Opções de troca: precificação de Margrabe e risco de valor relativo

Avalie uma opção de troca com quantidades explícitas, carry, volatilidade e correlação e controle liquidação, execução e risco de contraparte.

Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

Resposta direta

Uma opção de troca confere ao titular o direito, mas não a obrigação, de entregar uma quantidade especificada de um ativo e receber uma quantidade especificada de outro. Se o direito entrega a unidades do ativo 1 contra b unidades do ativo 2 em T, seu payoff em moeda comum é max(a x S1(T) - b x S2(T), 0). Relação de troca, identidade dos ativos, moeda, fixing e entregável são dados contratuais, não um multiplicador a inferir depois.

A fórmula de Margrabe precifica um direito europeu restrito, sem strike em dinheiro, sob ativos conjuntamente lognormais, carry proporcional determinístico, volatilidades e correlação constantes, negociação contínua e replicação sem fricções. É uma referência de modelo, não cotação executável, garantia de hedge, contrato listado padronizado nem valor de encerramento bilateral.

Construir o direito e o modelo

Escreva payoff exato, quantidades, moeda comum de avaliação, estilo de exercício, fixing, liquidação e regras de eventos societários. Não dependa do rótulo “opção de troca”.
No modelo básico, defina X1 = a x S1 e X2 = b x S2. Fixe spots sincronizados, yields contínuos q1 e q2, volatilidades anualizadas sigma1 e sigma2, correlação de retornos rho e fração anual T.
Calcule a volatilidade relativa como sigmaR = sqrt(sigma1^2 + sigma2^2 - 2 x rho x sigma1 x sigma2). Confira covariâncias, unidades, instante e consistência semidefinida positiva.
Precifique o direito europeu com V = X1 x exp(-q1 x T) x N(d1) - X2 x exp(-q2 x T) x N(d2), onde d1 = [ln(X1 / X2) + (q2 - q1 + 0.5 x sigmaR^2) x T] / (sigmaR x sqrt(T)) e d2 = d1 - sigmaR x sqrt(T).
Reprecifique nas duas superfícies de volatilidade, correlação, carry, saltos e liquidez. Uma rho menor normalmente eleva sigmaR e o valor vanilla, mas correlação histórica isolada não é entrada negociável nem distribuição conjunta completa.
Mapeie o direito do modelo para o instrumento real. Contratos listados, FLEX e OTC bilaterais podem diferir em multiplicador, exercício, liquidação física ou financeira, fixing, colateral, close-out, netting, disputas e contraparte.
Registre lados executáveis de entrada e saída, custos, hedges, funding, colateral, distribuições, caixa ou inventário de liquidação e resíduos de marcação. Reconcilie confirmação jurídica e caixa, sem tratar o mark do modelo como P/L realizado.

A ausência de taxa livre de risco explícita na fórmula elementar decorre do numerário, não prova que o financiamento seja irrelevante. Forwards, distribuições, aluguel, remuneração do colateral, conversão cambial, spreads de funding e close-out afetam a operação. Se os ativos usam moedas diferentes, defina antes a moeda de liquidação e a conversão FX ou regra quanto; subtrair preços em moedas diferentes não faz sentido.

Quatro exemplos completos

Valor um por um. Com S1=$110, S2=$100, a=b=1, T=0.5, sigma1=30%, sigma2=20%, rho=0.50 e q1=q2=0, temos sigmaR=sqrt(0.30^2+0.20^2-2x0.50x0.30x0.20)=26.4575131106%, d1=0.6029957751 e d2=0.4159129058. O valor é $13.815554 por direito, ante o intrínseco atual max(110-100,0)=$10. São resultados do modelo, não oferta.
As quantidades entram no modelo. Um direito troca b=200 ações do ativo 2 por a=150 do ativo 1. Com S1=$80, S2=$55, T=0.75, sigma1=28%, sigma2=22%, rho=0.35, q1=1% e q2=3%, os valores atuais são X1=$12,000 e X2=$11,000. A volatilidade relativa é 28.9274955708%; d1=0.5324591424, d2=0.2819396820 e o valor cerca de $1,799.02 por direito. Trocar as quantidades por um suposto multiplicador de 100 ações altera o direito.
Correlação é exposição de modelo. No primeiro exemplo, com rho=0.90, sigmaR=14.8323969742% e valor próximo de $11.086226; com rho=-0.50, sigmaR=43.5889894354% e valor próximo de $18.464726. A diferença não prevê que a correlação realizada seguirá qualquer entrada. Superfícies, saltos, carry e hedge podem dominar.
Liquidação e execução são livros separados. Três direitos trocam cada um 80 ações do ativo 2 por 50 do ativo 1. Com fixings S1=$140 e S2=$80, cada payoff é max(50x140-80x80,0)=$600: liquidação financeira de $1,800; a física exige entregar 240 ações do ativo 2 e receber 150 do ativo 1. Outra cláusula válida com S1=$138.50 e S2=$80.40 gera 3xmax(50x138.50-80x80.40,0)=$1,479, ou $321 menos. O mark do dealer não substitui o fixing contratual.

Fluxo de sete etapas e controles

Ativo, classe, índice, moeda ou emissor jurídico incorreto.
Direção, sinal, quantidade, relação, multiplicador ou entregável incorreto.
Payoff em moedas incompatíveis sem regra FX ou quanto.
Divergência em estilo, vencimento, fixing, fuso ou liquidação.
Erro em evento societário, distribuição, dividendo especial, aluguel ou retenção tributária.
Spots, forwards, curvas, superfícies ou FX defasados ou assíncronos.
Erro em unidades de volatilidade, day count, retorno ou escala de covariância.
Matriz de correlação inconsistente ou estimativa histórica instável.
Correlação escalar oculta strike, prazo, regime e dependência de cauda.
Falha de volatilidade/correlação constante ou lognormalidade.
Saltos comuns ou idiossincráticos, defaults, suspensões e fechamentos.
Delta relativa, Gamma cruzada, Vega, correlação e carry mudam juntos.
Replicação contínua presumida através de gap, suspensão ou sessão ilíquida.
Preço do modelo confundido com bid ou offer executável sincronizado.
Especificações FLEX ou listadas generalizadas para direito bespoke de dois ativos.
Divergência em confirmação OTC, colateral, netting, close-out ou disputa.
Default da contraparte, wrong-way risk, lacuna de colateral ou recuperação incerta.
Hedge parcial, risco de base, impacto, custos e funding assimétrico.
Inventário físico, fixing financeiro, conversão FX e imposto sem reconciliação.
Versão do modelo, vintage, confirmação, colateral e P/L final sem reconciliação.

Equívocos comuns

“Opção de troca significa opção negociada em bolsa.” A primeira descreve payoff; a segunda, ambiente e estrutura de mercado.
“A relação de troca pode ser aplicada depois da precificação.” Quantidades alteram o valor relativo atual e entram no logaritmo e nos dois termos descontados.
“A taxa livre de risco desaparece, então funding não importa.” O cancelamento por numerário não elimina carry, colateral, aluguel, FX nem funding do dealer.
“Correlação é diretamente observável e estável.” É estimada, depende do estado e é apenas parte da superfície conjunta e do risco de salto.
“Um valor fechado é preço negociável de encerramento.” Execução, crédito, termos jurídicos, liquidez, hedge e disputas podem gerar outro valor.