Formula di Breeden-Litzenberger: densità neutrale al rischio dai prezzi delle opzioni

Estrai probabilità di coda scontate e densità neutrale al rischio dai prezzi delle opzioni europee, controllando allo stesso tempo le griglie di strike, l'arbitraggio, il livellamento e il rischio dei dati.

Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

Risposta diretta

Per una scadenza, sia C(K,T) il prezzo al tempo zero per unità sottostante di una call europea sufficientemente regolare, sia D(0,T) il fattore di sconto e sia Q^T la misura del prezzo associata a quel numerario. In condizioni di regolamento paritetico e di assenza di arbitraggio,

-partial C(K,T) / partial K = D(0,T) x Q^T(S_T > K)

partial^2 C(K,T) / partial K^2 = D(0,T) x f_Q(K)

nei punti di continuità. Quindi f_Q(K) = [1 / D(0,T)] x partial^2 C / partial K^2. La prima derivata è un valore scontato della chiamata digitale e la seconda derivata è una densità scontata, non una previsione oggettiva. Se la distribuzione terminale ha un atomo, la derivata può saltare e quella massa di probabilità non è rappresentata da una densità uniforme ordinaria nel punto.

Meccanismo

Fissare il diritto e la sequenza temporale. Allineare sottostante, scadenza, esercizio europeo, regolamento cash o fisico, moltiplicatore, S_T ufficiale, timestamp della quotazione, sessione, valuta e stato delle operazioni societarie. I prezzi di opzioni americane o con regolamento non corrispondente non possono essere inseriti senza rettifiche.
Normalizzare i forward e l’attualizzazione. Stima D(0,T), il forward abbinato, i dividendi, il prestito e qualsiasi convenzione quanto o futures. Convertire le put in call sintetiche solo attraverso la parità put-call abbinata e mantenere il prezzo dell’opzione per unità sottostante separato dai dollari del contratto.
Pulire la sezione trasversale degli strike. Utilizzare bid, ask, quantità esposte e condizioni eseguibili sincronizzati; rimuovere errori evidenti e osservazioni obsolete o incrociate. Imporre prezzi delle call decrescenti, convessità, limiti plausibili e coerenza tra scadenze prima di differenziare.
Adatta una curva sensibile all’arbitraggio. Scegli se adattare i prezzi, la volatilità implicita, i prezzi digitali o una densità; documentare nodi, pesi, regolarizzazione, estrapolazione e condizioni al contorno. Una curva liscia è uno stimatore, non una verità osservata.
Differenziare sulla griglia effettiva. Per una spaziatura uniforme h, utilizzare [C(K-h) - 2C(K) + C(K+h)] / h^2. Per vicini non equidistanti K_- < K < K_+, utilizzare 2 x {[(C_+ - C) / (K_+ - K)] - [(C - C_-) / (K - K_-)]} / (K_+ - K_-). Non applicare la formula della griglia uniforme a strike irregolari.
Convalidare le restrizioni sulla distribuzione. Controllare la densità non negativa, la massa totale, il primo momento coerente in avanti, il riprezzamento delle chiamate, la sensibilità bid-ask, la massa della coda e la stabilità attraverso le scelte di livellamento. Distinguere una densità continua da atomi discreti e supporto d’attacco troncato.
Versionare e interpretare con cautela. Memorizzare l’istantanea della catena, le decisioni di pulizia, le curve, il codice, il risolutore e le fasce di confidenza o sensibilità. Confrontare le distribuzioni fisiche e neutrali al rischio solo attraverso un nucleo di fissazione dei prezzi o un quadro di premio al rischio esplicito; non etichettare la curva estratta come una previsione di mercato.

Esempi realizzati

Stima della densità di rete. Le chiamate europee sincronizzate con una scadenza hanno C(95) = $8.20, C(100) = $5.00 e C(105) = $2.80. Con h = $5, la curvatura scontata a 100 è [$8.20 - 2 x $5.00 + $2.80] / $5^2 = $1.00 / 25 = 0.04 per dollar. Se D(0,T) = 1, la stima della densità locale neutrale al rischio è 0.04 per dollar; non è una probabilità 4% esattamente pari a 100.
Spread verticale e probabilità media di coda. Da C(100) = $5.00 e C(105) = $2.80, la pendenza negativa della secante è ($5.00 - $2.80) / $5 = 0.44. Equivale alla media scontata di Q^T(S_T > K) tra gli strike 100 e 105. Se D(0,T) = 0.98, la corrispondente probabilità media di coda risk-neutral è 0.44 / 0.98 = 44.897959%; non coincide automaticamente con la probabilità di coda in uno dei due estremi.
Spaziatura irregolare degli strike. Siano K_- = 95, K = 100, K_+ = 107, con C_- = $8.20, C = $5.00 e C_+ = $2.20. La pendenza sinistra è ($5.00 - $8.20) / 5 = -0.64, la pendenza destra è ($2.20 - $5.00) / 7 = -0.40 e la curvatura della griglia non uniforme è 2 x [-0.40 - (-0.64)] / 12 = 0.04 per dollar. Il denominatore della griglia uniforme sarebbe errato.
Diagnostica di butterfly negativa. Con strike equidistanti 95/100/105 e prezzi $8.20, $5.60 e $2.80, il numeratore è $8.20 - 2 x $5.60 + $2.80 = -$0.20, quindi la curvatura è -$0.20 / 25 = -0.008 per dollar. Acquistare le ali e vendere due call centrali genera un payoff terminale non negativo incassando $0.20 per unità, ovvero $20 con M = 100, prima dei costi. È arbitraggio eseguibile solo se le quotazioni sono sincronizzate, tutte le leg sono eseguite e finanziamento, commissioni, esercizio, regolamento e altri attriti non eliminano il vantaggio.

Checklist di estrazione e convalida

Abbina una scadenza esatta, un sottostante, uno stile di esercizio, una convenzione di regolamento, una valuta, un moltiplicatore e una fonte terminale ufficiale.
Utilizza l’opzione sincronizzata e i timestamp sottostanti; quotazioni di sedi separate, dati consolidati, ultime operazioni e voti teorici.
Registra offerte, richieste, dimensioni visualizzate, stato barrato o bloccato, flag obsoleti e condizioni del pacchetto eseguibile.
Convertire i premi del contratto in prezzi per unità sottostante prima di assumere derivati strike.
Stimare il fattore di sconto corrispondente alla scadenza anziché inserire un rendimento pari o un tasso a breve non correlato.
Riconciliare i termini di forward, dividendi, prestiti, regolamento dei futures, FX e quanto prima della conversione put-call.
Applicare la parità solo alle affermazioni europee corrispondenti e conservare i residui di conversione come diagnostica della qualità dei dati.
Applicare limiti di prezzo call, monotonicità, convessità e opportune restrizioni di calendario prima dell’estrazione.
Utilizzare la griglia di sciopero reale; non applicare differenze di spaziatura uguale a intervalli disuguali.
Tratta le prime differenze come medie di intervalli, non come probabilità digitali degli endpoint esatti.
Distinguere le unità di densità come la probabilità per dollaro dalla massa di probabilità integrata.
Preservare gli atomi, i salti dei prezzi digitali e le discontinuità di regolamento specifiche dei contratti invece di attenuarli silenziosamente.
Riportare il dominio di adattamento, i nodi, i pesi, la penalità, l’estrapolazione e le ipotesi di confine.
Lo spazio dei prezzi stressanti si oppone alle alternative dello spazio della volatilità, dello spazio digitale e della densità diretta.
Ripetere l’estrazione ai set di dati bid, midpoint, ask e perturbati perché le derivate seconde amplificano il rumore.
Verificare la non negatività, la massa totale prossima all’unità, la media coerente in avanti e la rivalutazione delle chiamate osservate entro le tolleranze.
Trattare gli strike mancanti nelle code profonde come estrapolazione dipendente dal modello e segnalare la massa di coda omessa.
Non interpretare i momenti neutrali al rischio come aspettative fisiche senza un esplicito modello di premio al rischio.
Separare l’arbitraggio statico teorico dai riempimenti eseguibili, dalle commissioni, dal finanziamento, dal margine, dall’esercizio e dal rischio di regolamento.
Archivia dati grezzi, correzioni, codice, impostazioni del risolutore, versione di output, revisione e diagnostica dell’incertezza.

Idee sbagliate comuni

“La densità è la previsione oggettiva del mercato.” È una distribuzione sotto la misura di pricing che incorpora prezzi di stato e premi per il rischio.
“Una densità di 0,04 significa una probabilità del 4% per quel prezzo esatto.” La densità ha unità di prezzo inverse e deve essere integrata in un intervallo.
“Le differenze grezze del midpoint rivelano la vera distribuzione.” Asincronia, spread, strike radi e differenziazione numerica possono dominare la curvatura.
“Il ritaglio della densità negativa risolve il problema.” Il ritaglio ad hoc può nascondere violazioni di arbitraggio e distruggere le restrizioni di ripricing, massa o media.
“La formula si applica invariata a ogni catena di opzioni.” L’esercizio americano, i dividendi discreti, i contratti rettificati, le convenzioni sui futures, gli atomi e le regole di regolamento richiedono un trattamento esplicito.

Argomenti correlati

Fonti autorevoli

Prezzi dei crediti contingenti allo Stato impliciti nei prezzi delle opzioni - University of Chicago Press; stabilisce il rapporto stato-prezzo sulla base dei suoi presupposti, non di una pulizia empirica o di una procedura di esecuzione.
Distribuzioni di probabilità implicite nelle opzioni e rendimenti in eccesso valutari - Federal Reserve Bank di New York; deriva e applica densità implicite nelle opzioni, con scelte di modelli e dati piuttosto che regole contrattuali di prodotto.
Generazione di opzioni-densità di probabilità implicite per comprendere gli eventi del mercato petrolifero - Consiglio dei governatori del sistema della Federal Reserve; confronta l’estrazione semiparametrica e la robustezza delle opzioni petrolifere, non una calibrazione azionaria universale.
Recupero delle distribuzioni di probabilità dai prezzi delle opzioni - Wiley; supporta un recupero graduale e vincolato dai prezzi delle opzioni in base al suo campione e metodo, non a una distribuzione implicita univoca.
Stima non parametrica delle densità dei prezzi di stato implicite nei prezzi delle attività finanziarie - Wiley; supporta la stima non parametrica dei prezzi di stato sotto ipotesi dichiarate, non una differenziazione grezza che ignori bandwidth e rischio di campionamento.
Prezzi delle opzioni non parametriche con limitazioni di forma - Elsevier; supporta vincoli di monotonicità e convessità, non garantisce che le virgolette pulite siano eseguibili.
Caratteristiche e rischi delle opzioni standardizzate - The Options Clearing Corporation; copre i diritti di opzione standardizzati, l’esercizio, la liquidazione e i rischi, non la stima della densità o richieste su misura.
Specifiche del prodotto delle opzioni sull’indice S&P 500 - Mercati globali Cboe; stabilisce campi di esercizio, moltiplicatore, negoziazione e regolamento specifici di SPX, non termini per ogni catena di opzioni.