Curva dei rendimenti: tassi par, zero e forward, forma e valutazione

Definisci con precisione la curva dei Treasury USA, uniforma le convenzioni di quotazione, distingui tassi par, zero e forward, interpreta la dinamica senza eccessi causali e associa la curva corretta a strumenti e valutazioni.

Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

Risposta diretta

Una curva dei rendimenti associa una specifica misura di rendimento o di sconto alla scadenza per un emittente, un insieme di strumenti, una valuta, una data, un orario, un lato del mercato e una convenzione di quotazione definiti. Non esiste un’unica curva universale dei Treasury USA. La serie nominale ufficiale Constant Maturity Treasury, o CMT, è una curva dei rendimenti par; una curva zero coupon associa scadenze a rendimenti spot o fattori di sconto; una curva forward deriva dai fattori di sconto; la curva reale dei Treasury si basa sui TIPS; le curve stimate di ricerca o dei premi a termine sono prodotti modellistici distinti.

Attualmente il Tesoro ricava la curva par nominale ufficiale da prezzi denaro indicativi, non da transazioni, dei Treasury bill, note e bond nominali collocati più di recente, osservati verso le 15:30, ora orientale, in ogni giornata di negoziazione. Converte gli input in rendimenti, ricava mediante bootstrap i tassi forward istantanei alle scadenze degli input e applica un’interpolazione monotona convessa nello spazio dei tassi forward. I punti CMT a scadenza fissa sono rendimenti par teorici letti da tale curva e possono non coincidere con il rendimento di alcun titolo acquistabile. Il Tesoro può cambiare gli input o la metodologia, non pubblica il programma completo di calcolo e applica un limite inferiore pari a zero ai CMT nominali derivati, anche quando alcuni titoli di input hanno rendimenti negativi.

Tassi par, zero e forward rispondono a domande diverse. Il rendimento par è il tasso cedolare che prezza alla pari un ipotetico titolo con cedola secondo una convenzione specificata. Un rendimento zero sconta un unico flusso di cassa a una determinata scadenza. Un tasso forward è il tasso privo di arbitraggio implicito tra date future nella curva di sconto odierna; non è una previsione pura. Uno spread come spread10y−2y = y10y − y2y descrive due punti selezionati, non l’intera curva, e il suo segno non identifica un’unica causa economica.

Procedura in sette passaggi per la curva

Definire oggetto e decisione. Indicare emittente, valuta, diritto nominale o reale, universo degli strumenti, oggetto par, zero o forward, denaro, lettera o valore medio, data, ora, fuso orario, frequenza, fonte, versione dei dati e uso previsto. Un segnale macroeconomico, un riferimento per un indice, una copertura e una curva di valutazione possono richiedere oggetti diversi.
Uniformare strumenti e convenzioni di quotazione. Distinguere i Treasury bill dalle note e bond con cedola, dai TIPS e dalle note a tasso variabile. Convertire coerentemente sconto bancario, rendimento d’investimento, rendimento equivalente obbligazionario, rendimento annuo effettivo, prezzo secco, rateo d’interesse e prezzo tel quel o di regolamento; fissare regolamento, frequenza cedolare, conteggio dei giorni e capitalizzazione prima di confrontare i tassi.
Costruire i fattori di sconto. Associare ogni titolo ai flussi di cassa datati, ricavare mediante bootstrap fattori di sconto o rendimenti zero dai prezzi osservati e documentare il trattamento di bill, date cedolari, riaperture, imposte, liquidità, valore speciale nel mercato repo e titoli esclusi. Scegliere consapevolmente interpolazione ed estrapolazione; i soli punti CMT pubblicati non costituiscono la curva di sconto interna completa del Tesoro.
Derivare e validare le rappresentazioni della curva. Da un’unica funzione di sconto, derivare curve zero, par e forward con convenzioni coerenti. Riprezzare ogni titolo di input e verificare residui, monotonicità dei fattori di sconto, oscillazioni implausibili dei tassi forward, comportamento ai margini e sensibilità ai nodi. Tenere distinta la curva CMT ufficiale del Tesoro dalle curve di ricerca della Federal Reserve e da quelle dei fornitori di mercato.
Descrivere livello, pendenza, curvatura e movimento. Registrare più scadenze, spread denominati con precisione, una misura di curvatura e variazioni sulle scadenze chiave. Classificare irripidimento o appiattimento rialzista o ribassista solo dopo aver indicato quali rendimenti si sono mossi e di quanto; un’unica etichetta può nascondere movimenti opposti in segmenti diversi.
Separare l’aritmetica dall’attribuzione economica. Scomporre un rendimento zero stimato, all’interno dello stesso modello e della stessa versione dei dati, tra tassi brevi futuri attesi e premio a termine stimato, invece di applicare meccanicamente tale identità a un CMT par. Nei confronti nominali e reali, separare tassi reali, inflazione attesa, premio per il rischio d’inflazione, liquidità, ritardo d’indicizzazione e floor dei TIPS, ed effetti del modello. Trattare probabilità di recessione e narrazioni causali come evidenze dipendenti dal modello, non come regole temporali deterministiche.
Associare la curva al diritto finanziario e sottoporla a stress. Scontare i flussi datati di un Treasury con rendimenti zero coerenti; per altri diritti aggiungere componenti di credito, liquidità, opzionalità, garanzia e servicing. Associare il debito societario a valuta, scadenza, tasso fisso o variabile, data di rifinanziamento e spread dell’emittente; associare le azioni a flussi e rendimenti richiesti coerenti con il diritto. Simulare shock paralleli, di irripidimento, appiattimento, curvatura e key rate invece di spostare meccanicamente ogni tasso di sconto con un singolo punto CMT.

Esempi svolti

Conversione della quotazione di un Treasury bill. Un bill a 91 giorni ha valore nominale di $100 e tasso di sconto bancario di 5.0000%. Con la convenzione di sconto indicata su 360 giorni, P = $100 × [1 − 5.0000% × 91 ÷ 360] = $98.736111. Il rendimento d’investimento semplice sul prezzo e su base 365 giorni è investment yield = ($100 − $98.736111) ÷ $98.736111 × 365 ÷ 91 = 5.134337%. Se lo stesso rendimento del periodo di detenzione potesse essere reinvestito per un anno, il tasso annuo effettivo sarebbe EAR = ($100 ÷ $98.736111)^(365 ÷ 91) − 1 = 5.234134%. Sono tre convenzioni applicate allo stesso flusso ipotizzato, non tre risultati di mercato; i valori CMT sono pubblicati su base equivalente obbligazionaria, non come tasso di sconto bancario o EAR.
Bootstrap da par a zero e derivazione di un tasso forward. Si ipotizzi una curva semestrale semplificata con rendimento par equivalente obbligazionario a sei mesi del 4.0000%. Poiché esiste un solo flusso a scadenza, DF₀.₅ = 1 ÷ (1 + 4.0000% ÷ 2) = 0.980392157. Un rendimento par a un anno del 4.5000% implica due cedole di $2.25 ogni $100 di nominale, quindi DF₁ = [$100 − $2.25 × 0.980392157] ÷ $102.25 = 0.956421688 e z₁ = 2 × [0.956421688^(−1 ÷ 2) − 1] = 4.505639%. Il tasso a sei mesi con decorrenza tra sei mesi è pertanto f₀.₅,₀.₅ = 2 × (0.980392157 ÷ 0.956421688 − 1) = 5.012531%. La verifica $2.25 × 0.980392157 + $102.25 × 0.956421688 = $100.000000 riprezza alla pari il titolo a un anno. Inserire direttamente rendimenti par in una formula forward mescolerebbe oggetti diversi.
La stessa disinversione prodotta da shock opposti. Inizialmente il rendimento a due anni è 5.00% e quello a dieci anni è 4.20%, quindi spread10y−2y = 4.20% − 5.00% = −80 bp. In un irripidimento rialzista, il biennale scende di 120 bp al 3.80% e il decennale di 30 bp al 3.90%, producendo 3.90% − 3.80% = +10 bp; la pendenza varia di +90 bp. In un irripidimento ribassista, il biennale resta al 5.00% mentre il decennale sale di 90 bp al 5.10%, producendo anch’esso 5.10% − 5.00% = +10 bp e la stessa variazione della pendenza di +90 bp. Il segno finale dello spread è identico, ma non lo sono il livello dei tassi, lo shock di duration, la narrazione sull’inflazione, la pressione finanziaria e il probabile contesto dei flussi di cassa.
Scontare ogni flusso con il rendimento zero corrispondente. Una Treasury note a due anni ha valore nominale di $100, cedola annua del 4.0000% e pagamenti semestrali. Si ipotizzino rendimenti zero equivalenti obbligazionari a sei, dodici, diciotto e ventiquattro mesi del 3.0000%, 3.5000%, 4.5000% e 5.5000%. Il valore coerente con la curva è P = $2 ÷ (1 + 3.0000% ÷ 2)^1 + $2 ÷ (1 + 3.5000% ÷ 2)^2 + $2 ÷ (1 + 4.5000% ÷ 2)^3 + $102 ÷ (1 + 5.5000% ÷ 2)^4 = $97.283998. Utilizzando invece il tasso a due anni per tutti i flussi si ottiene Pflat = $2 ÷ (1 + 5.5000% ÷ 2)^1 + $2 ÷ (1 + 5.5000% ÷ 2)^2 + $2 ÷ (1 + 5.5000% ÷ 2)^3 + $102 ÷ (1 + 5.5000% ÷ 2)^4 = $97.195429, con un errore di $97.283998 − $97.195429 = $0.088569. In genere l’errore aumenta con la forma della curva, la scadenza e i flussi intermedi.

Rischi e controlli di validazione

Indicare emittente, valuta, diritto nominale o reale, tipo di curva, scadenze, lato del mercato, fonte, data, ora, fuso orario, frequenza e versione dei dati.
Trattare un punto CMT come rendimento par teorico interpolato, non automaticamente come rendimento o prezzo eseguibile di un titolo.
Distinguere la curva par ufficiale monotona convessa del Tesoro dalle medie H.15, dalle curve di ricerca della Federal Reserve, da quelle dei fornitori e dai modelli stimati del premio a termine.
Convertire tassi di sconto bancario dei bill, rendimenti d’investimento, rendimenti equivalenti obbligazionari e rendimenti annui effettivi prima del confronto.
Riconciliare prezzo secco, rateo d’interesse, prezzo tel quel o di regolamento, data di regolamento, calendario cedolare, conteggio dei giorni e capitalizzazione.
Non sostituire rendimenti par con rendimenti zero né usare gli uni o gli altri come tassi forward senza una derivazione coerente dalla funzione di sconto.
Documentare ordine del bootstrap, strumenti inclusi, date dei nodi, interpolazione, estrapolazione, arrotondamento e trattamento di osservazioni mancanti o anomale.
Considerare il floor zero del Tesoro sui CMT nominali derivati quando si studiano periodi di tassi bassi o negativi.
Fissare versione dei dati e metodologia; valori storici o parametri stimati possono cambiare dopo revisioni dei dati o del metodo.
Indicare entrambi gli estremi e l’ordine di sottrazione per ogni spread; dieci anni meno due anni e dieci anni meno tre mesi sono serie diverse.
Monitorare livelli assoluti, più pendenze, curvatura e variazioni sulle scadenze chiave; un solo spread non rappresenta l’intera curva.
Usare le etichette rialzista o ribassista e irripidimento o appiattimento solo dopo aver calcolato le variazioni dei rendimenti sottostanti.
Trattare un tasso forward implicito come livello di pareggio privo di arbitraggio condizionato dalla curva, non come previsione non distorta o tasso futuro garantito.
Trattare le componenti dei tassi brevi attesi e del premio a termine come stime soggette a incertezza di parametri, campione, versione dei dati e specificazione.
Rendere coerenti le curve nominali e reali prima di calcolare l’inflazione di pareggio e conservare gli scarti dovuti a rischio d’inflazione, liquidità, ritardo d’indicizzazione, floor e fattori tecnici.
Predefinire spread di recessione, campionamento, orizzonte, definizione di recessione, soglia, versione dei dati e regola decisionale prima di testare la capacità predittiva.
Per le banche, riconciliare rendimenti degli attivi fruttiferi, volumi e costi di raccolta, beta dei depositi, gap di riprezzamento, coperture, liquidità e perdite su crediti anziché usare un solo spread Treasury.
Per il debito societario, associare ogni scadenza, valuta, tasso fisso o variabile, data di rifinanziamento, covenant, garanzia, spread creditizio e opzione incorporata.
Per le azioni, separare le revisioni dei flussi di cassa da quelle dei tassi di sconto e usare un rendimento richiesto coerente con diritto, valuta, inflazione e orizzonte.
Per futures, swap, mutui, ETF e opzioni, incorporare consegna contrattuale, garanzia, basis, roll, convessità, rimborso anticipato, tracking e volatilità anziché trattare il CMT come rendimento del prodotto.

Idee errate comuni

«La curva dei rendimenti dei Treasury USA è un unico insieme di dati inequivocabile.» CMT par nominale, par reale, bill, zero, forward, curve stimate di ricerca e dei premi a termine sono oggetti diversi.
«Un CMT pubblicato è il rendimento di un Treasury che posso acquistare.» Può essere un rendimento par teorico interpolato da quotazioni denaro indicative.
«Tassi par, zero e forward alla stessa scadenza sono intercambiabili.» Struttura cedolare e sconto li rendono diversi anche all’interno di una curva coerente.
«Un tasso forward implicito o uno spread invertito è una previsione deterministica.» I tassi forward contengono premi per il rischio e le relazioni storiche con le recessioni sono evidenze condizionate dal modello, non garanzie né orologi.
«Un irripidimento è sempre rialzista o favorisce sempre le banche.» Può derivare dal calo dei tassi brevi o dall’aumento dei lunghi, mentre struttura della raccolta, coperture, credito, liquidità e attese sui flussi possono prevalere.

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Fonti autorevoli

Daily Treasury Par Yield Curve Rates - U.S. Department of the Treasury
Treasury Yield Curve Methodology - U.S. Department of the Treasury
Interest Rates - Frequently Asked Questions - U.S. Department of the Treasury
H.15 Selected Interest Rates - Board of Governors of the Federal Reserve System
The Yield Curve as a Leading Indicator - Federal Reserve Bank of New York
Treasury Term Premia - Federal Reserve Bank of New York
Daily Treasury Par Real Yield Curve Rates - U.S. Department of the Treasury
10-Year Breakeven Inflation Rate - Federal Reserve Bank of St. Louis