위험중립 밀도: 옵션 호가에서 상태가격 추출

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다

핵심 답변

위험중립 밀도는 할인된 기대 보수가 현재 옵션가격과 일치하도록 특정 미래일의 가능한 기초자산 가격에 가격결정 가중치를 부여합니다. 정규화된 옵션 내재밀도 또는 상태가격 밀도라고도 합니다. 가격측도의 가중치이지 투자자의 문자 그대로의 믿음이나 미래 결과의 통계적 빈도가 아닙니다.

하나의 기초자산과 만기에 대해 충분히 매끄럽고 무차익에 부합하는 유럽형 Call의 행사가별 가격곡선이 분포를 담습니다. 행사가에 대한 1차 미분은 할인 꼬리확률, 2차 미분은 할인 밀도를 식별합니다. 실제 옵션체인은 행사가가 드물고 호가가 잡음과 비동기성을 가지므로 한 옵션에서 직접 읽는 것이 아니라 추정해야 합니다.

Call 가격에서 분포로

행사가 K, 만기 T, 연속복리 금리 r인 유럽형 Call은:

C(K,T) = e^(−rT) E^Q[(S_T − K)⁺]

정칙조건 아래 행사가로 미분하면:

−e^(rT) ∂C/∂K = Q(S_T > K)

q(K) = e^(rT) ∂²C/∂K²

Q는 위험중립 측도, q(K)는 만기 가격 K의 밀도입니다. Call 가격은 행사가에 따라 내려가고 볼록해야 합니다. 음의 2차 미분은 음의 밀도를 뜻하며 해당 버터플라이 무차익 조건을 위반합니다.

같은 만기·결제의 유럽형 등가가격이 필요합니다. 일반적으로 호가를 IV로 바꾸고 무차익 통제된 매끄러운 스마일을 적합한 뒤 가격으로 되돌려 미분합니다. 금리, 배당 또는 선도가격, 행사 방식, 결제, 호가 시각과 꼬리 외삽을 일치시켜야 합니다. 미국형 주식 옵션은 조기행사와 배당을 처리하지 않고 넣을 수 없습니다.

세 행사가 유한차분 예시

같은 만기 유럽형 Call의 행사가 간격이 h = $5, 만기까지 6개월, 금리가 4%라고 가정합니다.

행사가	Call 가격
`$95`	`$9.80`
`$100`	`$6.40`
`$105`	`$4.00`

$100에서 중앙 2차 차분은:

∂²C/∂K² ≈ [C(95) − 2C(100) + C(105)] / 5²

= ($9.80 − 2 × $6.40 + $4.00) / 25 = 달러당 0.0400

rT = 0.04 × 0.5 = 0.02이므로:

q(100) ≈ e^0.02 × 0.0400 = 달러당 0.04081

점 밀도에 $5 간격을 곱한 거친 국소 확률질량은 0.04081 × 5 = 20.4%입니다. 노드 주변의 거친 근사일 뿐 정의된 구간의 정확한 확률이 아닙니다. 완전한 추정은 매끄럽고 무차익인 전체 곡선을 사용해 명시된 경계 사이에서 밀도를 적분합니다.

중앙 1차 차분은 (4.00 − 9.80) / 10 = −0.58이며 거친 위험중립 꼬리확률은 Q(S_T > $100) ≈ e^0.02 × 0.58 = 59.2%입니다. Bid/Ask 선택이나 작은 호가 오류가 두 추정치를 크게 바꾸며 2차 미분은 특히 민감합니다.

추출 점검표

같은 기초자산, 만기, 결제, 관측시각과 일관된 선도 기준을 사용합니다.
체결 가능한 Bid/Ask를 고려해 필터링합니다. Mid는 매끄럽지만 거래 불가능한 곡선을 만들 수 있습니다.
오래되거나 교차된 호가, 제로 Bid, 오류, 기업행동 불일치 호가를 문서화한 규칙으로 제거합니다.
가격을 유럽형으로 보기 전에 배당, 금리, 보유비용과 미국형 조기행사를 처리합니다.
가격 또는 총분산 적합에 달력·버터플라이 무차익 제약을 명시합니다.
단조성, 볼록성, 비음수 밀도, 적분 1과 선도에 부합하는 1차 모멘트를 검사합니다.
보간, 행사가 간격, 대역폭과 경계 선택을 테스트합니다.
관측 행사가 범위와 외삽 꼬리를 따로 보고합니다. 먼 꼬리는 식별력이 약합니다.
Bid, Mid, Ask 곡선으로 반복 추출해 호가 불확실성을 보여줍니다.
원시 체인, 시각, 필터, 곡선 모수, 금리·배당 입력과 코드 버전을 보존합니다.
서로 다른 만기를 비교할 때 기간과 선도 변화를 반영합니다.
가격측도 결론을 실제 확률과 기대수익 주장과 구분합니다.

흔한 오해

“위험중립은 투자자가 위험을 신경 쓰지 않는다는 뜻이다.” 위험프리미엄을 상태가격에 담은 가격 표현입니다.
“위험중립 확률 20%는 객관적 확률 20%다.” 실제 확률에는 가격결정 커널 또는 추가 가정과 자료가 필요합니다.
“옵션 하나가 분포를 보여준다.” 같은 만기의 행사가 횡단면이 필요합니다.
“IV가 곧 밀도다.” IV는 호가 변환이며 가격으로 되돌려 행사가로 미분해야 합니다.
“미분이 정밀할수록 좋다.” 2차 미분은 호가 잡음과 보간 인공물을 증폭합니다.
“음의 밀도면 누구나 차익거래할 수 있다.” 오래되거나 비동기인 Mid 때문일 수 있고 체결가와 비용이 중요합니다.
“꼬리는 관측된다.” 극단 행사가가 드물어 외삽 의존도가 높습니다.
“분포가 방향을 예측한다.” 현재 가격 가중치를 요약하며 위험회피, 헤지수요와 유동성에 따라 움직입니다.