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Swaps de variance de corridor : observation, normalisation et unités

Calculez la variance réalisée pondérée par indicateurs dans un corridor en contrôlant les règles d’observation, les dénominateurs, les unités de variance, les notionnels, les plafonds, les sauts et le règlement OTC.

Mis à jour

À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

Réponse directe

Un swap de variance de corridor est un contrat de variance pondéré par indicateur. Il accumule les rendements au carré uniquement pour les intervalles qui satisfont à un test de gamme de prix défini contractuellement. Le nom ne détermine pas si le test utilise le prix de départ de l’intervalle, le prix de fin, les deux extrémités ou une condition intrajournalière, ni si le dénominateur compte tous les rendements programmés ou uniquement les rendements actifs.

Soient les niveaux d’observation ajustés officiels P₀,…,P_N et le rendement logarithmique r_i=ln(P_i/P_{i−1}). Pour le corridor [L,H], les poids illustratifs sont w_i^start=I(L≤P_{i−1}≤H), w_i^end=I(L≤P_i≤H) et w_i^both=w_i^start×w_i^end. Les barrières inclusives versus strictes, les touches, les franchissements, les écarts, les temps d’observation et les prix de remplacement sont des termes de confirmation.

Avec le facteur d’annualisation A, le nombre programmé N_sched et le nombre actif N_active=Σw_i, deux définitions économiquement différentes sont RV_sched=(A/N_sched)Σw_i r_i² et RV_active=(A/N_active)Σw_i r_i². La formule active nécessite une règle explicite lorsque N_active=0. Ce sont des mesures de variation quadratique réalisée ; elles ne soustraient normalement pas une moyenne échantillon sauf si les termes signés l’indiquent.

Comment spécifier et calculer le swap

  1. Fixer le droit contractuel et les parties : accord-cadre, confirmation de transaction, sous-jacent et version de l’indice, base prix ou rendement total, devise, date d’effet, période d’observation, dates de valorisation et de paiement, convention de jours ouvrables, agent de calcul, loi applicable, et direction acheteur ou vendeur.
  2. Verrouiller la grille d’observation et le corridor : source de prix officielle et horodatage, L, H, niveaux fixes ou réinitialisés, touches inclusives ou strictes, début, fin, poids aux deux extrémités ou intrajournalier, et traitement des croisements et des écarts.
  3. Définir chaque rendement et niveau ajusté. Enregistrer le rendement logarithmique, simple, brut ou net ; dividendes, fractionnements, opérations sur titres, rééquilibrages d’indice, termes FX ou quanto ; observations manquantes ; perturbation du marché, report, solutions de repli et règles de correction.
  4. Produire un tableau d’intervalle vérifiable contenant P_{i−1}, P_i, r_i, r_i², w_i et w_i r_i². Puis appliquer le facteur A, le nombre N_sched indiqué, le nombre d’observations valides, N_active, la règle de repli en l’absence d’observation active, la convention de décompte des jours et l’arrondi sans changer de dénominateur après observation de la trajectoire.
  5. Normaliser toutes les unités de trésorerie. Si la volatilité est cotée en points de volatilité numérique, K_var,points=K_vol² ; en unités décimales, K_var,decimal=(K_vol/100)² et 1 decimal variance unit=10,000 variance points. Enregistrer le notionnel de variance, le notionnel de vega, le signe acheteur ou vendeur, le strike, le plancher, le plafond de variance réalisée, le plafond par rendement, le plafond de paiement, et leur ordre exact d’application.
  6. Valoriser et couvrir à partir du forward pertinent, surface de volatilité complète et skew, région de barrière, taux, dividendes, sauts et grille d’observation. Séparer la réplication idéalisée de surveillance continue des strikes et maturités finies, échantillonnage discret, commutation de barrières, effets de temps local, coûts de transaction et liquidité réelle de dénouement.
  7. Recalculer de manière indépendante chaque observation et flux de trésorerie. Réconcilier le relevé de l’agent de calcul, la valorisation à la valeur de marché, la version du modèle, la réserve de valorisation, la confirmation, seuil CSA et collatéral, compensation, litige, clôture en cas de défaut, frais, impôts, devise de règlement et paiement final.

Pour un acheteur de variance avec un notionnel de variance en unités décimales N_var,decimal, strike K_var, plancher de variance réalisée optionnel F_var, et plafond C_var, un gain/perte signé possible est Π=N_var,decimal×(min(max(RV,F_var),C_var)−K_var). Un vendeur reçoit le négatif de ce montant. Un plafond en espèces, un plafond sur chaque rendement, et un plafond sur la RV annualisée ne sont pas interchangeables.

La variance est la volatilité au carré. La variance décimale 0.04, le niveau de variance 400 variance points et la volatilité 20 vol points décrivent le même niveau parce que 0.04×10,000=400=20². Ils emploient des notionnels en espèces différents. Près d’un strike exprimé en K_vol points de volatilité, une convention locale courante est N_vega≈2×K_vol×N_var,points; le rendement exact de la variance reste quadratique plutôt que linéaire par rapport à la volatilité.

Exemples travaillés

  • Tests de début, de fin et aux deux extrémités. Utiliser le corridor inclusif [90,110], les niveaux P=[100,105,115,108,88], l’annualisation A=252, et le dénominateur prévu N_sched=4. Les quatre rendements logarithmiques sont [0.04879016417,0.09097177821,−0.06280090124,−0.20479441265], avec leurs carrés [0.00238048012,0.00827586443,0.00394395320,0.04194075145]. Les poids de départ [1,1,0,1] donnent la somme 0.05259709600, RV_start=3.31361704804, et l’équivalent de volatilité 182.0334%. Les poids de fin [1,0,1,0] donnent RV_end=0.39843929892 et 63.1220% ; les poids aux deux extrémités [1,0,0,0] donnent RV_both=0.14997024754 et 38.7260%. Le saut de 108 à 88 est inclus uniquement par le test de départ.
  • Normalisation prévue versus active. Cinq intervalles de rendement prévus ont des poids [1,0,1,0,1] ; leurs rendements éligibles sont +3%, −2%, et +1%, donc Σw_i r_i²=0.0014. Avec A=252, la normalisation prévue donne RV_sched=252×0.0014÷5=0.07056 et l’équivalent de volatilité 26.5631%. La normalisation active donne RV_active=252×0.0014÷3=0.1176 et 34.2929%. Le numérateur éligible est identique, mais les contrats ne sont pas économiquement équivalents.
  • Points de variance, unités décimales et notionnel vega. Soit K_vol=20, donc K_var=400 variance points=0.04 decimal variance, et soit la volatilité réalisée 22, donc la variance réalisée est 484 points=0.0484. Si N_vega=$10,000 per vol point, la conversion du strike local donne N_var,points=$10,000÷(2×20)=$250 per variance point, équivalent à N_var,decimal=$2,500,000 per decimal variance unit. Le paiement exact de l’acheteur est (484−400)×$250=$21,000 ; l’estimation linéaire du vega est (22−20)×$10,000=$20,000. La différence $1,000 est le terme de courbure quadratique, et non une erreur d’arrondi.
  • Un saut, un changement et un plafond de variance réalisée. Utiliser le corridor [80,120], un test de prix de départ, 4 scheduled returns, A=252, les rendements logarithmiques [2%,−1%,−45%,3%], et les poids [1,1,1,0]. Le saut de l’intérieur vers l’extérieur −45% est inclus, le rendement suivant est exclu, et la somme des carrés de rendement éligibles est 0.203, donc brut RV=252×0.203÷4=12.789. Avec K_var=0.04, N_var,decimal=$100,000, et sans plafond, le paiement de l’acheteur est (12.789−0.04)×$100,000=$1,274,900. Si la confirmation plafonne à la place la variance réalisée annualisée à C_var=0.64, le paiement est (0.64−0.04)×$100,000=$60,000. Ceci ne décrit pas un plafond par rendement ou par paiement en espèces.

Term-sheet, modèle et risques du cycle de vie

  • Vérifiez l’actif sous-jacent, la version de l’indice, la base de rendement-prix ou rendement total, et l’agent de calcul.
  • Verrouillez la devise de règlement, les termes FX ou quanto, et la devise des deux barrières du corridor.
  • Enregistrez le calendrier d’observation, l’horodatage, le fuseau horaire, les jours fériés et la source de prix officielle.
  • Définissez les observations manquantes, retardées, perturbées, reportées, de secours et corrigées.
  • Précisez les rendements logarithmiques, simples, bruts ou nets et tout ajustement moyen.
  • Précisez le traitement des dividendes, fractionnements, opérations sur titres, rééquilibrage de l’indice et niveaux ajustés.
  • Enregistrez les L et H fixes, relatifs à terme ou réinitialisés pour chaque intervalle.
  • Distinguez les barrières inclusives et strictes et définissez un contact exact.
  • Distinguez les règles d’éligibilité de début, de fin, des deux extrémités, en moyenne et intrajournalières.
  • Soulignez les écarts et sauts nocturnes qui modifient l’indicateur pour un rendement total au carré.
  • Ne mélangez pas les dénominateurs d’observation programmés, valides et actifs.
  • Définissez le résultat lorsque N_active=0 ou très peu d’observations actives restent.
  • Verrouillez la base d’annualisation, le comptage des jours, le nombre d’observations, la précision et l’arrondi.
  • Distinguez la variance décimale, les points de variance, les points de volatilité et les pourcentages cotés.
  • Distinguez le notionnel de variance du notionnel vega et validez toute conversion locale.
  • Appliquez les plafonds par rendement, les plafonds de variance réalisée, les planchers et les plafonds de paiement dans l’ordre indiqué.
  • Testez l’ensemble du skew et de la surface, la concentration près des barrières, les sauts et la calibration du modèle.
  • Autorisez les erreurs liées à la bande d’options finie, la surveillance discrète, le coût de transaction et le glissement de couverture.
  • Incluez la liquidité du dénouement, les réserves de valorisation, les différences de modèle et les différends de calcul.
  • Incluez le risque de crédit de contrepartie, le collatéral CSA, les seuils, la compensation, la clôture de défaut, les frais et les taxes.

Idées reçues courantes

  • Tout mouvement de prix en dehors du corridor disparaît automatiquement du règlement.
  • Un rendement qui franchit une barrière est toujours exclu.
  • La normalisation des jours programmés et des jours actifs produit le même résultat pour les mêmes rendements éligibles.
  • Une volatilité 20% signifie que la variance 0.20, ou la notionnelle de vega peut remplacer directement la notionnelle de variance.
  • Un corridor plus étroit est nécessairement plus sûr et la réplication continue élimine le risque de saut ou de couverture.

Sujets connexes

Sources faisant autorité

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