Опционы на обмен активов: модель Маргрейба и риск относительной стоимости

Оценка опциона на обмен с явным учетом количества активов, стоимости переноса, волатильности и корреляции, а также контроль рисков расчетов, исполнения и контрагента.

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Опцион на обмен активов дает держателю право, но не обязанность, передать установленное количество одного актива и получить установленное количество другого. Если право предусматривает получение a единиц актива 1 в обмен на b единиц актива 2 в момент T, его выплата в общей валюте равна max(a x S1(T) - b x S2(T), 0). Коэффициент обмена, идентичность активов, валюта, фиксинг и состав поставки являются условиями договора, а не множителем, который можно определить позднее.

Формула Маргрейба оценивает узкий класс европейских требований без денежной цены исполнения при совместной логнормальности активов, детерминированной пропорциональной стоимости переноса, постоянных волатильностях и корреляции, непрерывной торговле и репликации без трений. Это модельный ориентир, а не исполнимая котировка, гарантия хеджирования, стандартизированный биржевой контракт или сумма закрытия двусторонней сделки.

Построение требования и модели

Запишите точную выплату, количества, общую валюту оценки, стиль исполнения, фиксинг, расчеты и правила корпоративных действий. Одного названия «опцион на обмен активов» недостаточно.
Для базовой модели задайте X1 = a x S1 и X2 = b x S2. Зафиксируйте синхронные спотовые цены, непрерывные ставки выплат q1 и q2, годовые волатильности sigma1 и sigma2, корреляцию доходностей rho и долю года T.
Рассчитайте относительную волатильность: sigmaR = sqrt(sigma1^2 + sigma2^2 - 2 x rho x sigma1 x sigma2). До использования результата проверьте ковариационные входные данные, единицы, время наблюдения и положительную полуопределенность.
Оцените европейское требование по формуле V = X1 x exp(-q1 x T) x N(d1) - X2 x exp(-q2 x T) x N(d2), где d1 = [ln(X1 / X2) + (q2 - q1 + 0.5 x sigmaR^2) x T] / (sigmaR x sqrt(T)), а d2 = d1 - sigmaR x sqrt(T).
Пересчитывайте стоимость по обоим поверхностям волатильности, корреляции, стоимости переноса, скачкам и ликвидности. Более низкая rho обычно повышает sigmaR и стоимость простого опциона на обмен, но единственная историческая корреляция не является торгуемым параметром или полным совместным распределением.
Сопоставьте модельное требование с реальным инструментом. У стандартных биржевых, FLEX и двусторонних внебиржевых договоров могут различаться множитель, стиль исполнения, физические или денежные расчеты, источник фиксинга, обеспечение, закрытие, неттинг, порядок споров и условия контрагента.
Учитывайте исполнимые стороны входа и выхода, комиссии, хеджи, финансирование, обеспечение, выплаты, расчетные денежные средства или активы и расхождение с модельной оценкой. Сверяйте юридическое подтверждение и денежный реестр, а не принимайте модельную отметку за реализованный финансовый результат.

Отсутствие явного слагаемого безрисковой ставки в элементарной формуле следует из выбора нумерара и не доказывает, что финансирование несущественно. На реальную сделку по-прежнему влияют форвардные уровни, ставки выплат, стоимость займа акций, доходность обеспечения, конвертация валют, спреды финансирования и условия закрытия. Если активы выражены в разных валютах, сначала укажите валюту расчетов и правило конвертации или кванто; вычитать необработанные цены в разных валютах бессмысленно.

Четыре расчетных примера

Модельная стоимость обмена один к одному. Пусть S1=$110, S2=$100, a=b=1, T=0.5, sigma1=30%, sigma2=20%, rho=0.50 и q1=q2=0. Тогда sigmaR=sqrt(0.30^2+0.20^2-2x0.50x0.30x0.20)=26.4575131106%, d1=0.6029957751, а d2=0.4159129058. Модельная стоимость равна $13.815554 на одно право, тогда как текущая внутренняя стоимость составляет max(110-100,0)=$10. Это результаты модели, а не предложение совершить сделку.
Количества должны входить в модель. Одно право обменивает b=200 акций актива 2 на a=150 акций актива 1. При S1=$80, S2=$55, T=0.75, sigma1=28%, sigma2=22%, rho=0.35, q1=1% и q2=3% текущие стоимости активов равны X1=$12,000 и X2=$11,000. Относительная волатильность составляет 28.9274955708%; d1=0.5324591424, d2=0.2819396820, а модельная стоимость равна примерно $1,799.02 на одно право. Замена договорных количеств предполагаемым множителем 100 акций меняет само требование.
Корреляция является модельным риском. Вернемся к первому примеру. При rho=0.90 значение sigmaR=14.8323969742%, а модельная стоимость составляет около $11.086226; при rho=-0.50 значение sigmaR=43.5889894354%, а стоимость составляет около $18.464726. Разница не означает прогноза, что реализованная корреляция будет равна одному из этих параметров. Изменения поверхностей, скачки, стоимость переноса и расходы на хеджирование могут перевесить изолированный эффект.
Расчеты и исполнение отражаются в разных реестрах. Каждое из 3 прав обменивает 80 акций актива 2 на 50 акций актива 1. При договорных фиксингах S1=$140 и S2=$80 выплата по каждому праву равна max(50x140-80x80,0)=$600, поэтому денежный расчет составляет $1,800; физический расчет вместо этого требует передать 240 акций актива 2 и получить 150 акций актива 1. Если другое действующее условие фиксинга дает S1=$138.50 и S2=$80.40, денежный расчет равен 3xmax(50x138.50-80x80.40,0)=$1,479, то есть на $321 меньше. Модельная оценка дилера не заменяет договорной фиксинг.

Семь этапов работы и контроля

Неверный актив, класс акций, индекс, валюта или юридический эмитент.
Неверное направление обмена, знак, количество, соотношение, множитель или поставляемый актив.
Выплата в несовместимых валютах без валютного или кванто-правила.
Несовпадение стиля исполнения, срока, времени фиксинга, часового пояса или порядка расчетов.
Ошибка в корпоративном действии, выплате, специальном дивиденде, займе акций или удерживаемом налоге.
Устаревшие или несинхронные споты, форварды, кривые, поверхности или валютные данные.
Ошибка единиц волатильности, базы дней, типа доходности или масштабирования ковариации.
Несогласованная корреляционная матрица или нестабильная историческая оценка.
Одна корреляция скрывает зависимость от страйка, срока, режима и хвостов.
Нарушение предположений о постоянной волатильности, корреляции или логнормальности.
Общие или специфические скачки, дефолты, приостановки торгов и закрытия рынков.
Одновременное изменение относительной дельты, перекрестной гаммы, веги, корреляции и переноса.
Предположение о непрерывной репликации во время гэпа, остановки торгов или неликвидной сессии.
Принятие модельной цены за синхронную исполнимую цену покупки или продажи.
Перенос спецификаций FLEX или стандартного контракта на индивидуальное требование по двум активам.
Несовпадение внебиржевого подтверждения, обеспечения, неттинга, закрытия или механизма ценового спора.
Дефолт контрагента, риск неблагоприятной зависимости, разрыв обеспечения или неопределенность возмещения.
Частичное исполнение хеджа, базисный риск, влияние на рынок, комиссии и асимметрия финансирования.
Несверенные физические активы, денежный фиксинг, конвертация валют и налоги.
Несверенные версия модели, дата входных данных, подтверждение, обеспечение и итоговый финансовый результат.

Распространенные заблуждения

«Опцион на обмен активов означает биржевой опцион». Первое понятие описывает выплату, второе — торговую площадку и структуру рынка.
«Коэффициент обмена можно применить после расчета цены». Количества меняют текущую относительную стоимость и должны входить в логарифм и оба дисконтированных слагаемых активов.
«Безрисковая ставка исчезла, значит финансирование не важно». Сокращение через нумерар не устраняет перенос, обеспечение, заем акций, валюту или дилерское финансирование.
«Корреляция наблюдаема напрямую и стабильна». Она оценивается, зависит от состояния рынка и является лишь одной частью совместной поверхности и риска скачков.
«Закрытая формула дает торгуемую цену закрытия». Исполнение, кредитный риск, юридические условия, ликвидность, стоимость хеджирования и ценовые споры могут дать иной результат.