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Portefeuilles de réplication d’options : gains par état et valeur sans arbitrage

Construisez une réplique d'option sur une période à partir d'actions et d'emprunts, vérifiez chaque état terminal et comprenez pourquoi les couvertures dynamiques réelles s'écartent du modèle.

Mis à jour

À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

Réponse directe

Un portefeuille de réplication combine des instruments négociés pour égaler le gain d’une option dans chaque état du modèle. Dans un modèle binomial à une période, une action et un emprunt ou placement sans risque peuvent répliquer exactement une option européenne. Si les gains contingents sont identiques, la loi du prix unique impose la même valeur aujourd’hui ; sinon, on pourrait acheter le gain le moins cher et vendre le plus cher.

Il s’agit d’un résultat de tarification conditionnel. La réplication exacte dépend des états du modèle, des opportunités commerciales, du financement, des distributions, des termes du contrat et des hypothèses d’exécution sans friction. Dans un marché réel avec des sauts, des spreads, des couvertures discrètes, des limites d’emprunt et des exercices précoces, une couverture est normalement approximative.

Résoudre les gains par état, pas mémoriser une formule

Notons S0 le cours actuel de l’action. À la date suivante, il vaut Su ou Sd, avec Su > Sd. L’option verse Cu ou Cd, et R est le facteur de croissance brut sans risque. On suppose que l’action ne distribue aucun flux de trésorerie pendant la période ; sinon, ce flux doit être intégré de façon cohérente. Un portefeuille détenant Δ actions et une position de trésorerie actuelle B0 a pour valeurs terminales :

Δ × Su + B0 × R = Cu

Δ × Sd + B0 × R = Cd

La soustraction des équations donne :

Δ = (Cu - Cd) / (Su - Sd)

Ensuite :

B0 = (Cu - Δ × Su) / R

option value today = Δ × S0 + B0

Un B0 négatif signifie un emprunt. Le calcul doit vérifier les deux états terminaux. Faire correspondre uniquement un gain attendu n’est pas une réplication.

Avant de valoriser l’option, il faut vérifier que le marché formé par l’action et la trésorerie satisfait lui-même :

Sd < R × S0 < Su

Cette condition équivaut à imposer 0 < q < 1 à la pondération risque-neutre ci-dessous. Sinon, le modèle admet déjà un arbitrage entre l’action et la trésorerie. Lorsqu’elle est satisfaite, le prix de réplication peut être contrôlé par :

q = (R × S0 - Sd) / (Su - Sd)

option value = [q × Cu + (1 - q) × Cd] / R

Ce q est une pondération de prix impliquée par l’absence d’arbitrage au sein du modèle, pas nécessairement une prévision de la probabilité réelle d’une hausse.

Dans un arbre multipériode, le portefeuille est résolu à chaque nœud. Une couverture autofinancée modifie les avoirs en actions et en espèces en utilisant uniquement la valeur déjà présente dans la stratégie, sans dépôts ni retraits externes inexpliqués. Les modèles d’options en temps continu idéalisent ce rééquilibrage ; les vraies haies sont discrètes.

Réplication d’un call sur une période

Supposons :

  • S0 = US$100 ;
  • le stock de la période suivante est de Su = US$120 ou Sd = US$80 ;
  • une option d’achat européenne a un strike (prix d’exercice) US$100, donc Cu = US$20 et Cd = US$0 ;
  • le coefficient sans risque brut de la période est de R = 1.02.

Détention des actions :

Δ = (US$20 - US$0) / (US$120 - US$80) = 0.5 share

Situation de trésorerie actuelle :

B0 = (US$20 - 0.5 × US$120) / 1.02 = -US$39.2157

Coût de la réplique :

0.5 × US$100 - US$39.2157 = US$10.7843

Vérifiez chaque état :

État Composante en actions Remboursement en espèces Gain du portefeuille Gain du call
Haut 60 $ -40$ 20 $ 20 $
Vers le bas 40 $ -40$ 0 $ 0 $

Vérification croisée sans risque :

q = (1.02 × US$100 - US$80) / (US$120 - US$80) = 0.55

[US$20 × 0.55 + US$0 × 0.45] / 1.02 = US$10.7843

À titre d’échelle, si le droit utilise un multiplicateur de 100 actions, sa valeur modélisée est de US$1,078.43 par contrat ; la composante initiale est de 50 actions, avec un emprunt modélisé de US$3,921.57. Les options standard sur actions américaines représentent généralement 100 actions, mais une opération sur titre peut modifier le livrable. Ces quantités restent théoriques avant spreads, financement, marge, frais, distributions et contraintes de lots entiers.

Si l’option d’achat de marché est proposée à US$11.20, l’écart US$0.4157 par rapport à la réplique sans friction n’est pas automatiquement un arbitrage négociable. L’option et la couverture doivent être exécutables aux côtés et aux tailles appropriés ; le financement, l’emprunt d’actions, le style d’exercise (exercice de l’option par son détenteur), les dividendes et les coûts de dénouement doivent être inclus.

Limites et risques de réplication

  • Risque de modèle d’état : le stock réel peut se terminer en dehors ou entre des succursales supposées.
  • Risque de saut : les prix peuvent évoluer avant que la couverture ne soit rééquilibrée.
  • Risque de couverture discrète : un ajustement continu n’est pas disponible en pratique.
  • Coûts de transaction : les transactions répétées, les spreads, les frais et l’impact sur le marché consomment de la valeur théorique.
  • Risque de financement : les taux d’emprunt et de prêt du trader diffèrent du taux modèle.
  • Risque de dividendes et d’emprunt : les distributions et la disponibilité des stocks modifient les paramètres économiques de portage.
  • Risque d’exercice précoce : une option américaine nécessite des décisions d’exercice aux nœuds intermédiaires.
  • Risque de surface de volatilité : les options réelles sur tous les prix d’exercice et toutes les échéances ne suivent pas une entrée de volatilité fixe.
  • Risque de liquidité : l’option ou la couverture peut ne pas être négociée à la taille et au moment requis.
  • Risque contractuel : le multiplicateur, le livrable, le règlement en espèces et les ajustements doivent correspondre au gain modélisé.
  • Confusion de modèle-arbitrage : une différence de prix théorique n’est pas une transaction exécutable sans risque.

Idées fausses courantes

  • « La réplication correspond au gain moyen. » Elle doit correspondre à chaque état modélisé.
  • « Le Delta reste à 0,5 jusqu’à l’expiration. » Dans un marché multipériode ou en direct, le Delta change et nécessite un rééquilibrage.
  • « La probabilité neutre au risque est la vraie probabilité. » Il s’agit d’une pondération de tarification selon les hypothèses du modèle.
  • « La réplique élimine tous les risques. » Les risques de modèle, de saut, d’exécution, de financement et de contrat subsistent.
  • «Une différence théorique est l’arbitrage libre.» Toutes les étapes, tailles, délais, financements et coûts doivent être exécutables.
  • « L’emprunt n’est qu’une notation. » Il s’agit d’une position de trésorerie économique avec des contraintes de financement et de marge.
  • « Les options européennes et américaines se répliquent à l’identique. » Un exercice précoce modifie le problème de valorisation.
  • « La réplication sur une période prouve qu’une couverture continue fonctionne exactement. » Le véritable rééquilibrage est discret et dépend du chemin.

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