Options d’échange : valorisation de Margrabe et risque relatif

Valorisez une option d’échange avec quantités, carry, volatilité et corrélation explicites, puis contrôlez règlement, exécution et contrepartie.

À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

Réponse directe

Une option d’échange donne à son détenteur le droit, non l’obligation, de livrer une quantité définie d’un actif et d’en recevoir une définie d’un autre. Si le droit livre a unités de l’actif 1 contre b unités de l’actif 2 à T, son payoff en devise commune est max(a x S1(T) - b x S2(T), 0). Ratio, actifs, devise, fixing et livrable sont des données contractuelles, pas un multiplicateur à déduire après coup.

La formule de Margrabe valorise un droit européen précis sans strike monétaire, avec actifs conjointement lognormaux, carry proportionnel déterministe, volatilités et corrélation constantes, négociation continue et réplication sans friction. C’est un benchmark, pas une cotation exécutable, une garantie de couverture, un contrat coté standard ou un close-out bilatéral.

Construire le droit et le modèle

Écrire payoff, quantités, devise commune, style, fixing, règlement et règles d’opérations sur titres ; ne pas se fier au seul nom.
Définir X1 = a x S1 et X2 = b x S2 ; figer spots synchronisés, rendements q1 et q2, volatilités sigma1 et sigma2, corrélation rho et fraction annuelle T.
Calculer sigmaR = sqrt(sigma1^2 + sigma2^2 - 2 x rho x sigma1 x sigma2) et vérifier covariances, unités, horodatage et semi-définie positivité.
Utiliser V = X1 x exp(-q1 x T) x N(d1) - X2 x exp(-q2 x T) x N(d2), avec d1 = [ln(X1 / X2) + (q2 - q1 + 0.5 x sigmaR^2) x T] / (sigmaR x sqrt(T)) et d2 = d1 - sigmaR x sqrt(T).
Revaloriser sur les deux surfaces, corrélation, carry, sauts et liquidité. Une rho plus faible augmente généralement sigmaR et la valeur vanilla ; une corrélation historique n’est ni un input négociable ni une distribution conjointe complète.
Rattacher le droit à l’instrument : contrats cotés, FLEX et OTC bilatéraux diffèrent par multiplicateur, exercice, règlement, fixing, collatéral, close-out, netting, litige et contrepartie.
Enregistrer côtés exécutables, frais, couvertures, financement, collatéral, distributions, trésorerie ou inventaire et résidus ; rapprocher confirmation juridique et caisse, sans prendre le mark pour un P/L réalisé.

L’absence de taux sans risque explicite provient du numéraire, pas de l’inutilité du financement. Forwards, distributions, prêt de titres, rémunération du collatéral, FX, spreads et close-out comptent. Avec deux devises, définir d’abord devise de règlement et conversion FX ou règle quanto ; soustraire des prix bruts en devises différentes n’a aucun sens.

Quatre exemples détaillés

Valeur un pour un. Avec S1=$110, S2=$100, a=b=1, T=0.5, sigma1=30%, sigma2=20%, rho=0.50, q1=q2=0 : sigmaR=sqrt(0.30^2+0.20^2-2x0.50x0.30x0.20)=26.4575131106%, d1=0.6029957751, d2=0.4159129058, valeur $13.815554 contre intrinsèque max(110-100,0)=$10. Ce n’est pas une offre.
Les quantités entrent dans le modèle. Un droit échange b=200 actions 2 contre a=150 actions 1. Avec S1=$80, S2=$55, T=0.75, sigma1=28%, sigma2=22%, rho=0.35, q1=1%, q2=3% : X1=$12,000, X2=$11,000, volatilité 28.9274955708%, d1=0.5324591424, d2=0.2819396820, valeur $1,799.02. Un multiplicateur supposé de 100 change le droit.
La corrélation est une exposition de modèle. Dans le premier exemple, rho=0.90 donne sigmaR=14.8323969742% et $11.086226 ; rho=-0.50 donne sigmaR=43.5889894354% et $18.464726. Cela ne prévoit pas la corrélation réalisée ; surfaces, sauts, carry et couverture peuvent dominer.
Règlement et exécution sont des registres distincts. Trois droits échangent chacun 80 actions 2 contre 50 actions 1. À S1=$140, S2=$80, chaque payoff vaut max(50x140-80x80,0)=$600, soit $1,800 en espèces ; physiquement, livrer 240 actions et recevoir 150. À S1=$138.50, S2=$80.40, la caisse vaut 3xmax(50x138.50-80x80.40,0)=$1,479, soit $321 de moins. Le mark du dealer ne remplace pas le fixing.

Processus en sept étapes et contrôles

Actif, classe, indice, devise ou émetteur juridique erroné.
Direction, signe, quantité, ratio, multiplicateur ou livrable erroné.
Payoff en devises incompatibles sans règle FX ou quanto.
Style, maturité, fixing, fuseau ou règlement incohérents.
Erreur d’opération sur titres, distribution, dividende, emprunt ou retenue.
Spots, forwards, courbes, surfaces ou FX obsolètes ou asynchrones.
Erreur d’unité, décompte des jours, rendement ou échelle de covariance.
Matrice incohérente ou estimation historique instable.
Une corrélation masque strike, maturité, régime et dépendance de queue.
Échec des hypothèses de volatilité/corrélation constante ou lognormalité.
Sauts, défauts, suspensions et fermetures.
Delta relative, Gamma croisée, Vega, corrélation et carry évoluent ensemble.
Réplication continue supposée pendant gap, suspension ou illiquidité.
Prix de modèle confondu avec bid ou offer exécutable.
Spécifications FLEX/cotées étendues à un droit sur mesure.
Confirmation OTC, collatéral, netting, close-out ou litige incohérents.
Défaut, wrong-way risk, manque de collatéral ou recouvrement incertain.
Couvertures partielles, risque de base, impact, frais et financement asymétrique.
Inventaire, fixing cash, FX et fiscalité non rapprochés.
Version, millésime, confirmation, collatéral et P/L final non rapprochés.

Idées reçues

« Option d’échange signifie option négociée en bourse. » La première décrit un payoff ; la seconde un marché.
« Le ratio s’applique après la valorisation. » Les quantités entrent dans le logarithme et les deux termes actualisés.
« Le taux disparaît, donc le financement ne compte pas. » Le numéraire n’élimine ni carry, collatéral, emprunt, FX ni financement.
« La corrélation est observable et stable. » Elle est estimée, conditionnelle et seulement une partie du risque conjoint.
« La valeur fermée est un prix de close-out. » Exécution, crédit, droit, liquidité, couverture et litiges peuvent différer.