Densité sans risque : extraire les prix des États à partir des cotations d’options

Découvrez comment un échantillon représentatif des prix des options européennes implique une distribution neutre au risque, comment les produits dérivés à prix d’exercice récupèrent les probabilités extrêmes et la densité, et pourquoi il ne s’agit pas d’une prévision du monde réel.

À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

Réponse directe

Une densité neutre au risque attribue des pondérations de prix aux prix sous-jacents possibles à une date future spécifiée afin que les gains attendus actualisés correspondent aux prix actuels des options. On l’appelle également densité de prix implicite d’option ou d’état après normalisation. Il décrit les prix selon une mesure de tarification, et non les convictions littérales des investisseurs ou la fréquence statistique des résultats futurs.

Pour un sous-jacent et une échéance donnés, une courbe suffisamment lisse et cohérente avec l’arbitrage des prix des options d’achat européennes sur l’ensemble des strikes (prix d’exercice) contient la distribution. Le dérivé du premier prix d’exercice identifie une probabilité extrême actualisée ; le dérivé du deuxième prix d’exercice identifie la densité actualisée. Dans les chaînes réelles, les prix d’exercice clairsemés et les cotations bruyantes et non synchrones en font un problème d’estimation plutôt qu’une lecture directe d’une option.

Portée : ce texte présente à des fins pédagogiques les options de style européen cotées sur des marchés organisés ou de gré à gré. Il ne constitue pas un conseil personnalisé en investissement, en droit ou en fiscalité, ni une règle pour un titre, produit, compte, marché ou ordre juridique particulier ; il ne fixe pas le traitement local des marges, du droit ou de la fiscalité. La vérification des faits et l’accès aux sources datent du 2026-08-22.

Du prix des options d’achat à une distribution

Pour une Call (option d’achat, droit d’acheter) européenne avec prix d’exercice K, échéance T et taux composé en continu r :

C(K,T) = e^(−rT) E^Q[(S_T − K)⁺]

Sous hypothèses de régularité, la différenciation par rapport au prix d’exercice donne :

−e^(rT) ∂C/∂K = Q(S_T > K)

q(K) = e^(rT) ∂²C/∂K²

Ici, Q est la mesure sans risque et q(K) sa densité au prix terminal K. les prix des options d’achat devraient diminuer avec le prix d’exercice et être convexes ; une dérivée seconde négative impliquerait une densité négative et violerait la condition de non-arbitrage papillon correspondante.

Le calcul nécessite des prix équivalents européens de même échéance et de même règlement. Les analystes convertissent généralement les cotations en volatilités implicites, ajustent un sourire contrôlé par l’arbitrage, se reconvertissent en prix, puis différencient. Les taux, les dividendes ou les prix à terme, le style d’exercise (exercice de l’option par son détenteur), le règlement, l’heure de cotation et l’extrapolation extrême doivent être cohérents. Les options sur actions américaines ne peuvent être insérées sans traiter l’exercice anticipé et les dividendes.

Exemple de différences finies à trois prix d’exercice

Supposons que les options d’achat européennes de même maturité aient un prix d’exercice espacé h = $5, six mois jusqu’à l’échéance et un taux 4% :

prix d’exercice	prix option d’achat
`$95`	`$9.80`
`$100`	`$6.40`
`$105`	`$4.00`

L’estimation centrale de la seconde différence au prix d’exercice $100 est :

∂²C/∂K² ≈ [C(95) − 2C(100) + C(105)] / 5²

= ($9.80 − 2 × $6.40 + $4.00) / 25 = 0.0400 per dollar

Avec rT = 0.04 × 0.5 = 0.02 :

q(100) ≈ e^0.02 × 0.0400 = 0.04081 per dollar

En multipliant la densité de points par l’intervalle du prix d’exercice $5, on obtient une masse de probabilité locale approximative de 0.04081 × 5 = 20.4%. Il ne s’agit que d’une approximation grossière autour du nœud, et non d’une probabilité exacte pour un intervalle défini. Une estimation appropriée utilise une courbe complète, lissée et cohérente avec l’arbitrage et intègre la densité entre les limites explicites.

La première différence centrale est (4.00 − 9.80) / 10 = −0.58, ce qui implique une probabilité extrême approximative au risque neutre Q(S_T > $100) ≈ e^0.02 × 0.58 = 59.2%. Les choix Bid/Ask ou une petite erreur de cotation peuvent modifier sensiblement les deux estimations, en particulier la dérivée seconde.

Liste de contrôle d’extraction

Utilisez un sous-jacent, une expiration, une méthode de règlement, une heure d’observation et une convention à terme cohérente.
Préférer les filtres exécutables Bid/Ask-aware ; Les prix moyens peuvent créer une courbe lisse mais non échangeable.
Supprimez les cotations périmées, croisées, sans offre, erronées et ne correspondant pas à des opérations sur titres selon des règles documentées.
Tenir compte des dividendes, des taux, du portage et des exercices anticipés américains avant de traiter les prix comme européens.
Ajustez les prix des options ou la variance totale avec des contrôles explicites de calendrier et de papillon sans arbitrage.
Inspectez la monotonie, la convexité, la densité non négative, l’intégrale unitaire et un premier moment cohérent vers l’avant.
Interpolation des tests, espacement du prix d’exercice, bande passante et choix des limites.
Rapporter le support du prix d’exercice observé séparément des queues extrapolées ; la densité de la queue éloignée est faiblement identifiée.
Répétez l’extraction en utilisant des surfaces basées sur l’offre, le milieu et la demande pour afficher l’incertitude des cotations.
Préservez la chaîne brute, l’horodatage, les filtres, les paramètres de courbe, les entrées de taux et de dividendes et la version du code.
Ne pas comparer les échéances sans tenir compte des évolutions à horizon et à terme.
Séparer les conclusions sur la mesure des prix des probabilités du monde réel et des affirmations sur le rendement attendu.

Idées fausses courantes

« Neutre au risque signifie que les investisseurs sont indifférents au risque. » Il s’agit d’une représentation tarifaire qui intègre les primes de risque dans les prix de l’État.
“Une probabilité 20% sans risque signifie une chance objective 20%.” Les probabilités physiques nécessitent un noyau de tarification ou des hypothèses et des données supplémentaires.
“Une option révèle la distribution.” Une analyse transversale du prix d’exercice et d’une maturité commune est nécessaire.
« la volatilité implicite est la densité. » IV est une transformation citante ; la forme du prix d’exercice doit être convertie en prix et différenciée.
“Une différenciation plus précise est toujours préférable.” Les dérivées secondes amplifient le bruit des cotations et les artefacts d’interpolation.
“La densité négative prouve un arbitrage que tout le monde peut négocier.” Cela peut refléter des cotations Mid périmées ou non synchrones ; les prix et les coûts exécutables sont importants.
“Les queues sont observées.” Les rares cotations de prix d’exercice extrêmes rendent les queues fortement dépendantes de l’extrapolation.
“La distribution prédit la direction du sous-jacent.” Il résume les pondérations de prix actuelles et peut évoluer en fonction de l’aversion au risque, de la demande de couverture et de la liquidité.