Rischio Gamma: unità, curvatura di posizione, copertura e repricing completo

Verifica unità e segni di Gamma, scaling della posizione, P/L Delta-Gamma locale, convenzioni Cash Gamma, copertura discreta, repricing completo e rischio di ciclo di vita.

Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

Risposta diretta

Per un valore dell’opzione V(S,...), Gamma è la curvatura locale Gamma_i = partial Delta_i / partial S = partial^2 V_i / partial S^2. Se Delta è misurato in unità di sottostante per unità di opzione e S in dollari, il Gamma unitario è la variazione di Delta per un movimento di $1 del sottostante. Una posizione con quantità di contratti con segno q, moltiplicatore o deliverable M e copertura azionaria h ha Delta_pos = q x M x Delta_i + h e Gamma_pos = q x M x Gamma_i.

Per le comuni opzioni vanilla, il Gamma unitario è generalmente positivo per un’opzione long e diventa negativo applicando il segno di una posizione short. La regola non va estesa a qualsiasi esposizione digitale, barrier, rettificata, path-dependent o in prossimità di una frontiera di esercizio. Applicare la direzione una sola volta: se un feed fornisce già Gamma con segno e scalato per la posizione, non moltiplicare di nuovo per q o M.

Costruire un registro con segno di curvatura e copertura

Fissare serie esatta, istante di valutazione, direzione long o short, quantità, moltiplicatore, deliverable vigente, valuta, stile di esercizio, metodo di regolamento ed eventuale copertura azionaria o proxy.
Dichiarare coordinata di prezzo e unità: dollari spot, punti indice, punti future, movimento percentuale, per azione, per contratto o sensibilità di posizione già aggregata.
Congelare spot, tempo, tassi, dividendi, costo del prestito titoli, superficie di volatilità e regola di dinamica della superficie usata dal modello; Gamma dipende da questi input.
Calcolare separatamente Delta e Gamma unitari e di posizione con segno, conservare gambe lorde e nette e verificare se la piattaforma ha già applicato segni, quantità, moltiplicatore o scaling monetario.
Per un piccolo movimento a stato congelato, usare Delta_pos_new ~= Delta_pos_old + Gamma_pos x Delta S e Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2; indicare i termini omessi di Theta, Vega, carry, cross-Greek e costi.
Validare con differenze finite centrate, shock simmetrici al rialzo e al ribasso, diversi bump e repricing completo in scenari di spot, tempo, superficie, salto e liquidità; registrare ordini di copertura ed eseguiti effettivi.
Riconciliare opzione, azioni, cassa, dividendi, finanziamento, prestito titoli, costi di transazione, margine, exercise, assignment, regolamento, commissioni, fiscalità e residuo tra attribuzione locale e P/L realizzato.

Le denominazioni Cash Gamma e Dollar Gamma non sono standardizzate. Una definizione comune è CashGamma = Gamma_pos x S^2; la variazione del Dollar Delta indotta da Gamma per un rendimento r_move è CashGamma x r_move. A Gamma costante, il P/L di secondo ordine per quel movimento è 0.5 x CashGamma x r_move^2. Un fornitore può includere 0.5, usare uno shock di un punto percentuale o riportare un valore di posizione con segno; formula e unità devono quindi accompagnare l’etichetta.

Una posizione Delta-neutral mantiene rischio Gamma: dopo un movimento, Delta ricompare localmente per circa Gamma_pos x Delta S. Il ribilanciamento long Gamma può vendere dopo rialzi e comprare dopo ribassi, ma il ricavo teorico di curvatura deve superare Theta, repricing della volatilità, spread, impatto, finanziamento ed errori di copertura. Un gap a mercato chiuso non può essere coperto in modo continuo.

Quattro esempi svolti

Curvatura di posizione con segno: dieci call long hanno M = 100, Delta_i = 0.50 e Gamma_i = 0.08 shares/$. Quindi Delta_pos = 500 shares e Gamma_pos = 80 shares/$. Per Delta S = +$2, il Delta stimato è 660 shares e il P/L è +$1,160; per Delta S = -$2, il Delta stimato è 340 shares e il P/L è -$840. La curvatura contribuisce +$160 in ogni scenario, quindi la somma abbinata è +$320; i due P/L totali differiscono di $2,000.
Convenzioni Cash Gamma: cinque call long hanno M = 100, Gamma_i = 0.08 shares/$ e S = $100. Pertanto Gamma_pos = 40 shares/$ e CashGamma = $400,000. Per un movimento di 1%, la componente di variazione del Dollar Delta indotta da Gamma è $4,000, mentre il P/L Gamma di secondo ordine è 0.5 x $400,000 x 0.01^2 = $20. Per un movimento del 2%, il P/L Gamma è $80. Un’etichetta priva di formula non chiarisce quale numero si intenda.
Gamma scalping discreto: si parte Delta-neutral con l’ipotesi didattica costante Gamma_pos = 50 shares/$. Il percorso sale di +$2, viene ribilanciato, scende di -$2 e viene ribilanciato ancora. Il contributo Gamma locale è $100 per tratto, ossia $200; Theta è -$120 e ciascuna delle due operazioni di copertura costa $15. Il risultato netto è $200 - $120 - $30 = $50. Non è garantito perché Gamma, eseguiti, superficie e percorso sono stati semplificati.
Stima locale e repricing completo: una call europea ha S = $100, K = $100, r = 4%, q_div = 1%, sigma = 25% e tau = 0.5. Black-Scholes restituisce V0 = $7.7215522303, Delta = 0.5659323171 e Gamma = 0.0221205770. Per Delta S = +$5, la stima di secondo ordine è $3.1061687980; il repricing completo a IV invariata dà $3.0956949428, errore di $0.0104738552/share o $1.047386 con M = 100. Se anche l’IV sale al 30%, la variazione totale è $4.4412937626, non attribuibile ai soli Delta e Gamma originari.

Errori nel controllo del rischio Gamma

I segni long e short vengono omessi o applicati due volte.
Quantità e moltiplicatore vengono omessi, duplicati o sono già incorporati nell’output del fornitore.
Un deliverable rettificato o valore monetario per punto viene trattato come un moltiplicatore azionario standard.
Si mescolano coordinate spot, forward, future, punti indice, valuta o rendimento.
Un movimento di $1 viene confuso con uno di 1%.
Cash Gamma, Dollar Gamma, P/L Gamma e variazione del Dollar Delta sono usati senza formule.
Il fattore di Taylor 0.5 viene omesso o applicato due volte.
Gamma unitario, per contratto e di posizione vengono confrontati senza normalizzazione.
Spot, tempo, tassi, dividendi, prestito titoli o input del modello sono obsoleti.
Le ipotesi sticky-strike, sticky-Delta e altre dinamiche della superficie sono incoerenti.
Livello IV, skew, struttura a termine, Vanna, Volga e variazioni cross-Greek sono ignorati.
Le unità Theta o l’orologio esatto intraday e overnight sono errati.
Un movimento ampio viene valutato con un solo Gamma locale invariato.
Un salto o gap a mercato chiuso viene trattato come continuamente copribile.
Un’esposizione digitale, barrier, su frontiera American o non regolare viene trattata come curvatura vanilla.
Errori di bump, griglia, interpolazione o solver nelle differenze finite contaminano Gamma.
Latenza di copertura, bid/ask, impatto, eseguiti parziali, rifiuti e commissioni sono omessi.
Vincoli di vendita allo scoperto, prestito titoli, dividendi o rischio di base del proxy impediscono la copertura.
Margine, potere d’acquisto, liquidazione forzata, exercise, assignment o settlement creano ulteriore esposizione.
Finanziamento, fiscalità, cassa, azioni, eliminazione dell’opzione e residuo di attribuzione non vengono riconciliati.

Errori comuni

“Gamma è la variazione del prezzo dell’opzione.” Delta è la sensibilità di prezzo di primo ordine; Gamma è il tasso locale di variazione di Delta.
“Un Gamma elevato prevede un grande movimento di mercato.” Gamma è sensibilità, non una previsione direzionale o di volatilità.
“Long Gamma guadagna sempre.” La curvatura deve superare Theta, repricing della volatilità, spread, impatto, finanziamento ed errori di copertura.
“Delta-neutral significa privo di rischio.” Gamma ricrea Delta quando si muove lo spot, mentre restano gli altri Greeks e i rischi di ciclo di vita.
“Un solo valore Gamma funziona per un grande salto.” È una derivata locale il cui stato del modello e valore possono cambiare bruscamente durante il movimento.