Preços neutros ao risco: replicação, probabilidades de Martingale e limites

Entenda por que os retornos de derivativos replicáveis podem ser precificados como expectativas descontadas e neutras ao risco, como derivar probabilidades de um período e por que não são previsões do mundo real.

Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

Resposta direta

Precificação neutra ao risco avalia um payoff futuro replicável como sua esperança sob uma medida de precificação construída para esse fim, descontada pela taxa de financiamento adequada. Nessa medida, quando custos de carregamento e distribuições são tratados de forma consistente, os preços descontados dos ativos negociáveis são martingais.

O método não pressupõe que os investidores reais sejam neutros ao risco. A aversão ao risco e os prêmios de risco são absorvidos pela mudança das probabilidades do mundo real para ponderações de preços neutras ao risco. O argumento econômico decisivo é a ausência de arbitragem e replicação: duas carteiras com fluxos de caixa idênticos, estado a estado, devem ter o mesmo valor atual, sujeito aos pressupostos de mercado e de negociação do modelo.

Este artigo trata da avaliação por modelo de direitos contingentes replicáveis, não da adequação nem do retorno esperado de uma operação. O exemplo é uma Call europeia hipotética de um período sobre uma ação sem dividendos, em conta à vista denominada em dólares dos Estados Unidos, sem impostos, tarifas, inadimplência ou restrições de negociação. Não é cotação em tempo real nem orientação para uma bolsa, corretora, tipo de conta ou jurisdição específicos. Termos contratuais, regras de conta, legislação e tributação variam; isto não é aconselhamento individual de investimento, jurídico ou tributário.

Da ausência de arbitragem a uma medida de preços

Em um modelo binomial de um período, uma ação é S₀ hoje e se torna Sᵤ ou S_d. Seja o retorno bruto sem risco R. A probabilidade ascendente neutra ao risco é:

q = (R S₀ − S_d) / (Sᵤ − S_d)

e a probabilidade de queda é 1 − q. Para um derivativo pagando Vᵤ ou V_d:

V₀ = [q Vᵤ + (1 − q) V_d] / R

A ausência de arbitragem exige S_d < R S₀ < Sᵤ, o que implica 0 < q < 1. O mesmo preço vem de uma posição replicante com Delta em ações:

Δ = (Vᵤ − V_d) / (Sᵤ − S_d)

e uma posição de captação ou aplicação escolhida para que a carteira replique os dois pagamentos finais. Essas “probabilidades” são pesos algébricos dos preços de estado gerados pela replicação, não estimativas da frequência com que a ação subirá.

Num modelo completamente livre de arbitragem, a medida de martingale equivalente é única e cada recompensa contingente modelada pode ser replicada. Em mercados incompletos, múltiplas medidas de preços podem ser consistentes com os preços negociados, pelo que são necessários pressupostos, limites, preferências ou critérios de cobertura adicionais do modelo. Saltos, custos de transação, negociações discretas, diferenças de financiamento, restrições de empréstimo e liquidez quebram o ideal de replicação sem atrito.

Exemplo de opção de compra (Call) de um período

Suponha:

preço das ações hoje S₀ = $100;
em um período, Sᵤ = $120 ou S_d = $90;
retorno bruto livre de risco R = 1.02;
uma Call com preço de exercício $105, que paga $15 no estado de alta e $0 no estado de baixa.

A probabilidade de preço é:

q = (1.02 × 100 − 90) / (120 − 90) = 12 / 30 = 0.40

Portanto:

Call value = (0.40 × $15 + 0.60 × $0) / 1.02 = $5.88

A replicação dá o mesmo resultado. O índice de hedge é:

Δ = ($15 − $0) / ($120 − $90) = 0.50

Manter 0.50 ações e tomar emprestados $44.12 hoje produz aproximadamente $15 no estado de alta e $0 no estado de baixa:

0.50 × $100 − $44.12 = $5.88

Suponha que um analista acredite que a probabilidade de aumento no mundo real seja 70%. Descontar o retorno físico esperado dá (0.70 × $15) / 1.02 = $10.29, não o preço sem arbitragem. Esse cálculo ignora o prêmio de risco exigido pelas ações e entra em conflito com a carteira replicante mais barata. A probabilidade física pode ser útil para retorno esperado ou análise de risco, mas não é substituída diretamente neste preço de replicação.

Lista de verificação de modelo e implementação

Defina o numerário, a curva de taxas, o transporte, os dividendos, os empréstimos e a composição de forma consistente.
Verifique se os estados do modelo abrangem o payoff avaliado; riscos não cobertos impedem a replicação exata.
Verifique as desigualdades sem arbitragem e se as probabilidades inferidas são não negativas e somam um.
Distinguir avaliação neutra ao risco de previsão física, retorno esperado e probabilidade de cenário.
Utilize taxas específicas para cada prazo e previsões de dividendos em vez de uma taxa diretora para todas as datas.
Reavaliar opções de estilo americano com método de exercício antecipado; uma única expectativa terminal é insuficiente.
Inclua, fora do modelo-base, custos de transação, rebalanceamento discreto, saltos de preço, interrupções de negociação e estresse de liquidez.
Tratar a contraparte, as garantias, a margem, o financiamento e os termos de liquidação como dados de avaliação, quando relevante.
Validar a convergência ao usar uma árvore, diferenças finitas ou Monte Carlo no processo neutro ao risco.
Compare o valor do modelo com Bid/Ask executável, não apenas Mid ou uma marca teórica.
Registre medidas, dinâmicas, dados de calibração, carimbo de data/hora e limitações para que “neutro ao risco” não seja um rótulo não documentado.

Erros comuns

“A precificação neutra ao risco pressupõe que os investidores não gostam de risco.” Muda a medida; não apaga as preferências do mundo real.
“Probabilidades neutras ao risco são previsões de mercado.” São ponderações de preços que incluem prêmios de risco.
“Use o resultado mais provável do mundo real e desconte-o.” A precificação exige que todos os estados e seus preços estaduais sejam replicados.
“Todo payoff tem um preço neutro ao risco único e independente de modelo.” A unicidade depende da completude do mercado e das hipóteses adotadas.
“Desconte todo derivativo pela mesma taxa de títulos públicos.” Financiamento, garantias, dividendos, aluguel de ativos, moeda e prazo podem importar.
“Um retorno esperado neutro ao risco garante a cotação de mercado.” As entradas do modelo, os atritos e o Bid/Ask ainda são importantes.
“Sem arbitragem significa que os lucros comerciais sem risco são fáceis de executar.” As violações aparentes podem desaparecer após custos e restrições.
“A avaliação neutra ao risco mede a atratividade do investimento.” Um preço de replicação justo não fornece um retorno físico esperado ou uma regra de decisão.