Risco Gamma: unidades, curvatura da posição, hedge e reprecificação completa

Audite unidades e sinais de Gamma, escala da posição, P/L Delta-Gamma local, convenções de Cash Gamma, hedge discreto, reprecificação completa e risco do ciclo de vida.

Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

Resposta direta

Para um valor de opção V(S,...), Gamma é a curvatura local Gamma_i = partial Delta_i / partial S = partial^2 V_i / partial S^2. Se Delta for medido em unidades do subjacente por unidade de opção e S em dólares, Gamma unitário é a mudança de Delta para um movimento de $1 no subjacente. Uma posição com quantidade de contratos sinalizada q, multiplicador ou entregável M e hedge em ações h tem Delta_pos = q x M x Delta_i + h e Gamma_pos = q x M x Gamma_i.

Em opções vanilla comuns, Gamma unitário costuma ser positivo para uma opção comprada e passa a negativo quando se aplica o sinal de uma posição vendida. Essa regra não deve ser generalizada para toda exposição digital, de barreira, ajustada, path-dependent ou em fronteira de exercício. Aplique a direção apenas uma vez: se o feed já fornecer Gamma sinalizado e escalado para a posição, não multiplique novamente por q ou M.

Construção de um registro sinalizado de curvatura e hedge

Fixe a série exata, instante de avaliação, direção comprada ou vendida, quantidade, multiplicador, entregável vigente, moeda, estilo de exercício, método de liquidação e qualquer hedge em ações ou proxy.
Declare a coordenada de preço e as unidades: dólares spot, pontos de índice, pontos de futuros, movimento percentual, por ação, por contrato ou sensibilidade agregada da posição.
Congele spot, tempo, taxas, dividendos, custo de empréstimo, superfície de volatilidade e regra de dinâmica da superfície usada pelo modelo; Gamma não independe desses dados.
Calcule separadamente Delta e Gamma unitários e da posição sinalizada, preserve pernas brutas e líquidas e identifique se a plataforma já aplicou sinais, quantidade, multiplicador ou escala monetária.
Para um pequeno movimento com estado congelado, use Delta_pos_new ~= Delta_pos_old + Gamma_pos x Delta S e Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2; identifique os termos omitidos de Theta, Vega, carry, Greeks cruzados e custos.
Valide com diferenças finitas centradas, choques simétricos de alta e baixa, vários tamanhos de bump e reprecificação completa em cenários de spot, tempo, superfície, salto e liquidez; registre ordens de hedge e execuções reais.
Reconcilie opção, ações, caixa, dividendos, financiamento, empréstimo, custos de transação, margem, exercício, assignment, liquidação, taxas, tributos e o residual entre atribuição local e P/L realizado.

Os nomes Cash Gamma e Dollar Gamma não são padronizados. Uma definição comum é CashGamma = Gamma_pos x S^2; a mudança de Dollar Delta induzida por Gamma para um retorno r_move é CashGamma x r_move. Com Gamma constante, o P/L de segunda ordem desse movimento é 0.5 x CashGamma x r_move^2. Um fornecedor pode incluir 0.5, usar um choque de um ponto percentual ou reportar um valor de posição sinalizado; por isso, fórmula e unidades devem acompanhar o nome.

Uma posição Delta-neutra ainda tem risco Gamma: depois de um movimento, Delta reaparece localmente em aproximadamente Gamma_pos x Delta S. O rebalanceamento long Gamma pode vender após altas e comprar após quedas, mas a receita teórica de curvatura precisa superar Theta, reprecificação da volatilidade, spreads, impacto, financiamento e erros de hedge. Um gap com o mercado fechado não pode ser coberto continuamente.

Quatro exemplos desenvolvidos

Curvatura sinalizada da posição: dez calls compradas têm M = 100, Delta_i = 0.50 e Gamma_i = 0.08 shares/$. Assim, Delta_pos = 500 shares e Gamma_pos = 80 shares/$. Para Delta S = +$2, Delta estimado é 660 shares e o P/L é +$1,160; para Delta S = -$2, Delta estimado é 340 shares e o P/L é -$840. A curvatura contribui +$160 em cada cenário, portanto sua soma pareada é +$320; os dois P/L totais diferem em $2,000.
Convenções de Cash Gamma: cinco calls compradas têm M = 100, Gamma_i = 0.08 shares/$ e S = $100. Logo, Gamma_pos = 40 shares/$ e CashGamma = $400,000. Para um movimento de 1%, o componente da mudança de Dollar Delta induzido por Gamma é $4,000, enquanto o P/L Gamma de segunda ordem é 0.5 x $400,000 x 0.01^2 = $20. Para um movimento de 2%, o P/L Gamma é $80. Um nome sem fórmula não revela qual número se pretende medir.
Gamma scalping discreto: começa-se Delta-neutro com o pressuposto didático constante Gamma_pos = 50 shares/$. O caminho sobe +$2, é rehedgeado, cai -$2 e é rehedgeado novamente. A contribuição local de Gamma é $100 em cada trecho, ou $200; Theta é -$120 e cada uma das duas operações de hedge custa $15. O resultado líquido é $200 - $120 - $30 = $50. Não é resultado garantido porque Gamma, fills, superfície e caminho foram simplificados.
Estimativa local versus reprecificação completa: uma call europeia tem S = $100, K = $100, r = 4%, q_div = 1%, sigma = 25% e tau = 0.5. Black-Scholes fornece V0 = $7.7215522303, Delta = 0.5659323171 e Gamma = 0.0221205770. Para Delta S = +$5, a estimativa de segunda ordem é $3.1061687980; a reprecificação completa com IV inalterada dá $3.0956949428, erro de $0.0104738552/share ou $1.047386 com M = 100. Se a IV também subir para 30%, a mudança total será $4.4412937626, que não pode ser atribuída apenas aos Delta e Gamma originais.

Falhas de controle do risco Gamma

Sinais de posição comprada e vendida são omitidos ou aplicados duas vezes.
Quantidade e multiplicador são omitidos, duplicados ou já estão incorporados na saída do fornecedor.
Entregável ajustado ou valor monetário por ponto é tratado como multiplicador padrão de ações.
Coordenadas spot, forward, de futuros, pontos de índice, moeda ou retorno são misturadas.
Um movimento de $1 é confundido com um de 1%.
Cash Gamma, Dollar Gamma, P/L Gamma e mudança de Dollar Delta são usados sem fórmulas.
O fator de Taylor 0.5 é omitido ou aplicado duas vezes.
Gamma unitário, por contrato e da posição são comparados sem normalização.
Spot, tempo, taxas, dividendos, empréstimo ou dados do modelo estão defasados.
Pressupostos sticky-strike, sticky-Delta e de outras dinâmicas da superfície são inconsistentes.
Nível de IV, skew, estrutura a termo, Vanna, Volga e mudanças de Greeks cruzados são ignorados.
Unidades de Theta ou o relógio intradiário e overnight exato estão errados.
Um movimento amplo é avaliado com um único Gamma local inalterado.
Um salto ou gap com mercado fechado é tratado como continuamente hedgeável.
Exposição digital, de barreira, em fronteira American ou não suave é tratada como curvatura vanilla.
Erros de bump, grade, interpolação ou solver de diferenças finitas contaminam Gamma.
Latência do hedge, bid/ask, impacto, fills parciais, rejeições e taxas são omitidos.
Restrições de venda a descoberto, empréstimo, dividendos ou risco de base do proxy impedem o hedge.
Margem, poder de compra, liquidação compulsória, exercício, assignment ou settlement criam exposição adicional.
Financiamento, tributos, caixa, ações, baixa das opções e residual de atribuição não são reconciliados.

Equívocos comuns

“Gamma é a mudança do preço da opção.” Delta é a sensibilidade de preço de primeira ordem; Gamma é a taxa local em que Delta muda.
“Gamma alto prevê um grande movimento do mercado.” Gamma é sensibilidade, não previsão direcional ou de volatilidade.
“Long Gamma sempre lucra.” A curvatura precisa superar Theta, reprecificação da volatilidade, spreads, impacto, financiamento e erros de hedge.
“Delta-neutro significa livre de risco.” Gamma recria Delta quando o spot se move, enquanto outros Greeks e riscos de ciclo de vida permanecem.
“Um número Gamma funciona para um grande salto.” É uma derivada local cujo estado do modelo e valor podem mudar fortemente durante o movimento.