リスク中立密度：オプション価格から状態価格を抽出する

教育目的のみであり、投資助言ではありません

端的な答え

リスク中立密度は、割引後の期待ペイオフが現在のオプション価格に一致するよう、特定将来日の原資産価格に価格付け上の重みを割り当てます。正規化されたオプション内包密度、状態価格密度とも呼ばれます。価格測度の重みであり、投資家の文字どおりの信念や結果の統計的頻度ではありません。

一つの原資産と満期について、十分滑らかで裁定整合的なヨーロピアンCall価格の行使価格曲線が分布を含みます。行使価格の一階微分は割引尾確率、二階微分は割引密度を示します。実際のチェーンは行使価格が疎で、気配がノイズを含み非同期なので、1オプションから直接読むのではなく推定が必要です。

行使価格 K、満期 T、連続複利金利 r のヨーロピアンCallは：

C(K,T) = e^(−rT) E^Q[(S_T − K)⁺]

正則性条件の下で行使価格について微分すると：

−e^(rT) ∂C/∂K = Q(S_T > K)

q(K) = e^(rT) ∂²C/∂K²

Qはリスク中立測度、q(K)は終値 K の密度です。Call価格は行使価格とともに低下し、凸であるべきです。二階微分が負なら負の密度となり、対応するバタフライ無裁定条件に反します。

同一満期・同一決済のヨーロピアン等価価格が必要です。通常は気配をIVへ変換し、裁定制御された滑らかなスマイルを当て、価格へ戻して微分します。金利、配当またはフォワード、行使方式、決済、時刻、尾部外挿を統一します。アメリカン株式オプションは早期行使と配当を処理せず投入できません。

同一満期ヨーロピアンCallの行使価格間隔を h = $5、満期まで半年、金利を 4% とします。

$100 における中央二階差分は：

∂²C/∂K² ≈ [C(95) − 2C(100) + C(105)] / 5²

= ($9.80 − 2 × $6.40 + $4.00) / 25 = 1ドル当たり 0.0400

rT = 0.04 × 0.5 = 0.02 なので：

q(100) ≈ e^0.02 × 0.0400 = 1ドル当たり 0.04081

点密度に $5 間隔を掛けた粗い局所確率質量は 0.04081 × 5 = 20.4% です。節点周辺の粗い近似で、定義した区間の正確な確率ではありません。完全な推定は滑らかで裁定整合的な全曲線を使い、明示的な境界間で密度を積分します。

中央一階差分は (4.00 − 9.80) / 10 = −0.58 で、粗いリスク中立尾確率は Q(S_T > $100) ≈ e^0.02 × 0.58 = 59.2% です。Bid/Askの選択や小さな気配誤差で両方が大きく変わり、二階微分は特に敏感です。