交換オプション：Margrabe評価と相対価値リスク

明示した資産数量、キャリー、ボラティリティ、相関により交換オプションを評価し、決済、執行、カウンターパーティーのリスクを管理します。

教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資により損失が生じる可能性があります。

直接の答え

交換オプションは、所定数量の一方の資産を引き渡し、所定数量の他方の資産を受け取る権利を保有者に付与しますが、義務は課しません。原資産1をa単位受け取る代わりに原資産2をb単位引き渡し、Tに決済する請求権なら、共通通貨建てペイオフはmax(a x S1(T) - b x S2(T), 0)です。交換比率、資産の同一性、通貨、フィキシング、受渡物は契約上の入力であり、後から推測する乗数ではありません。

Margrabe公式が評価するのは、二つの資産が共同対数正規分布に従い、比例的キャリーが確定的、ボラティリティと相関が一定、連続取引と摩擦のない複製が可能という限定的な条件下の、ヨーロピアン型で現金行使価格のない請求権です。これはモデル上の基準値を提供しますが、約定可能な気配値、ヘッジ保証、標準化された上場契約、相対のクローズアウト金額を確定するものではありません。

請求権とモデルを構築する

正確なペイオフ、数量、共通評価通貨、行使方式、フィキシング、決済、コーポレート・アクション規則を書き出します。「交換オプション」という名称だけに依存してはいけません。
基本モデルではX1 = a x S1とX2 = b x S2を定義します。同期したスポット、連続分配利回りq1とq2、年率ボラティリティsigma1とsigma2、リターン相関rho、年単位の期間Tを固定します。
sigmaR = sqrt(sigma1^2 + sigma2^2 - 2 x rho x sigma1 x sigma2)により相対ボラティリティを計算します。結果を使う前に、共分散入力、単位、タイムスタンプ、半正定値としての整合性を確認します。
V = X1 x exp(-q1 x T) x N(d1) - X2 x exp(-q2 x T) x N(d2)によりヨーロピアン型請求権を評価します。ここでd1 = [ln(X1 / X2) + (q2 - q1 + 0.5 x sigmaR^2) x T] / (sigmaR x sqrt(T))、d2 = d1 - sigmaR x sqrt(T)です。
両資産のボラティリティ・サーフェス、相関、キャリー、ジャンプ、流動性にわたって再評価します。低いrhoは通常sigmaRとこのバニラ交換オプションの価値を高めますが、一つの過去相関は取引可能な入力でも完全な同時分布でもありません。
モデル上の請求権を実際の商品に対応させます。上場、FLEX、二者間のOTC契約では、乗数、行使、現物または現金決済、フィキシング情報源、担保、クローズアウト、ネッティング、紛争、カウンターパーティーの条件が異なる場合があります。
約定可能なエントリーとイグジットの気配側、手数料、ヘッジ、資金調達、担保、分配、決済資金または在庫、モデル価格と市場価格の残差を記録します。モデル評価額を実現損益とせず、法的確認書と資金台帳を照合します。

基本公式に無リスク金利項が明示されないのはニュメレールの帰結であり、資金調達が無関係だという証明ではありません。フォワード水準、分配利回り、借株、担保金利、為替換算、資金調達スプレッド、クローズアウト条件は実際の取引に影響します。資産の通貨が異なる場合は、決済通貨と為替換算またはクオント規則を先に明記します。異なる通貨の価格をそのまま引くことに意味はありません。

4つの計算例

1対1のモデル価値。 S1=$110、S2=$100、a=b=1、T=0.5、sigma1=30%、sigma2=20%、rho=0.50、q1=q2=0とします。このときsigmaR=sqrt(0.30^2+0.20^2-2x0.50x0.30x0.20)=26.4575131106%、d1=0.6029957751、d2=0.4159129058です。権利1単位当たりのモデル価値は$13.815554、現在の本源的価値はmax(110-100,0)=$10です。これらはモデル出力であり、取引のオファーではありません。
数量はモデル内に置く。 1つの権利で原資産2のb=200株と原資産1のa=150株を交換します。S1=$80、S2=$55、T=0.75、sigma1=28%、sigma2=22%、rho=0.35、q1=1%、q2=3%なら、現在の資産価値はX1=$12,000とX2=$11,000です。相対ボラティリティは28.9274955708%、d1=0.5324591424、d2=0.2819396820で、権利1単位当たりのモデル価値は約$1,799.02です。契約数量を推測した100株の乗数に置き換えると、請求権そのものが変わります。
相関はモデル上のエクスポージャー。 最初の例に戻ります。rho=0.90ならsigmaR=14.8323969742%、モデル価値は約$11.086226です。rho=-0.50ならsigmaR=43.5889894354%、価値は約$18.464726です。この差は、実現相関がどちらかの入力に従うとの予測ではありません。サーフェス変動、ジャンプ、キャリー、ヘッジ費用が単独比較を上回ることがあります。
決済と執行は別の台帳。 3つの権利がそれぞれ原資産2を80株、原資産1を50株交換します。契約上のフィキシングがS1=$140とS2=$80なら、各ペイオフはmax(50x140-80x80,0)=$600なので、現金決済額は$1,800です。現物決済では原資産2を240株引き渡し、原資産1を150株受け取ります。別の有効なフィキシング条項によりS1=$138.50とS2=$80.40となる場合、現金決済額は3xmax(50x138.50-80x80.40,0)=$1,479で、$321少なくなります。ディーラーのモデル評価額は契約上のフィキシングに代わりません。

7段階のワークフローと管理策

資産、株式クラス、指数、通貨、法的発行体の取り違え。
交換方向、符号、数量、比率、乗数、受渡物の誤り。
為替換算またはクオント規則なしに互換性のない通貨でペイオフを記述すること。
行使方式、満期、フィキシング時刻、タイムゾーン、決済慣行の不一致。
コーポレート・アクション、分配、特別配当、借株、源泉税の誤り。
スポット、フォワード、カーブ、サーフェス、為替入力の陳腐化または非同期。
ボラティリティの単位、日数計算、リターン慣行、共分散の尺度の誤り。
相関行列の不整合または不安定な過去推定。
一つの相関が行使価格、期間、局面、テール依存を隠すこと。
一定ボラティリティ、一定相関、対数正規の仮定が崩れること。
共通または固有のジャンプ、デフォルト、売買停止、市場休場。
相対Delta、クロスGamma、Vega、相関、キャリーの同時変化。
ギャップ、売買停止、流動性の低い時間帯でも連続複製できるとの仮定。
モデル価格を同期した約定可能な買い気配または売り気配と誤認すること。
FLEXまたは上場商品の仕様を、特注の二資産請求権へ一般化すること。
OTC確認書、担保、ネッティング、クローズアウト、評価紛争の条件不一致。
カウンターパーティーのデフォルト、誤方向リスク、担保不足、回収率の不確実性。
ヘッジの部分約定、ベーシス・リスク、市場インパクト、手数料、資金調達の非対称性。
現物在庫、現金フィキシング、為替換算、税務の未照合。
モデル版、入力データ版、確認書、担保、最終損益の未照合。

よくある誤解

「交換オプションとは取引所取引オプションのことだ。」前者はペイオフ、後者は取引場所と市場構造を表します。
「交換比率は評価後に適用できる。」数量は現在の相対価値を変えるため、対数項と二つの割引資産項の中に置きます。
「無リスク金利が消えるので資金調達は関係ない。」ニュメレールによる相殺は、キャリー、担保、借株、為替、ディーラーの資金調達をなくしません。
「相関は直接観測でき安定している。」相関は推定値で状態に依存し、同時サーフェスとジャンプ・リスクの一部にすぎません。
「閉形式の価値は取引可能なクローズアウト価格だ。」執行、信用、法的条件、流動性、ヘッジ費用、評価紛争により異なる結果になり得ます。