Gamma 위험: 단위, 포지션 곡률, 헤지 및 전체 재평가

Gamma 단위와 부호, 포지션 환산, 국소 Delta-Gamma 손익, Cash Gamma 명칭, 이산 헤지, 전체 재평가 및 생애주기 위험을 점검합니다.

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다. 투자로 손실이 발생할 수 있습니다.

직접 답변

옵션 가치 V(S,...)에 대해 Gamma는 국소 곡률 Gamma_i = partial Delta_i / partial S = partial^2 V_i / partial S^2입니다. Delta를 옵션 단위당 기초자산 단위로, S를 달러로 측정하면 단위 Gamma는 기초자산이 $1 움직일 때 Delta가 변하는 정도입니다. 계약 수량 q, 승수 또는 인도량 M, 주식 헤지 h가 있는 부호 있는 포지션은 Delta_pos = q x M x Delta_i + h, Gamma_pos = q x M x Gamma_i입니다.

일반적인 바닐라 옵션의 단위 Gamma는 보통 옵션 롱에 대해 양수이며 숏 포지션 부호를 적용하면 음수입니다. 이 규칙을 모든 디지털, 배리어, 조정 후, 경로 의존형 또는 행사 경계 익스포저에 일반화해서는 안 됩니다. 방향은 한 번만 적용해야 합니다. 데이터 피드가 이미 부호와 포지션 규모를 반영한 Gamma를 제공한다면 q나 M을 다시 곱하지 않습니다.

부호 있는 곡률 및 헤지 기록 구성

정확한 종목, 평가 시점, 롱 또는 숏 방향, 수량, 승수, 현재 인도물, 통화, 행사 방식, 결제 방법 및 주식이나 대용 헤지를 확정합니다.
가격 좌표와 단위를 명시합니다. 현물 달러, 지수 포인트, 선물 포인트, 백분율 변동, 주당, 계약당 또는 이미 합산된 포지션 민감도 중 무엇인지 밝힙니다.
모형이 사용하는 현물, 시간, 금리, 배당, 주식 차입, 변동성 표면 및 표면 동학 규칙을 고정합니다. Gamma는 이 입력들과 독립적이지 않습니다.
단위 및 부호 있는 포지션의 Delta와 Gamma를 따로 계산하고 각 레그의 총액과 순액을 보존하며, 플랫폼이 부호, 수량, 승수 또는 현금 환산을 이미 적용했는지 확인합니다.
상태를 고정한 소폭 변동에는 Delta_pos_new ~= Delta_pos_old + Gamma_pos x Delta S와 Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2를 사용하고, 제외된 Theta, Vega, 캐리, 교차 그릭 및 비용 항목을 표시합니다.
중앙 유한차분, 대칭적인 상승·하락 충격, 여러 범프 크기 및 현물, 시간, 표면, 점프, 유동성 시나리오의 전체 재평가로 검증하고 헤지 주문과 실제 체결을 기록합니다.
옵션, 주식, 현금, 배당, 자금조달, 주식 차입, 거래비용, 증거금, 행사, 배정, 결제, 수수료, 세금 및 국소 요인분해와 실제 손익의 잔차를 대사합니다.

Cash Gamma와 Dollar Gamma라는 명칭은 표준화되어 있지 않습니다. 한 가지 일반적인 정의는 CashGamma = Gamma_pos x S^2입니다. 수익률 r_move에 대해 Gamma가 유발하는 Dollar-Delta 변화는 CashGamma x r_move입니다. Gamma가 일정하다면 해당 변동의 이차 손익은 0.5 x CashGamma x r_move^2입니다. 공급업체가 0.5를 포함하거나 1%포인트 충격을 사용하거나 부호 있는 포지션 값을 보고할 수 있으므로 명칭에는 공식과 단위가 함께 제시되어야 합니다.

Delta 중립 포지션에도 Gamma 위험은 남습니다. 변동 후 국소 Delta는 대략 Gamma_pos x Delta S만큼 다시 나타납니다. 롱 Gamma 재조정은 상승 후 매도하고 하락 후 매수할 수 있지만, 이론적 곡률 수익이 Theta, 변동성 재평가, 스프레드, 시장충격, 자금조달 및 헤지 오차를 넘어야 합니다. 시장이 닫힌 동안의 갭은 연속적으로 거래할 수 없습니다.

네 가지 계산 예시

부호 있는 포지션 곡률: 롱 콜 10계약의 조건이 M = 100, Delta_i = 0.50, Gamma_i = 0.08 shares/$라고 합시다. 그러면 Delta_pos = 500 shares, Gamma_pos = 80 shares/$입니다. Delta S = +$2이면 추정 Delta는 660 shares, 손익은 +$1,160입니다. Delta S = -$2이면 추정 Delta는 340 shares, 손익은 -$840입니다. 각 시나리오의 곡률 기여분은 +$160이므로 쌍을 이룬 곡률 합계는 +$320입니다. 두 총손익 결과의 차이는 $2,000입니다.
Cash Gamma 관례: 롱 콜 5계약의 조건이 M = 100, Gamma_i = 0.08 shares/$, S = $100이라고 합시다. 그러면 Gamma_pos = 40 shares/$, CashGamma = $400,000입니다. 1% 변동에서 Gamma가 유발하는 Dollar-Delta 성분은 $4,000이고 이차 Gamma 손익은 0.5 x $400,000 x 0.01^2 = $20입니다. 2% 변동이면 Gamma 손익은 $80입니다. 공식이 없는 명칭만으로는 어떤 수치를 의미하는지 알 수 없습니다.
이산 Gamma 스캘핑: Delta 중립에서 시작하고 교육용으로 Gamma가 일정하다는 가정 Gamma_pos = 50 shares/$를 둡니다. 경로가 먼저 +$2 움직여 재헤지한 다음 -$2 움직여 다시 헤지합니다. 각 구간의 국소 Gamma 기여분은 $100, 합계는 $200입니다. Theta는 -$120이고 두 차례 헤지 거래 비용은 각각 $15입니다. 순결과는 $200 - $120 - $30 = $50입니다. Gamma, 체결, 표면 및 경로를 단순화했으므로 이는 보장된 거래 결과가 아닙니다.
국소 근사와 전체 재평가: 유러피언형 콜의 조건이 S = $100, K = $100, r = 4%, q_div = 1%, sigma = 25%, tau = 0.5라고 합시다. Black-Scholes는 V0 = $7.7215522303, Delta = 0.5659323171, Gamma = 0.0221205770을 냅니다. Delta S = +$5에 대한 이차 추정치는 $3.1061687980입니다. 내재변동성이 그대로일 때 전체 재평가값은 $3.0956949428로, 오차는 주당 $0.0104738552/share, 즉 $1.047386(M = 100일 때)입니다. 내재변동성도 30%로 오르면 총변화는 $4.4412937626이므로 원래 Delta와 Gamma만으로 요인분해할 수 없습니다.

Gamma 통제 실패 요인

롱과 숏 부호를 누락하거나 두 번 적용합니다.
수량과 승수를 누락·중복하거나 공급업체 출력에 이미 포함되어 있습니다.
조정된 인도물이나 현금 포인트 가치를 표준 주식 승수로 취급합니다.
현물, 선도, 선물, 지수 포인트, 통화 또는 수익률 좌표를 혼용합니다.
$1 변동과 1% 변동을 혼동합니다.
Cash Gamma, Dollar Gamma, Gamma 손익 및 Dollar-Delta 변화를 공식 없이 사용합니다.
Taylor 계수 0.5를 누락하거나 두 번 적용합니다.
단위, 계약 및 포지션 Gamma를 정규화하지 않고 비교합니다.
현물, 시간, 금리, 배당, 주식 차입 또는 모형 입력이 오래됐습니다.
고정 행사가, 고정 Delta 및 그 밖의 표면 동학 가정이 일관되지 않습니다.
내재변동성 수준, 스큐, 기간구조, Vanna, Volga 및 교차 그릭 변화를 무시합니다.
Theta 단위와 정확한 장중 또는 야간 시계가 잘못됐습니다.
큰 변동을 하나의 불변 국소 Gamma로 평가합니다.
점프나 폐장 중 갭을 연속적으로 헤지할 수 있다고 봅니다.
디지털, 배리어, 아메리칸형 행사 경계 또는 그 밖의 비평활 익스포저를 바닐라 곡률로 취급합니다.
유한차분 범프, 격자, 보간 또는 풀이 프로그램 오차가 Gamma를 오염시킵니다.
헤지 지연, 매수·매도호가, 시장충격, 부분 체결, 주문 거절 및 수수료를 누락합니다.
공매도 제약, 주식 차입, 배당 또는 대용 헤지 베이시스 위험이 헤지를 막습니다.
증거금, 매수 여력, 증권사 강제청산, 행사, 배정 또는 결제가 추가 익스포저를 만듭니다.
자금조달, 세금, 현금, 주식, 옵션 소멸 및 요인분해 잔차를 대사하지 않습니다.

흔한 오해

“Gamma는 옵션 가격 변화다.” Delta는 일차 가격 민감도이고 Gamma는 Delta의 국소 변화율입니다.
“높은 Gamma는 시장의 큰 변동을 예측한다.” Gamma는 민감도이지 방향이나 변동성 예측이 아닙니다.
“롱 Gamma는 항상 이익을 낸다.” 곡률이 Theta, 변동성 재평가, 스프레드, 시장충격, 자금조달 및 헤지 오차를 넘어야 합니다.
“Delta 중립이면 위험이 없다.” 현물이 움직이면 Gamma가 Delta를 다시 만들고 다른 그릭과 생애주기 위험도 남습니다.
“하나의 Gamma 수치가 큰 갭에도 적용된다.” 국소 미분값이므로 변동 과정에서 모형 상태와 값이 크게 달라질 수 있습니다.