风险中性密度：从期权报价提取状态价格
仅供教育参考，不构成投资建议
风险中性密度为指定未来日期的各种标的价格赋予定价权重，使收益折现后的期望值与当前期权价格一致。标准化后也称期权隐含密度或状态价格密度。它描述定价测度下的价格权重，不是投资者的字面信念，也不是未来结果的统计频率。
对于一个标的和到期日，足够平滑且满足无套利的欧式 Call 跨执行价价格曲线包含该分布。对执行价的一阶导数给出折现尾部概率，二阶导数给出折现密度。真实期权链执行价稀疏且报价嘈杂、不同步，因此这是估计问题，不能从单张期权直接读取。
从 Call 价格到分布
Section titled “从 Call 价格到分布”欧式 Call 的执行价为 K、期限为 T、连续复利利率为 r 时：
C(K,T) = e^(−rT) E^Q[(S_T − K)⁺]
在适当正则条件下，对执行价求导得到：
−e^(rT) ∂C/∂K = Q(S_T > K)
q(K) = e^(rT) ∂²C/∂K²
其中 Q 是风险中性测度，q(K) 是终值 K 处的密度。Call 价格应随执行价下降并保持凸性；负的二阶导数会产生负密度，并违反相应的蝶式无套利条件。
计算要求同到期、同结算的欧式等价价格。常见流程是把报价转为隐含波动率，拟合受无套利约束的平滑微笑，再转回价格并求导。利率、股息或远期价、行权方式、结算、报价时刻和尾部外推必须一致。美式股票期权若不处理提前行权和股息，不能直接代入。
三执行价有限差分示例
Section titled “三执行价有限差分示例”假设同到期欧式 Call 的执行价间隔 h = $5，期限半年，利率 4%：
| 执行价 | Call 价格 |
|---|---|
$95 |
$9.80 |
$100 |
$6.40 |
$105 |
$4.00 |
执行价 $100 处的中心二阶差分为：
∂²C/∂K² ≈ [C(95) − 2C(100) + C(105)] / 5²
= ($9.80 − 2 × $6.40 + $4.00) / 25 = 每美元 0.0400
由于 rT = 0.04 × 0.5 = 0.02：
q(100) ≈ e^0.02 × 0.0400 = 每美元 0.04081
把点密度乘以 $5 间隔，可得粗略局部概率质量 0.04081 × 5 = 20.4%。这只是节点附近的粗网格近似，并非某个严格区间的精确概率。完整估计应拟合平滑、无套利的整条曲线，再在明确边界间对密度积分。
中心一阶差分为 (4.00 − 9.80) / 10 = −0.58，得到粗略风险中性尾部概率 Q(S_T > $100) ≈ e^0.02 × 0.58 = 59.2%。选择 Bid、Ask 或小幅报价误差都会显著改变结果，二阶导数尤其敏感。
- 使用同一标的、到期日、结算方式、观察时刻及一致的远期口径。
- 优先采用考虑可成交 Bid/Ask 的过滤；Mid 可产生平滑但无法交易的曲线。
- 按书面规则剔除陈旧、交叉、零买价、错误及公司行动不匹配报价。
- 将价格视为欧式前，处理股息、利率、持有成本和美式提前行权。
- 拟合价格或总方差时明确加入日历与蝶式无套利约束。
- 检查单调性、凸性、非负密度、积分为一及与远期一致的一阶矩。
- 测试插值、执行价间距、带宽和边界选择。
- 分开报告已观察执行价范围与外推尾部；极端尾部识别很弱。
- 用 Bid、Mid 和 Ask 曲面重复提取，以展示报价不确定性。
- 保存原始期权链、时间戳、过滤规则、曲线参数、利率股息输入和代码版本。
- 比较不同期限时纳入期限与远期变化。
- 把定价测度结论与真实世界概率、预期回报主张分开。
- “风险中性表示投资者不在乎风险。”它是定价表达，风险溢价已嵌入状态价格。
- “风险中性概率
20%就是客观概率20%。”物理概率需要定价核或额外假设与数据。 - “一张期权就能揭示分布。”需要同到期、跨执行价的横截面。
- “隐含波动率就是密度。”IV 是报价转换，必须把执行价形状转回价格并求导。
- “微分越精确越好。”二阶导数会放大报价噪声与插值伪影。
- “负密度证明任何人都能套利。”它可能来自陈旧或不同步 Mid；还要看可成交价格与成本。
- “尾部已被观察。”极端执行价稀疏，尾部高度依赖外推。
- “该分布预测标的方向。”它概括当前定价权重，还会随风险厌恶、对冲需求和流动性变化。