リスク中立価格評価：複製、マルチンゲール確率、適用限界
教育目的のみであり、投資助言ではありません
リスク中立価格評価は、複製可能な将来ペイオフを、特別に構成した価格測度で期待値化し、適切な資金調達金利で割り引きます。キャリーと分配を整合的に扱えば、その測度の下で取引可能資産の割引価格はマルチンゲールになります。
現実の投資家がリスク中立だとは仮定しません。リスク回避とプレミアムは、現実確率からリスク中立の価格重みへの測度変更に吸収されます。決定的な経済論理は無裁定と複製です。モデルの市場・取引仮定の下で状態別キャッシュフローが同じ2ポートフォリオは、現在価値も同じであるべきです。
無裁定から価格測度へ
Section titled “無裁定から価格測度へ”1期間二項モデルで、株価は現在 S₀、期末に Sᵤ または S_d、無リスク総収益率は R とします。リスク中立上昇確率は：
q = (R S₀ − S_d) / (Sᵤ − S_d)
下落確率は 1 − q です。デリバティブが各状態で Vᵤ、V_d を支払うなら：
V₀ = [q Vᵤ + (1 − q) V_d] / R
無裁定には S_d < R S₀ < Sᵤ が必要で、0 < q < 1 となります。同じ価格は株式Deltaの複製でも得られます。
Δ = (Vᵤ − V_d) / (Sᵤ − S_d)
両終端ペイオフを一致させる借入・貸付を組み合わせます。この「確率」は複製が生む代数的な状態価格重みで、株価上昇の頻度予想ではありません。
完備で無裁定のモデルなら同値マルチンゲール測度は一意で、モデル内の全条件付請求権を複製できます。不完備市場では複数の価格測度が取引価格と整合し得るため、追加モデル、境界、選好、ヘッジ基準が必要です。ジャンプ、費用、離散取引、資金調達差、借株制約、流動性は無摩擦複製を崩します。
1期間Callの例
Section titled “1期間Callの例”次を仮定します。
- 現在株価
S₀ = $100。 - 1期間後に
Sᵤ = $120またはS_d = $90。 - 無リスク総収益率
R = 1.02。 - 行使価格
$105のCallで、上昇状態は$15、下落状態は$0。
価格確率は：
q = (1.02 × 100 − 90) / (120 − 90) = 12 / 30 = 0.40
したがって：
Call価値 = (0.40 × $15 + 0.60 × $0) / 1.02 = $5.88
複製も同じ結果です。ヘッジ比率は：
Δ = ($15 − $0) / ($120 − $90) = 0.50
0.50株を持ち、現在 $44.12 を借りると、期末に上昇状態で約 $15、下落状態で $0 になります。
0.50 × $100 − $44.12 = $5.88
現実の上昇確率を 70% と考えても、物理期待ペイオフの割引 (0.70 × $15) / 1.02 = $10.29 は無裁定価格ではありません。株式の要求リスクプレミアムを無視し、より安い複製と矛盾します。物理確率は期待収益やリスクには使えても、複製価格へ直接代入できません。
モデルと実装のチェック
Section titled “モデルと実装のチェック”- ニュメレール、金利曲線、キャリー、配当、借株、複利を統一する。
- モデル状態が価格対象ペイオフを張るか確認し、一致しないリスクを認識する。
- 無裁定不等式と、推定確率が非負で合計1かを確認する。
- リスク中立評価と物理予測、期待収益、シナリオ確率を分ける。
- 全日付に同じ政策金利を使わず、期間別金利・配当を使う。
- アメリカン型は早期行使モデルで再評価し、終端期待値だけに頼らない。
- 取引費用、離散リバランス、ギャップ、停止、流動性を外部ストレスに加える。
- 必要なら相手方、担保、証拠金、資金調達、決済を評価入力とする。
- ツリー、有限差分、リスク中立モンテカルロの収束を検証する。
- モデル値をMidだけでなく実行可能Bid/Askと比較する。
- 測度、動学、校正データ、時刻、限界を記録する。
よくある誤解
Section titled “よくある誤解”- 「投資家がリスクを嫌わないと仮定する。」測度を変えるのであり現実の選好を消しません。
- 「リスク中立確率は市場予測だ。」リスクプレミアムを含む価格重みです。
- 「最も可能な現実結果を割り引けばよい。」全状態と複製状態価格が必要です。
- 「全ペイオフに一意でモデル不要の価格がある。」一意性は完備性と仮定に依存します。
- 「全デリバティブを同じ国債金利で割り引く。」資金、担保、配当、借株、期間が影響します。
- 「リスク中立期待値が市場気配を保証する。」入力、摩擦、Bid/Askが残ります。
- 「無裁定ならリスクなし利益は簡単だ。」費用と制約で見かけの差が消え得ます。
- 「リスク中立価値は投資魅力度を測る。」複製公正価値は物理期待収益や判断規則ではありません。