Tauschoptionen: Margrabe-Bewertung und Relative-Value-Risiko

Bewerten Sie eine Tauschoption mit expliziten Mengen, Carry, Volatilität und Korrelation und steuern Sie Abrechnung, Ausführung und Kontrahentenrisiko.

Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen.

Direkte Antwort

Eine Tauschoption gibt dem Inhaber das Recht, nicht die Pflicht, eine festgelegte Menge eines Vermögenswerts abzugeben und eine festgelegte Menge eines anderen zu erhalten. Liefert der Anspruch a Einheiten von Vermögenswert 1 gegen b Einheiten von Vermögenswert 2 bei T, lautet sein Payoff in gemeinsamer Währung max(a x S1(T) - b x S2(T), 0). Tauschverhältnis, Vermögenswerte, Währung, Fixing und Liefergegenstand sind Vertragsdaten, kein später zu unterstellender Multiplikator.

Die Margrabe-Formel bewertet einen engen europäischen Anspruch ohne Bar-Strike unter gemeinsam lognormalen Vermögenswerten, deterministischem proportionalem Carry, konstanten Volatilitäten und Korrelation, kontinuierlichem Handel und reibungsloser Replikation. Sie ist eine Modellreferenz, kein ausführbarer Kurs, keine Hedge-Garantie, kein standardisierter Börsenvertrag und kein bilateraler Close-out-Betrag.

Anspruch und Modell aufbauen

Formulieren Sie Payoff, Mengen, gemeinsame Bewertungswährung, Ausübungsart, Fixing, Abrechnung und Kapitalmaßnahmenregeln. Verlassen Sie sich nicht auf die Bezeichnung „Tauschoption“.
Definieren Sie X1 = a x S1 und X2 = b x S2. Fixieren Sie synchrone Spots, stetige Ausschüttungsrenditen q1 und q2, annualisierte Volatilitäten sigma1 und sigma2, Renditekorrelation rho und Jahresbruchteil T.
Berechnen Sie sigmaR = sqrt(sigma1^2 + sigma2^2 - 2 x rho x sigma1 x sigma2). Prüfen Sie Kovarianzen, Einheiten, Zeitstempel und positive Semidefinitheit.
Bewerten Sie mit V = X1 x exp(-q1 x T) x N(d1) - X2 x exp(-q2 x T) x N(d2), wobei d1 = [ln(X1 / X2) + (q2 - q1 + 0.5 x sigmaR^2) x T] / (sigmaR x sqrt(T)) und d2 = d1 - sigmaR x sqrt(T).
Bewerten Sie über beide Volatilitätsoberflächen, Korrelation, Carry, Sprünge und Liquidität neu. Niedrigere rho erhöht meist sigmaR und den Vanilla-Wert; historische Korrelation ist aber weder handelbarer Input noch vollständige gemeinsame Verteilung.
Ordnen Sie den Modellanspruch dem Instrument zu. Börsen-, FLEX- und bilaterale OTC-Verträge können bei Multiplikator, Ausübung, physischer oder barer Abrechnung, Fixing, Sicherheiten, Close-out, Netting, Streit und Kontrahent abweichen.
Erfassen Sie ausführbare Ein- und Ausstiegsseiten, Gebühren, Hedges, Finanzierung, Sicherheiten, Ausschüttungen, Abrechnungscash oder Bestand und Bewertungsresiduen. Stimmen Sie Vertrag und Kassenbuch ab; behandeln Sie den Modellwert nicht als realisierte GuV.

Das Fehlen eines expliziten risikofreien Zinses ist ein Numeraire-Ergebnis, kein Beleg für irrelevante Finanzierung. Forwards, Ausschüttungen, Wertpapierleihe, Sicherheitenverzinsung, FX, Finanzierungsspreads und Close-out zählen. Bei verschiedenen Währungen sind Abrechnungswährung und FX- oder Quanto-Regel zuerst festzulegen; Rohpreise verschiedener Währungen dürfen nicht subtrahiert werden.

Vier durchgerechnete Beispiele

Eins-zu-eins-Wert. Für S1=$110, S2=$100, a=b=1, T=0.5, sigma1=30%, sigma2=20%, rho=0.50 und q1=q2=0 gelten sigmaR=sqrt(0.30^2+0.20^2-2x0.50x0.30x0.20)=26.4575131106%, d1=0.6029957751 und d2=0.4159129058. Der Modellwert ist $13.815554 je Recht, der aktuelle innere Wert max(110-100,0)=$10. Dies ist kein Handelsangebot.
Mengen gehören ins Modell. Ein Recht tauscht b=200 Aktien von Vermögenswert 2 gegen a=150 von Vermögenswert 1. Mit S1=$80, S2=$55, T=0.75, sigma1=28%, sigma2=22%, rho=0.35, q1=1% und q2=3% sind X1=$12,000, X2=$11,000, relative Volatilität 28.9274955708%, d1=0.5324591424, d2=0.2819396820 und Wert etwa $1,799.02. Ein angenommener 100-Aktien-Multiplikator ändert den Anspruch.
Korrelation ist Modellrisiko. Im ersten Beispiel ergeben rho=0.90, sigmaR=14.8323969742% und etwa $11.086226; bei rho=-0.50 ergeben sich sigmaR=43.5889894354% und etwa $18.464726. Dies prognostiziert keine realisierte Korrelation; Oberflächen, Sprünge, Carry und Hedgekosten können dominieren.
Abrechnung und Ausführung sind getrennt. Drei Rechte tauschen je 80 Aktien von Vermögenswert 2 gegen 50 von Vermögenswert 1. Bei S1=$140 und S2=$80 ist der Payoff je Recht max(50x140-80x80,0)=$600, die Barabrechnung $1,800; physisch sind 240 Aktien abzugeben und 150 zu erhalten. Bei S1=$138.50 und S2=$80.40 sind es 3xmax(50x138.50-80x80.40,0)=$1,479, also $321 weniger. Ein Dealer-Mark ersetzt das Vertragsfixing nicht.

Siebenstufiger Ablauf und Kontrollen

Falscher Vermögenswert, Klasse, Index, Währung oder Rechtsträger.
Falsche Richtung, Vorzeichen, Menge, Verhältnis, Multiplikator oder Liefergegenstand.
Payoff in inkompatiblen Währungen ohne FX- oder Quanto-Regel.
Abweichende Ausübungsart, Fälligkeit, Fixingzeit, Zeitzone oder Abrechnung.
Fehler bei Kapitalmaßnahme, Ausschüttung, Sonderdividende, Leihe oder Quellensteuer.
Veraltete oder asynchrone Spots, Forwards, Kurven, Oberflächen oder FX-Daten.
Fehler bei Volatilitätseinheit, Tageszählung, Rendite oder Kovarianzskalierung.
Inkonsistente Korrelationsmatrix oder instabile historische Schätzung.
Eine Korrelation verdeckt Strike-, Laufzeit-, Regime- und Tail-Abhängigkeit.
Versagen konstanter Volatilität, Korrelation oder Lognormalität.
Gemeinsame oder idiosynkratische Sprünge, Ausfälle, Stopps und Schließungen.
Relative Delta, Cross-Gamma, Vega, Korrelation und Carry ändern sich gemeinsam.
Kontinuierliche Replikation über Gap, Stopp oder illiquide Sitzung unterstellt.
Modellpreis mit synchronem ausführbarem Bid oder Offer verwechselt.
FLEX- oder Börsenspezifikation auf einen individuellen Zwei-Asset-Anspruch übertragen.
Abweichung bei OTC-Bestätigung, Sicherheit, Netting, Close-out oder Bewertung.
Kontrahentenausfall, Wrong-Way-Risk, Sicherheitenlücke oder unsichere Verwertung.
Teilausführungen, Basisrisiko, Markteinfluss, Gebühren und asymmetrische Finanzierung.
Physischer Bestand, Cash-Fixing, FX-Konversion und Steuern nicht abgestimmt.
Modellversion, Datenstand, Bestätigung, Sicherheiten und End-GuV nicht abgestimmt.

Häufige Fehlannahmen

„Tauschoption bedeutet börsengehandelte Option.“ Das eine ist ein Payoff, das andere Handelsplatz und Marktstruktur.
„Das Tauschverhältnis kann nach der Bewertung angewandt werden.“ Mengen ändern den relativen Gegenwartswert und gehören in Logarithmus und beide Barwertterme.
„Der risikofreie Zins verschwindet, daher zählt Finanzierung nicht.“ Numeraire-Aufhebung beseitigt Carry, Sicherheiten, Leihe, FX oder Dealer-Finanzierung nicht.
„Korrelation ist beobachtbar und stabil.“ Sie wird geschätzt, ist zustandsabhängig und nur ein Teil von gemeinsamer Oberfläche und Sprungrisiko.
„Ein geschlossener Wert ist ein handelbarer Close-out-Preis.“ Ausführung, Kredit, Recht, Liquidität, Hedgekosten und Streit können abweichen.