Deltaの変化は CashGamma x r_move です。Gamma一定なら、その変動に対する二次損益は 0.5 x CashGamma x r_move^2 です。ベンダーによっては 0.5 を含める、1パーセント・ポイントのショックを使う、符号付きポジション値を示す場合があるため、名称には式と単位を添える必要があります。

Delta中立のポジションにもGammaリスクがあります。変動後、局所Deltaはおよそ Gamma_pos x Delta S だけ再び現れます。ロングGammaのリバランスでは上昇後に売り、下落後に買うことができますが、理論上の曲率収益がTheta、ボラティリティ再評価、スプレッド、インパクト、資金調達、ヘッジ誤差を上回らなければなりません。市場が閉じている間のギャップを連続的に取引することはできません。

4つの計算例

符号付きポジションの曲率：ロング・コール10枚の条件を M = 100、Delta_i = 0.50、Gamma_i = 0.08 shares/$ とします。すると Delta_pos = 500 shares、Gamma_pos = 80 shares/$ です。Delta S = +$2 なら推定Deltaは 660 shares、損益は +$1,160 です。Delta S = -$2 なら推定Deltaは 340 shares、損益は -$840 です。各シナリオで曲率が +$160 寄与するため、対となる曲率の合計は +$320 です。2つの総損益の差は $2,000 です。
Cash Gammaの規約：ロング・コール5枚の条件を M = 100、Gamma_i = 0.08 shares/$、S = $100 とします。すると Gamma_pos = 40 shares/$、CashGamma = $400,000 です。1% の変動でGammaがもたらすDollar-Delta成分は $4,000、二次のGamma損益は 0.5 x $400,000 x 0.01^2 = $20 です。2% の変動ならGamma損益は $80 です。式のない名称から、どの数値を指すか判断できません。
離散的なGammaスキャルピング：Delta中立から始め、教材用のGamma一定仮定 Gamma_pos = 50 shares/$ を置きます。経路は +$2 動いて再ヘッジし、その後 -$2 動いて再びヘッジします。各区間の局所Gamma寄与は $100、合計 $200 です。Thetaは -$120、2回のヘッジ取引は各 $15 のコストです。純損益は $200 - $120 - $30 = $50 です。Gamma、約定、サーフェス、経路を単純化しているため、これは保証された取引結果ではありません。
局所近似とフル・リプライシング：ヨーロピアン型コールの条件を S = $100、K = $100、r = 4%、q_div = 1%、sigma = 25%、tau = 0.5 とします。Black-Scholesでは V0 = $7.7215522303、Delta = 0.5659323171、Gamma = 0.0221205770 です。Delta S = +$5 に対する二次推定は $3.1061687980 です。IVを変えないフル・リプライシングは $3.0956949428 で、誤差は $0.0104738552/share、すなわち $1.047386（M = 100 の場合）です。IVも 30% に上昇すると総変化は $4.4412937626 となり、元のDeltaとGammaだけには帰属できません。

Gamma管理の破綻要因

ロングとショートの符号を省略する、または二重に適用する。
数量と乗数を省略・重複する、またはベンダー出力にすでに含まれている。
調整後の受渡し対象や現金ポイント価値を標準的な株式乗数として扱う。
スポット、フォワード、先物、指数ポイント、通貨、リターンの座標を混同する。
$1 の変動と 1% の変動を混同する。
Cash Gamma、Dollar Gamma、Gamma損益、Dollar-Delta変化を式なしで使用する。
Taylor係数 0.5 を省略する、または二重に適用する。
単位、契約、ポジションのGammaを正規化せず比較する。
スポット、時間、金利、配当、株券調達、モデル入力が古い。
スティッキー・ストライク、スティッキーDeltaなどのサーフェス動学仮定が不整合である。
IV水準、スキュー、期間構造、Vanna、Volga、クロス・グリークスの変化を無視する。
Thetaの単位、正確な日中または夜間の時計が誤っている。
1つの不変な局所Gammaで大幅変動を評価する。
ジャンプや休場中のギャップを連続的にヘッジ可能とみなす。
デジタル、バリア、アメリカン型の行使境界などの非平滑なエクスポージャーをバニラの曲率として扱う。
有限差分のバンプ、グリッド、補間、ソルバーの誤差がGammaを汚染する。
ヘッジ遅延、買い・売り気配、インパクト、部分約定、拒否、手数料を省略する。
空売り制約、株券調達、配当、代理ヘッジのベーシス・リスクがヘッジを妨げる。
証拠金、購買力、ブローカーの強制決済、権利行使、アサインメント、決済が追加エクスポージャーを生む。
資金調達、税金、現金、株式、オプション消滅、要因分解の残差を照合しない。

よくある誤解

「Gammaはオプション価格の変化だ。」Deltaは一次の価格感応度、GammaはDeltaの局所変化率です。
「高いGammaは市場の大幅変動を予測する。」Gammaは感応度であり、方向やボラティリティの予測ではありません。
「ロングGammaは必ず利益になる。」曲率がTheta、ボラティリティ再評価、スプレッド、インパクト、資金調達、ヘッジ誤差を上回る必要があります。
「Delta中立ならリスクがない。」スポットが動くとGammaがDeltaを再び生み、他のグリークスとライフサイクル・リスクも残ります。
「1つのGamma値が大幅なギャップにも使える。」局所導関数であり、変動中にモデル状態と数値が大きく変わる可能性があります。