Opzioni di scambio: valutazione di Margrabe e rischio relativo

Valuta un’opzione di scambio con quantità, carry, volatilità e correlazione espliciti, controllando regolamento, esecuzione e controparte.

Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

Risposta diretta

Un’opzione di scambio dà al titolare il diritto, non l’obbligo, di consegnare una quantità stabilita di un’attività e riceverne una stabilita di un’altra. Se il diritto consegna a unità dell’attività 1 contro b dell’attività 2 a T, il payoff in valuta comune è max(a x S1(T) - b x S2(T), 0). Rapporto, attività, valuta, fixing e deliverable sono dati contrattuali, non un moltiplicatore da dedurre dopo.

La formula di Margrabe valuta uno specifico diritto europeo senza strike monetario, con attività congiuntamente lognormali, carry proporzionale deterministico, volatilità e correlazione costanti, negoziazione continua e replica senza attriti. È un benchmark, non una quotazione eseguibile, garanzia di hedge, contratto quotato standard o close-out bilaterale.

Costruire diritto e modello

Scrivere payoff, quantità, valuta comune, stile, fixing, regolamento e regole sulle operazioni societarie; non affidarsi al nome.
Definire X1 = a x S1 e X2 = b x S2; fissare spot sincronizzati, rendimenti q1 e q2, volatilità sigma1 e sigma2, correlazione rho e frazione annua T.
Calcolare sigmaR = sqrt(sigma1^2 + sigma2^2 - 2 x rho x sigma1 x sigma2) e verificare covarianze, unità, istante e semidefinitezza positiva.
Usare V = X1 x exp(-q1 x T) x N(d1) - X2 x exp(-q2 x T) x N(d2), con d1 = [ln(X1 / X2) + (q2 - q1 + 0.5 x sigmaR^2) x T] / (sigmaR x sqrt(T)) e d2 = d1 - sigmaR x sqrt(T).
Rivalutare su entrambe le superfici, correlazione, carry, salti e liquidità. Una rho minore tende ad aumentare sigmaR e il valore vanilla; una correlazione storica non è un input negoziabile né una distribuzione congiunta.
Mappare il diritto allo strumento: contratti quotati, FLEX e OTC bilaterali differiscono per moltiplicatore, esercizio, regolamento, fixing, garanzie, close-out, netting, controversie e controparte.
Registrare lati eseguibili, costi, hedge, funding, collateral, distribuzioni, cassa o inventario e residui; riconciliare conferma legale e cassa, senza scambiare il mark per P/L realizzato.

L’assenza del tasso privo di rischio esplicito deriva dal numerario, non dall’irrilevanza del finanziamento. Forward, distribuzioni, prestito titoli, remunerazione del collateral, FX, spread e close-out contano. Con valute diverse occorre prima definire valuta di regolamento e conversione FX o regola quanto; sottrarre prezzi in valute diverse è privo di senso.

Quattro esempi svolti

Valore uno a uno. Con S1=$110, S2=$100, a=b=1, T=0.5, sigma1=30%, sigma2=20%, rho=0.50, q1=q2=0: sigmaR=sqrt(0.30^2+0.20^2-2x0.50x0.30x0.20)=26.4575131106%, d1=0.6029957751, d2=0.4159129058; valore $13.815554 contro intrinseco max(110-100,0)=$10. Non è un’offerta.
Le quantità entrano nel modello. Un diritto scambia b=200 azioni 2 con a=150 azioni 1. Con S1=$80, S2=$55, T=0.75, sigma1=28%, sigma2=22%, rho=0.35, q1=1%, q2=3%: X1=$12,000, X2=$11,000, volatilità 28.9274955708%, d1=0.5324591424, d2=0.2819396820, valore $1,799.02. Un moltiplicatore presunto di 100 cambia il diritto.
La correlazione è esposizione di modello. Nel primo esempio, rho=0.90 dà sigmaR=14.8323969742% e $11.086226; rho=-0.50 dà sigmaR=43.5889894354% e $18.464726. Non è una previsione della correlazione realizzata; superfici, salti, carry e hedge possono prevalere.
Regolamento ed esecuzione sono registri separati. Tre diritti scambiano ciascuno 80 azioni 2 con 50 azioni 1. A S1=$140, S2=$80, ogni payoff è max(50x140-80x80,0)=$600, cassa $1,800; fisicamente si consegnano 240 azioni e se ne ricevono 150. A S1=$138.50, S2=$80.40, la cassa è 3xmax(50x138.50-80x80.40,0)=$1,479, ossia $321 meno. Il mark del dealer non sostituisce il fixing.

Procedura in sette fasi e controlli

Attività, classe, indice, valuta o emittente errati.
Direzione, segno, quantità, rapporto, moltiplicatore o deliverable errati.
Payoff in valute incompatibili senza FX o quanto.
Stile, scadenza, fixing, fuso o regolamento incoerenti.
Errori su operazioni societarie, distribuzioni, dividendi, prestito o ritenute.
Spot, forward, curve, superfici o FX obsoleti o asincroni.
Errori di unità, day count, rendimento o scala di covarianza.
Matrice incoerente o stima storica instabile.
Una correlazione nasconde strike, tenor, regime e dipendenza di coda.
Fallimento di volatilità/correlazione costante o lognormalità.
Salti, default, sospensioni e chiusure.
Delta relativa, cross-Gamma, Vega, correlazione e carry cambiano insieme.
Replica continua presunta durante gap, sospensione o illiquidità.
Prezzo di modello scambiato per bid o offer eseguibile.
Specifiche FLEX/listate estese a un diritto bespoke.
Conferma OTC, collateral, netting, close-out o controversia incoerenti.
Default, wrong-way risk, collateral gap o recupero incerto.
Hedge parziali, basis risk, impatto, costi e funding asimmetrico.
Inventario, fixing cash, FX e imposte non riconciliati.
Versione, vintage, conferma, collateral e P/L finale non riconciliati.

Errori comuni

“Opzione di scambio significa opzione negoziata in borsa.” La prima è un payoff; la seconda un mercato.
“Il rapporto si applica dopo la valutazione.” Le quantità entrano nel logaritmo e nei due termini scontati.
“Il tasso scompare, quindi il funding non conta.” Il numerario non elimina carry, collateral, prestito, FX o funding.
“La correlazione è osservabile e stabile.” È stimata, condizionale e solo parte del rischio congiunto.
“Il valore chiuso è un prezzo di close-out.” Esecuzione, credito, diritto, liquidità, hedge e controversie possono differire.