風險中立密度：從選擇權報價提取狀態價格

僅供教育參考，不構成投資建議

直接答案

風險中立密度為指定未來日期的各種標的價格賦予定價權重，使收益折現後的期望值與目前選擇權價格一致。標準化後也稱選擇權隱含密度或狀態價格密度。它描述定價測度下的價格權重，不是投資人的字面信念，也不是未來結果的統計頻率。

對一個標的與到期日，足夠平滑且符合無套利的歐式 Call 跨履約價價格曲線含有該分布。對履約價的一階導數給出折現尾端機率，二階導數給出折現密度。真實選擇權鏈履約價稀疏且報價嘈雜、不同步，因此這是估計問題，無法由單一選擇權直接讀取。

歐式 Call 的履約價為 K、期限為 T、連續複利利率為 r 時：

C(K,T) = e^(−rT) E^Q[(S_T − K)⁺]

在適當正則條件下，對履約價微分可得：

−e^(rT) ∂C/∂K = Q(S_T > K)

q(K) = e^(rT) ∂²C/∂K²

其中 Q 是風險中立測度，q(K) 是終值 K 處密度。Call 價格應隨履約價下降且保持凸性；負二階導數會產生負密度，並違反相應蝶式無套利條件。

計算要求同到期、同結算的歐式等價價格。常見流程是將報價轉為隱含波動率，擬合受無套利約束的平滑微笑，再轉回價格並微分。利率、股利或遠期價、履約方式、結算、報價時刻與尾端外推必須一致。美式股票選擇權若未處理提前履約和股利，不能直接代入。

假設同到期歐式 Call 的履約價間隔 h = $5、期限半年、利率 4%：

履約價 $100 處的中央二階差分為：

∂²C/∂K² ≈ [C(95) − 2C(100) + C(105)] / 5²

= ($9.80 − 2 × $6.40 + $4.00) / 25 = 每美元 0.0400

因 rT = 0.04 × 0.5 = 0.02：

q(100) ≈ e^0.02 × 0.0400 = 每美元 0.04081

將點密度乘以 $5 間隔，可得粗略局部機率質量 0.04081 × 5 = 20.4%。這只是節點附近的粗網格近似，不是嚴格區間的精確機率。完整估計應擬合平滑、無套利的整條曲線，再在明確邊界間積分密度。

中央一階差分為 (4.00 − 9.80) / 10 = −0.58，得到粗略風險中立尾端機率 Q(S_T > $100) ≈ e^0.02 × 0.58 = 59.2%。選用 Bid、Ask 或小幅報價誤差都會顯著改變結果，二階導數尤其敏感。