Gamma 風險：單位、部位曲率、避險與完整重新定價

檢視 Gamma 單位與正負號、部位縮放、局部 Delta-Gamma 損益、Cash Gamma 命名、離散避險、完整重新定價及生命週期風險。

僅供教育參考，不構成投資建議；投資可能產生損失。

直接答案

對選擇權價值 V(S,...)，Gamma 是局部曲率 Gamma_i = partial Delta_i / partial S = partial^2 V_i / partial S^2。若 Delta 以每單位選擇權對應的標的單位衡量，S 以美元衡量，則單位 Gamma 表示標的每變動 $1 時 Delta 的變化。對合約數量 q、乘數或交割量 M、股票避險 h 的帶正負號部位，Delta_pos = q x M x Delta_i + h，Gamma_pos = q x M x Gamma_i。

對普通的標準選擇權，單位 Gamma 一般對選擇權多頭為正，套用空頭部位符號後為負。不得將此規律推廣至所有數位、障礙、調整後、路徑相依或履約邊界暴險。方向只能套用一次：若資料來源已提供帶正負號、按部位縮放的 Gamma，就不要再次乘以 q 或 M。

建立帶正負號的曲率與避險紀錄

鎖定確切契約系列、評價時間戳記、多頭或空頭方向、數量、乘數、現行交割物、幣別、履約方式、結算方法，以及任何股票或代理避險。
說明價格座標與單位：現貨美元、指數點、期貨點、百分比變動、每股、每口合約，或已彙總的部位敏感度。
固定模型使用的現貨、時間、利率、股利、借券、波動率曲面與曲面動態規則；Gamma 並非獨立於這些輸入。
分別計算單位與帶正負號部位的 Delta 和 Gamma，保留總額及淨額的各腿，並辨識平台是否已套用符號、數量、乘數或現金縮放。
對較小的凍結狀態變動，使用 Delta_pos_new ~= Delta_pos_old + Gamma_pos x Delta S 與 Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2；標明未納入的 Theta、Vega、持有成本、交叉希臘字母及成本項。
使用中心有限差分、對稱上下衝擊、多個擾動幅度，以及現貨、時間、曲面、跳躍與流動性情境下的完整重新定價進行驗證；記錄避險委託與實際成交。
核對選擇權、股票、現金、股利、融資、借券、交易成本、保證金、履約、指派、結算、費用、稅務，以及局部歸因與實際損益之間的殘差。

Cash Gamma 與 Dollar Gamma 的名稱並無統一標準。一種常見定義是 CashGamma = Gamma_pos x S^2；報酬率為 r_move 時，由 Gamma 引起的 Dollar-Delta 變化是 CashGamma x r_move。在 Gamma 不變的假設下，該變動的二階損益為 0.5 x CashGamma x r_move^2。供應商可能納入 0.5、採用一個百分點衝擊，或報告帶正負號的部位值，因此標籤必須附上公式與單位。

Delta 中性部位仍有 Gamma 風險：變動後，局部 Delta 約以 Gamma_pos x Delta S 重新出現。多頭 Gamma 再平衡可在上漲後賣出、下跌後買進，但理論曲率收入必須超過 Theta、波動率重新評價、買賣價差、市場衝擊、融資及避險誤差。休市期間的跳空無法連續交易。

四個計算範例

帶正負號部位曲率：十口買權多頭的參數為 M = 100、Delta_i = 0.50、Gamma_i = 0.08 shares/$。因此 Delta_pos = 500 shares、Gamma_pos = 80 shares/$。當 Delta S = +$2 時，估算 Delta 為 660 shares，損益為 +$1,160；當 Delta S = -$2 時，估算 Delta 為 340 shares，損益為 -$840。每個情境中的曲率貢獻均為 +$160，所以成對曲率合計為 +$320；兩個總損益結果相差 $2,000。
Cash Gamma 慣例：五口買權多頭的參數為 M = 100、Gamma_i = 0.08 shares/$、S = $100。因此 Gamma_pos = 40 shares/$、CashGamma = $400,000。對 1% 的變動，由 Gamma 引起的 Dollar-Delta 分量為 $4,000，二階 Gamma 損益則為 0.5 x $400,000 x 0.01^2 = $20。對 2% 的變動，Gamma 損益為 $80。沒有公式的標籤無法說明其指的是哪個數字。
離散 Gamma scalping：從 Delta 中性開始，採用教學用的 Gamma 不變假設 Gamma_pos = 50 shares/$。路徑先變動 +$2 並重新避險，再變動 -$2 並再次避險。每一段的局部 Gamma 貢獻為 $100，合計 $200；Theta 為 -$120，兩次避險交易各花費 $15。淨結果為 $200 - $120 - $30 = $50。這並非有保證的交易結果，因為 Gamma、成交、曲面與路徑均已簡化。
局部近似與完整重新定價：一口歐式買權的參數為 S = $100、K = $100、r = 4%、q_div = 1%、sigma = 25%、tau = 0.5。Black-Scholes 得出 V0 = $7.7215522303、Delta = 0.5659323171、Gamma = 0.0221205770。當 Delta S = +$5 時，二階估值為 $3.1061687980；在隱含波動率不變時完整重新定價得到 $3.0956949428，誤差為每股 $0.0104738552/share，即 $1.047386（當 M = 100 時）。若隱含波動率也升至 30%，總變動為 $4.4412937626，不能只歸因於原來的 Delta 與 Gamma。

Gamma 控制失效情況

遺漏多頭與空頭符號，或重複套用符號。
遺漏或重複套用數量與乘數，或供應商輸出已包含兩者。
將調整後交割物或現金點值視為標準股票乘數。
混用現貨、遠期、期貨、指數點、幣別或報酬率座標。
混淆 $1 變動與 1% 變動。
使用 Cash Gamma、Dollar Gamma、Gamma 損益及 Dollar-Delta 變化時未附公式。
遺漏或重複套用 Taylor 係數 0.5。
未經標準化即比較單位、合約與部位 Gamma。
現貨、時間、利率、股利、借券或模型輸入陳舊。
固定履約價、固定 Delta 及其他曲面動態假設不一致。
忽略隱含波動率水準、偏斜、期限結構、Vanna、Volga 及交叉希臘字母變化。
Theta 單位或精確的盤中、隔夜時鐘錯誤。
使用一個不變的局部 Gamma 評估大幅變動。
將跳躍或休市跳空視為可連續避險。
將數位、障礙、美式履約邊界或其他不平滑暴險視為一般選擇權曲率。
有限差分擾動、網格、插值或求解器誤差污染 Gamma。
遺漏避險延遲、買賣價差、市場衝擊、部分成交、拒單與費用。
放空限制、借券、股利或代理基差風險阻礙避險。
保證金、購買力、券商強制平倉、履約、指派或結算產生額外暴險。
未核對融資、稅務、現金、股份、選擇權移除與歸因殘差。

常見誤解

「Gamma 是選擇權價格變動。」Delta 是一階價格敏感度；Gamma 是 Delta 的局部變化率。
「高 Gamma 預測市場將大幅變動。」Gamma 是敏感度，不是方向或波動率預測。
「多頭 Gamma 一定獲利。」曲率必須超過 Theta、波動率重新評價、價差、衝擊、融資與避險誤差。
「Delta 中性代表沒有風險。」Gamma 會在現貨變動時重新產生 Delta，其他希臘字母及生命週期風險仍然存在。
「一個 Gamma 數字適用於大幅跳空。」它是局部導數，其模型狀態與數值可能在變動過程中劇烈改變。