위험중립 가격결정: 복제, 마팅게일 확률과 적용 한계

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다

핵심 답변

위험중립 가격결정은 복제 가능한 미래 보수를 특별히 구성한 가격측도에서 기대값으로 구한 뒤 적절한 조달금리로 할인합니다. 보유비용과 분배를 일관되게 처리하면 그 측도에서 거래 가능한 자산의 할인 가격은 마팅게일로 움직입니다.

실제 투자자가 위험중립적이라고 가정하지 않습니다. 위험회피와 위험프리미엄은 실제 확률에서 위험중립 가격 가중치로의 측도 변경에 흡수됩니다. 핵심 경제논리는 무차익과 복제입니다. 모형의 시장·거래 가정 아래 상태별 현금흐름이 같은 두 포트폴리오는 현재가치도 같아야 합니다.

무차익에서 가격측도로

1기간 이항모형에서 주식은 현재 S₀, 만기에 Sᵤ 또는 S_d, 무위험 총수익률은 R입니다. 위험중립 상승확률은:

q = (R S₀ − S_d) / (Sᵤ − S_d)

하락확률은 1 − q입니다. 파생상품이 각 상태에서 Vᵤ 또는 V_d를 지급하면:

V₀ = [q Vᵤ + (1 − q) V_d] / R

무차익은 S_d < R S₀ < Sᵤ를 요구하며 0 < q < 1이 됩니다. 같은 가격은 주식 Delta 복제로도 얻습니다.

Δ = (Vᵤ − V_d) / (Sᵤ − S_d)

양쪽 만기 보수를 맞추는 차입·대출 포지션을 더합니다. 이 ‘확률’은 복제가 만든 대수적 상태가격 가중치이지 주가 상승 빈도의 추정치가 아닙니다.

완전하고 무차익인 모형에서는 등가 마팅게일 측도가 유일하고 모든 모형 내 조건부 보수를 복제할 수 있습니다. 불완전시장에서는 여러 가격측도가 거래가격과 일치할 수 있어 추가 모형, 경계, 선호 또는 헤지 기준이 필요합니다. 점프, 비용, 이산 거래, 조달 차이, 대차 제약과 유동성은 무마찰 복제를 깨뜨립니다.

1기간 Call 예시

다음을 가정합니다.

현재 주가 S₀ = $100;
1기간 뒤 Sᵤ = $120 또는 S_d = $90;
무위험 총수익률 R = 1.02;
행사가 $105 Call은 상승 상태에서 $15, 하락 상태에서 $0 지급.

가격결정 확률은:

q = (1.02 × 100 − 90) / (120 − 90) = 12 / 30 = 0.40

따라서:

Call 가치 = (0.40 × $15 + 0.60 × $0) / 1.02 = $5.88

복제도 같은 결과를 냅니다. 헤지비율은:

Δ = ($15 − $0) / ($120 − $90) = 0.50

0.50주를 보유하고 현재 $44.12를 차입하면 만기에 상승 상태 약 $15, 하락 상태 $0을 만듭니다.

0.50 × $100 − $44.12 = $5.88

실제 상승확률을 70%로 믿더라도 물리적 기대보수의 할인값 (0.70 × $15) / 1.02 = $10.29는 무차익 가격이 아닙니다. 주식의 요구 위험프리미엄을 무시하고 더 싼 복제 포트폴리오와 충돌합니다. 물리 확률은 기대수익·위험 분석에 유용하지만 복제 가격에 직접 넣을 수 없습니다.

모형과 구현 점검표

기준자산, 금리곡선, 보유비용, 배당, 대차와 복리를 일관되게 정의합니다.
모형 상태가 가격결정 대상 보수를 생성하는지 확인합니다. 불일치 위험은 정확한 복제를 막습니다.
무차익 부등식과 추론 확률이 비음수이고 합계 1인지 검사합니다.
위험중립 평가와 물리 예측, 기대수익, 시나리오 확률을 구분합니다.
모든 날짜에 정책금리 하나를 쓰지 말고 기간별 금리·배당을 씁니다.
미국형 옵션은 조기행사 방법으로 재평가하며 단일 만기 기대값만 쓰지 않습니다.
거래비용, 이산 리밸런싱, 갭, 거래정지와 유동성을 별도 스트레스합니다.
필요하면 거래상대방, 담보, 증거금, 조달과 결제를 평가 입력으로 둡니다.
트리, 유한차분 또는 위험중립 몬테카를로의 수렴을 검증합니다.
모형가치를 Mid뿐 아니라 체결 가능한 Bid/Ask와 비교합니다.
측도, 동학, 보정자료, 시각과 한계를 기록합니다.

흔한 오해

“투자자가 위험을 싫어하지 않는다고 가정한다.” 측도를 바꾸는 것이지 실제 선호를 없애지 않습니다.
“위험중립 확률은 시장 예측이다.” 위험프리미엄을 포함한 가격 가중치입니다.
“가장 가능성 높은 실제 결과를 할인하면 된다.” 모든 상태와 복제 상태가격이 필요합니다.
“모든 보수에 유일한 모형 독립 가격이 있다.” 유일성은 시장 완전성과 가정에 달려 있습니다.
“모든 파생상품을 같은 국채금리로 할인한다.” 조달, 담보, 배당, 대차와 기간이 중요할 수 있습니다.
“위험중립 기대값이 시장 호가를 보장한다.” 입력, 마찰과 Bid/Ask가 남습니다.
“무차익이면 무위험 이익을 쉽게 체결한다.” 비용과 제약 후 겉보기 차이가 사라질 수 있습니다.
“위험중립 가치가 투자 매력을 측정한다.” 공정 복제가격은 물리 기대수익이나 의사결정 규칙이 아닙니다.