Opciones de intercambio: valoración de Margrabe y riesgo de valor relativo

Valore una opción de intercambio con cantidades explícitas, carry, volatilidad y correlación, y controle después liquidación, ejecución y riesgo de contraparte.

Solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversión. Invertir puede ocasionar pérdidas.

Respuesta directa

Una opción de intercambio concede al titular el derecho, no la obligación, de entregar una cantidad especificada de un activo y recibir una cantidad especificada de otro. Si el derecho entrega a unidades del activo 1 a cambio de b unidades del activo 2 en T, su payoff en una moneda común es max(a x S1(T) - b x S2(T), 0). La relación de intercambio, identidad de activos, moneda, fixing y entregable son datos contractuales, no un multiplicador que se infiere después.

La fórmula de Margrabe valora un derecho europeo restringido, sin strike en efectivo, bajo activos lognormales conjuntos, carry proporcional determinista, volatilidades y correlación constantes, negociación continua y réplica sin fricciones. Es una referencia de modelo, no una cotización ejecutable, garantía de cobertura, contrato listado estandarizado ni importe de cierre bilateral.

Construir el derecho y el modelo

Escriba el payoff exacto, cantidades, moneda común de valoración, estilo de ejercicio, fixing, liquidación y reglas de acciones corporativas. No dependa de la etiqueta «opción de intercambio».
Para el modelo básico, defina X1 = a x S1 y X2 = b x S2. Fije spots sincronizados, rendimientos continuos q1 y q2, volatilidades anualizadas sigma1 y sigma2, correlación de rendimientos rho y fracción anual T.
Calcule la volatilidad relativa como sigmaR = sqrt(sigma1^2 + sigma2^2 - 2 x rho x sigma1 x sigma2). Compruebe covarianzas, unidades, instante y consistencia semidefinida positiva.
Valore el derecho europeo con V = X1 x exp(-q1 x T) x N(d1) - X2 x exp(-q2 x T) x N(d2), donde d1 = [ln(X1 / X2) + (q2 - q1 + 0.5 x sigmaR^2) x T] / (sigmaR x sqrt(T)) y d2 = d1 - sigmaR x sqrt(T).
Revalore en ambas superficies de volatilidad, correlación, carry, saltos y liquidez. Una rho menor suele elevar sigmaR y el valor vanilla, pero una correlación histórica no es una entrada negociable ni una distribución conjunta completa.
Relacione el derecho del modelo con el instrumento real. Los contratos listados, FLEX y OTC bilaterales pueden diferir en multiplicador, ejercicio, liquidación física o en efectivo, fuente de fixing, colateral, cierre, netting, disputas y contraparte.
Registre lados ejecutables de entrada y salida, comisiones, coberturas, financiación, colateral, distribuciones, caja o inventario de liquidación y residuos de valoración. Concilie confirmación jurídica y caja, sin tratar el mark del modelo como P/L realizado.

La ausencia de un tipo libre de riesgo explícito en la fórmula elemental es consecuencia del numerario, no prueba de que la financiación sea irrelevante. Forwards, distribuciones, préstamo de acciones, remuneración del colateral, conversión FX, spreads de financiación y cierre siguen afectando a la operación. Si los activos están en monedas distintas, defina primero la moneda de liquidación y la conversión FX o regla quanto; restar precios brutos en monedas diferentes carece de sentido.

Cuatro ejemplos desarrollados

Valor uno por uno. Con S1=$110, S2=$100, a=b=1, T=0.5, sigma1=30%, sigma2=20%, rho=0.50 y q1=q2=0, resulta sigmaR=sqrt(0.30^2+0.20^2-2x0.50x0.30x0.20)=26.4575131106%, d1=0.6029957751 y d2=0.4159129058. El valor es $13.815554 por derecho, frente al intrínseco actual max(110-100,0)=$10. Son resultados del modelo, no una oferta.
Las cantidades pertenecen al modelo. Un derecho intercambia b=200 acciones del activo 2 por a=150 del activo 1. Con S1=$80, S2=$55, T=0.75, sigma1=28%, sigma2=22%, rho=0.35, q1=1% y q2=3%, los valores actuales son X1=$12,000 y X2=$11,000. La volatilidad relativa es 28.9274955708%; d1=0.5324591424, d2=0.2819396820 y el valor aproximado $1,799.02 por derecho. Sustituir las cantidades por un supuesto multiplicador de 100 acciones cambia el derecho.
La correlación es una exposición de modelo. En el primer ejemplo, con rho=0.90, sigmaR=14.8323969742% y el valor ronda $11.086226; con rho=-0.50, sigmaR=43.5889894354% y el valor ronda $18.464726. La diferencia no pronostica que la correlación realizada siga ninguna entrada. Superficies, saltos, carry y coberturas pueden dominar.
Liquidación y ejecución son libros distintos. Tres derechos intercambian cada uno 80 acciones del activo 2 por 50 del activo 1. Con fixings S1=$140 y S2=$80, cada payoff es max(50x140-80x80,0)=$600: liquidación en efectivo de $1,800; la física exige entregar 240 acciones del activo 2 y recibir 150 del activo 1. Con otra cláusula válida que dé S1=$138.50 y S2=$80.40, la caja es 3xmax(50x138.50-80x80.40,0)=$1,479, o $321 menos. Un mark del dealer no sustituye el fixing contractual.

Flujo de siete pasos y controles

Activo, clase, índice, moneda o emisor jurídico incorrectos.
Dirección, signo, cantidad, relación, multiplicador o entregable erróneos.
Payoff en monedas incompatibles sin regla FX o quanto.
Desajuste de estilo, vencimiento, fixing, zona horaria o liquidación.
Error de acción corporativa, distribución, dividendo especial, préstamo o retención fiscal.
Spots, forwards, curvas, superficies o FX obsoletos o asíncronos.
Error de unidades de volatilidad, day count, rendimientos o escala de covarianza.
Matriz de correlación inconsistente o estimación histórica inestable.
Una correlación escalar oculta strike, tenor, régimen y dependencia de cola.
Fallo de supuestos de volatilidad/correlación constante o lognormalidad.
Saltos comunes o idiosincráticos, defaults, suspensiones y cierres.
Delta relativa, Gamma cruzada, Vega, correlación y carry cambian conjuntamente.
Réplica continua supuesta durante gap, suspensión o sesión ilíquida.
Precio de modelo confundido con bid u offer ejecutable sincronizado.
Especificaciones FLEX o listadas generalizadas a un derecho bespoke de dos activos.
Desajuste de confirmación OTC, colateral, netting, cierre o disputa de valoración.
Default de contraparte, wrong-way risk, brecha de colateral o recuperación incierta.
Coberturas parciales, riesgo de base, impacto, comisiones y financiación asimétrica.
Inventario físico, fixing de caja, conversión FX e impuestos sin conciliar.
Versión del modelo, vintage, confirmación, colateral y P/L final sin conciliar.

Errores frecuentes

«Opción de intercambio significa opción negociada en bolsa». Lo primero describe un payoff; lo segundo, un centro y estructura de mercado.
«La relación de intercambio puede aplicarse después de valorar». Las cantidades cambian el valor relativo actual y entran en el logaritmo y ambos términos descontados.
«El tipo libre de riesgo desaparece, luego la financiación no importa». La cancelación por numerario no elimina carry, colateral, préstamo, FX ni financiación del dealer.
«La correlación es observable y estable». Se estima, depende del estado y es solo parte de la superficie conjunta y del riesgo de salto.
«Un valor cerrado es un precio de cierre negociable». Ejecución, crédito, términos jurídicos, liquidez, cobertura y disputas pueden dar otro resultado.