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Delta e Gamma: direzione locale, curvatura e unità di posizione

Misura direzione e curvatura locali dell’opzione con coordinate di modello esplicite, quantità con segno, moltiplicatori compatibili, stime del secondo ordine, unità di copertura, differenze finite e repricing completo.

Aggiornato

Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

Risposta diretta

Per un valore di modello V(S, t, σ, ...), Delta è la derivata prima locale Delta = ∂V / ∂S, mentre Gamma è la curvatura locale Gamma = ∂²V / ∂S² = ∂Delta / ∂S. Delta stima la variazione di valore per un piccolo movimento unitario nella coordinata scelta del sottostante; Gamma stima come varia Delta quando quella coordinata si muove.

Entrambe sono uscite di modello riferite a un istante, non previsioni, probabilità, quotazioni eseguibili o rapporti di copertura permanenti. Il loro significato dipende dal diritto esatto, segno della posizione, coordinata di prezzo, superficie di volatilità, tempo, tassi, distribuzioni, costo del prestito, modello di esercizio, regolamento, unità di quotazione, moltiplicatore e scala del fornitore.

Curva del valore di un’opzione con una tangente per Delta e pendenze variabili per Gamma Curva del valore di un’opzione con una tangente per Delta e pendenze variabili per Gamma
Delta è la tangente locale; Gamma è il tasso locale di variazione di quella tangente.

Registro delle greche coerente per segno e unità

Sia q il numero di contratti di opzione con segno, positivo per posizioni lunghe e negativo per posizioni corte; M il moltiplicatore del premio compatibile; h le unità del sottostante con segno; Delta_i il Delta di modello per unità di opzione; e Gamma_i il Gamma di modello per unità di opzione e per movimento di un’unità di prezzo. Il Delta di posizione in unità equivalenti del sottostante è Δ_pos = q × M × Delta_i + h, mentre il Gamma di posizione è Γ_pos = q × M × Gamma_i. Un’azione ha Delta +1 per unità lunga e Gamma 0.

  1. Fissa serie esatta, istante, segno lungo o corto, quantità, moltiplicatore, consegnabile, valuta di quotazione, coordinata del sottostante, stile di esercizio, regolamento e versione del modello. Non compensare le greche di diritti economicamente diversi solo perché i simboli sembrano simili.
  2. Dichiara coordinata e scala della derivata. Distingui Delta spot da Delta forward, futures, corretta per il premio o cash; distingui Gamma per $1, punto indice, punto futures o 1% spot move; e registra se il fornitore ha già moltiplicato per contratti o moltiplicatore.
  3. Congela lo stato del modello: spot o forward, tassi, dividendi, costo del prestito, tempo fino alla scadenza esatta, superficie di volatilità, regola di shock sticky-strike o sticky-delta, trattamento degli eventi discreti e metodo numerico. Una greca visualizzata senza questo stato non è riproducibile in modo indipendente.
  4. Per un piccolo movimento ΔS, calcola la variazione Taylor per unità ΔV_Taylor ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)² e il Delta locale aggiornato Delta_new ≈ Delta_i + Gamma_i × ΔS. Moltiplica la stima di prezzo per q × M con il suo segno; non moltiplicare di nuovo un valore già aggregato dal fornitore.
  5. Valida le greche analitiche o del fornitore con perturbazioni centrate quando la funzione di pricing è regolare: Delta_FD ≈ [V(S + h_S) − V(S − h_S)] / (2h_S) e Gamma_FD ≈ [V(S + h_S) − 2V(S) + V(S − h_S)] / h_S². Riduci e amplia h_S per evidenziare effetti di troncamento, cancellazione, griglia o ricalibrazione della superficie.
  6. Aggrega solo dopo aver normalizzato ogni gamba alla stessa equivalenza del sottostante, unità di prezzo, valuta, istante e convenzione di segno. Aggiungi quindi unità di copertura in azioni o futures e sottoponi a stress spot, tempo, volatilità, skew, tassi, dividendi, prestito, salti e confini di esercizio.
  7. Usa il repricing completo come controllo per scenari finiti e prezzi bid-ask eseguibili per la negoziazione. Riconcilia eseguiti, quantità di copertura, commissioni, prestito, assegnazione, regolamento, versione del modello e greche dopo lo shock, anziché trattare una stima Taylor locale come P&L realizzato.

Per normali call e put vanilla lunghe in un modello europeo regolare, Gamma è positiva; la vendita inverte il Gamma di posizione. Questa non è un’affermazione universale su payoff digitali, barriere, confini di esercizio americano, diritti rettificati, portafogli o convenzioni dei fornitori. Vicino alla scadenza, Gamma può concentrarsi attorno a uno strike e restare piccola molto dentro o fuori dal denaro; i salti rendono incompleta la descrizione locale continua.

Esempi svolti

  • Stima locale di prezzo e copertura di una call lunga. Una call lunga ha valore V_0 = $3.10, Delta_i = 0.42, Gamma_i = 0.06, q = +1 e M = 100. Per ΔS = +$1.50, il termine Delta è 0.42 × $1.50 = $0.6300 per azione e il termine di curvatura è ½ × 0.06 × ($1.50)² = $0.0675; pertanto ΔV_Taylor = $0.6975 per azione o +$69.75 per contratto. Il valore stimato è $3.7975, e Delta_new ≈ 0.42 + 0.06 × 1.50 = 0.51. Il Delta di posizione passa da +42 shares a circa +51 shares; una copertura statica con 42 azioni corte non è più neutrale.
  • Il Gamma corto inverte i segni di posizione. Sei call corte hanno q = −6, M = 100, Delta_i = 0.55 e Gamma_i = 0.04. Il Delta iniziale di posizione è −330 shares e il Gamma di posizione −24 shares per $1. Per ΔS = +$2, il Delta stimato di posizione cambia di −48 shares fino a −378 shares; il P&L delle opzioni è circa −6 × 100 × [0.55 × 2 + ½ × 0.04 × 2²] = −$708. Per ΔS = −$2, la stessa formula locale dà +$612. Un operatore Delta-neutral comprerebbe circa 48 azioni in più durante il rialzo o ne venderebbe circa 48 durante il ribasso, prima di costi e modifiche del modello.
  • L’aggregazione di portafoglio include azioni e gambe di opzioni con segno. Detieni quattro call con Delta_i = 0.35, Gamma_i = 0.025, vendi tre put con Delta_i = −0.40, Gamma_i = 0.030, usa M = 100 e vendi allo scoperto 200 shares. Il Delta delle opzioni è +140 + 120 = +260 shares; dopo le azioni, il Delta netto è +60 shares. Il Gamma delle opzioni è +10 − 9 = +1 share per $1. Per ΔS = +$5, il Delta netto locale diventa circa +65 shares. Le due gambe di opzioni contribuiscono +$825.00 e +$487.50, mentre le azioni contribuiscono −$1,000, dando una stima di portafoglio del secondo ordine di +$312.50 prima di commissioni, prestito, volatilità implicita e trascorrere del tempo.
  • Attribuzione Taylor locale rispetto al repricing completo. Per una call europea con S = 100, K = 100, r = 4%, rendimento continuo y = 1%, σ = 25% e τ = 0.5, un benchmark Black-Scholes produce V_0 = 7.7215522303, Delta_i = 0.5659323171 e Gamma_i = 0.0221205770. Per ΔS = +5, la stima del secondo ordine è 0.5659323171 × 5 + ½ × 0.0221205770 × 5² = 3.1061687980 per azione. Il repricing completo a volatilità implicita invariata produce V_1 = 10.8172471731, una variazione di 3.0956949428; quindi la stima locale differisce di 0.0104738552 o circa $1.047386 per moltiplicatore 100. Se anche la volatilità implicita sale a 30%, il valore completo è 12.1628459929; la variazione totale 4.4412937626 non può essere attribuita solo ai Delta e Gamma iniziali.

Rischi e controlli

  • Serie, simbolo radice, scadenza, strike, tipo di opzione o consegnabile errati invalidano la mappa delle greche.
  • Omettere il segno lungo o corto inverte Delta e Gamma di posizione, direzione della copertura e attribuzione del P&L.
  • Quantità di contratti e moltiplicatore del premio possono essere conteggiati due volte oppure omessi.
  • Contratti rettificati e opzioni su futures possono usare unità diverse dalle azioni ordinarie.
  • Delta spot, forward, futures, corretta per il premio e cash non sono intercambiabili.
  • Gamma per unità di prezzo differisce da Gamma scalata a un 1% spot move o dal cash Gamma.
  • Valuta e conversione FX possono rendere incoerenti greche apparentemente comparabili.
  • Istanti diversi o quotazioni obsolete di sottostante e opzione creano compensazioni false.
  • Greche da midpoint o da modello non garantiscono prezzi eseguibili dell’opzione o della copertura.
  • Superficie di volatilità, regola sticky, skew e struttura a termine modificano entrambe le greche.
  • Ipotesi su tassi, dividendi, prestito e finanziamento incidono sui valori e sulle coperture del modello.
  • Esercizio americano e dividendi discreti creano confini assenti da una formula europea regolare.
  • Regolamento per contanti, consegna fisica e inventario dopo l’esercizio generano rischi operativi diversi.
  • La non regolarità vicino alla scadenza può rendere Gamma grande, instabile o dipendente dalla griglia attorno a uno strike.
  • Movimenti ampi invalidano un’estrapolazione con Delta e Gamma fissi.
  • Salti, sospensioni e gap aggirano le ipotesi di ribilanciamento continuo.
  • Perturbazioni di differenze finite troppo grandi aggiungono errore di troncamento; perturbazioni minime aggiungono rumore di cancellazione.
  • Compensare scadenze, superfici, modelli, valute o tipi di regolamento diversi può nascondere rischio di base.
  • Dimensione discreta della copertura, spread bid-ask, commissioni, impatto di mercato, prestito titoli e liquidità modificano i risultati realizzati.
  • Differenze di modello, fornitore, arrotondamento, assegnazione, regolamento e registri dell’intermediario richiedono una riconciliazione finale.

Errori comuni

  • «Delta è una probabilità universale». È una derivata locale; le interpretazioni probabilistiche richiedono modelli, numerari e convenzioni specifici.
  • «Delta resta fisso». Gamma e ogni input variabile del modello lo modificano.
  • «Un portafoglio Delta-neutral è privo di rischio». Restano Gamma, Vega, Theta, salti, base, liquidità, esecuzione e rischio di modello.
  • «Gamma prevede direttamente la variazione di prezzo». Entra nell’espansione locale del prezzo tramite ½ × Gamma_i × (ΔS)² e cambia durante il movimento.
  • «Greche precise eliminano la necessità del repricing completo». Le derivate locali aiutano l’attribuzione; scenari finiti, esecuzione ed eventi del ciclo di vita richiedono comunque valutazione e riconciliazione complete.

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