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Portafogli replicanti di opzioni: payoff per stato e valore senza arbitraggio

Costruisci una replica di opzioni a un periodo da azioni e prestiti, verifica ogni stato terminale e capisci perché le coperture dinamiche reali si discostano dal modello.

Aggiornato

Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

Risposta diretta

Un portafoglio replicante combina strumenti negoziati affinché il payoff coincida con quello dell’opzione in ogni stato del modello. In un modello binomiale a un periodo, azione e finanziamento privo di rischio possono replicare esattamente un’opzione europea. Se i payoff dipendenti dallo stato sono identici, la legge del prezzo unico impone lo stesso valore oggi; altrimenti si potrebbe comprare il payoff meno caro e vendere quello più caro.

Questo è un risultato di determinazione del prezzo condizionale. La replica esatta dipende dagli stati del modello, dalle opportunità commerciali, dai finanziamenti, dalle distribuzioni, dai termini contrattuali e dalle ipotesi di esecuzione senza attriti. In un mercato reale con salti, spread, copertura discreta, limiti di prestito ed exercise (esercizio dell’opzione da parte del titolare) anticipato, una copertura è normalmente approssimativa.

Risolvi i payoff per stato, non memorizzare una formula

Sia S0 il prezzo corrente dell’azione. Alla data successiva sarà Su o Sd, con Su > Sd. L’opzione paga Cu o Cd, mentre R è il fattore di crescita lordo privo di rischio. Si ipotizza che l’azione non distribuisca cassa nel periodo; in caso contrario, il flusso va incluso in modo coerente. Un portafoglio con Δ azioni e posizione di cassa corrente B0 ha valori terminali:

Δ × Su + B0 × R = Cu

Δ × Sd + B0 × R = Cd

Sottraendo le equazioni si ottiene:

Δ = (Cu - Cd) / (Su - Sd)

Quindi:

B0 = (Cu - Δ × Su) / R

option value today = Δ × S0 + B0

Un B0 negativo significa prendere in prestito. Il calcolo deve verificare entrambi gli stati dei terminali. Far corrispondere solo il profitto atteso non è replicazione.

Prima di valutare l’opzione, occorre verificare che il mercato formato da azione e liquidità soddisfi:

Sd < R × S0 < Su

Questa condizione equivale a richiedere 0 < q < 1 per il peso neutrale al rischio seguente. Se non vale, il modello ammette già un arbitraggio tra azione e liquidità. Se vale, il prezzo di replica può essere verificato con:

q = (R × S0 - Sd) / (Su - Sd)

option value = [q × Cu + (1 - q) × Cd] / R

Questo q è un peso di prezzo implicito nell’assenza di arbitraggio all’interno del modello, non necessariamente una previsione della probabilità reale di un movimento al rialzo.

In un albero multiperiodo il portafoglio viene risolto in ciascun nodo. Una copertura autofinanziata modifica le azioni e le disponibilità liquide utilizzando solo il valore già presente nella strategia, senza depositi o prelievi esterni inspiegabili. I modelli di opzioni a tempo continuo idealizzano questo riequilibrio; le coperture reali sono discrete.

Replica della Call (opzione call, ossia diritto di acquisto) a un periodo

Supponiamo:

  • -S0 = US$100;
  • lo stock del periodo successivo è Su = US$120 o Sd = US$80;
  • una call europea ha prezzo di esercizio US$100, quindi Cu = US$20 e Cd = US$0;
  • il risk free factor lordo del periodo è R = 1.02.

Possesso di azioni:

Δ = (US$20 - US$0) / (US$120 - US$80) = 0.5 share

Posizione di cassa attuale:

B0 = (US$20 - 0.5 × US$120) / 1.02 = -US$39.2157

Costo della replica:

0.5 × US$100 - US$39.2157 = US$10.7843

Verifica ogni stato:

Stato Componente azionaria Rimborso in contanti Payoff del portafoglio Guadagno delle opzioni call
Su US$60 -US$40 US$20 US$20
Giù US$40 -US$40 US$0 US$0

Controllo incrociato neutrale rispetto al rischio:

q = (1.02 × US$100 - US$80) / (US$120 - US$80) = 0.55

[US$20 × 0.55 + US$0 × 0.45] / 1.02 = US$10.7843

Per dare un ordine di grandezza, se il diritto usa un moltiplicatore di 100 azioni, il valore di modello è US$1,078.43 per contratto; la componente iniziale è di 50 azioni, affiancata da un prestito di modello di US$3,921.57. Le opzioni standard su azioni statunitensi rappresentano normalmente 100 azioni, ma le operazioni societarie possono modificare il sottostante consegnabile. Restano quantità teoriche prima di spread, finanziamento, margine, commissioni, distribuzioni e vincoli su azioni intere.

Se la Opzione call di mercato viene offerta a US$11.20, il gap US$0.4157 dalla replica senza attriti non è un arbitraggio negoziabile automaticamente. Sia l’opzione che la copertura devono essere eseguibili ai lati e nelle dimensioni pertinenti; devono essere inclusi il finanziamento, il prestito di azioni, lo stile di esercizio, i dividendi e i costi di liquidazione.

Limiti e rischi della replica

  • Rischio modello stato: lo stock effettivo può finire all’esterno o tra le filiali ipotizzate.
  • Rischio di salto: i prezzi possono muoversi prima che la copertura venga ribilanciata.
  • Rischio di copertura discreta: l’aggiustamento continuo non è nella pratica disponibile.
  • Costi di transazione: operazioni ripetute, spread, commissioni e impatto sul mercato consumano valore teorico.
  • Rischio finanziario: i tassi di prestito e prestito del trader differiscono dal tasso modello.
  • Rischio di dividendi e prestiti: le distribuzioni e la disponibilità di azioni alterano l’economia contabile.
  • Rischio di esercizio anticipato: un’opzione americana richiede decisioni di esercizio nei nodi intermedi.
  • Rischio di volatilità superficiale: le opzioni reali tra strike e scadenze non seguono un input di volatilità fisso.
  • Rischio di liquidità: l’opzione o la copertura potrebbero non essere negoziate nella misura e nel tempo richiesti.
  • Rischio contrattuale: il moltiplicatore, il risultato finale, il regolamento in contanti e gli aggiustamenti devono corrispondere al rendimento modellato.
  • Confusione tra modello e arbitraggio: una differenza di prezzo teorica non è un’operazione eseguibile senza rischi.

Errori comuni

  • “La replica corrisponde al profitto medio.” Deve corrispondere a ogni stato modellato.
  • “Il delta rimane a 0,5 fino alla scadenza.” In un mercato multiperiodo o live, il Delta cambia e richiede un ribilanciamento.
  • “La probabilità neutrale rispetto al rischio è la vera probabilità.” Si tratta di un peso nel prezzo in base alle ipotesi del modello.
  • “La replica elimina tutti i rischi.” Rimangono i rischi di modello, salto, esecuzione, finanziamento e contratto.
  • “Una differenza teorica è l’arbitraggio gratuito.” Tutte le fasi, le dimensioni, i tempi, i finanziamenti e i costi devono essere eseguibili.
  • “Il prestito è solo una notazione.” È una posizione economica di cassa con vincoli di finanziamento e margine.
  • “Le opzioni europee e americane si replicano in modo identico.” L’esercizio anticipato modifica il problema della valutazione.
  • “La replica a un periodo dimostra che una copertura continua funziona esattamente.” Il ribilanciamento reale è discreto e dipendente dal percorso.

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