風險中立定價：複製、鞅機率與適用邊界
僅供教育參考，不構成投資建議
風險中立定價將可複製的未來收益，在一種特別建構的定價測度下求期望，再以適當融資利率折現。持有成本與分派處理一致時，在該測度下，可交易資產的折現價格呈現鞅性質。
此方法不假設真實投資人是風險中立的。風險厭惡與風險溢酬被吸收到由真實世界機率轉換至風險中立定價權重的過程。決定性經濟邏輯是無套利與複製：在模型的市場與交易假設下，逐狀態現金流相同的兩個組合應有相同現值。
從無套利到定價測度
Section titled “從無套利到定價測度”在一期間二項模型中，股票目前為 S₀，期末變為 Sᵤ 或 S_d，無風險總報酬為 R。風險中立上漲機率是：
q = (R S₀ − S_d) / (Sᵤ − S_d)
下跌機率為 1 − q。若衍生品在兩種狀態支付 Vᵤ 或 V_d：
V₀ = [q Vᵤ + (1 − q) V_d] / R
無套利要求 S_d < R S₀ < Sᵤ，使 0 < q < 1。同一價格也可由股票 Delta 的複製組合得到：
Δ = (Vᵤ − V_d) / (Sᵤ − S_d)
再選擇借貸部位，使組合在兩種期末狀態均與衍生品支付相同。此處「機率」是複製產生的代數狀態價格權重，不是估計股票上漲頻率。
在完備且無套利模型中，等價鞅測度唯一，每項模型內或有支付皆可複製。市場不完備時，多種定價測度可能均與交易價格一致，需要額外模型假設、界限、偏好或避險準則。跳空、交易成本、離散交易、融資差異、借券限制與流動性會破壞無摩擦複製理想。
一期間 Call 範例
Section titled “一期間 Call 範例”假設：
- 股票目前
S₀ = $100； - 一期間後為
Sᵤ = $120或S_d = $90； - 無風險總報酬
R = 1.02； - 履約價
$105的 Call，上漲狀態支付$15、下跌狀態支付$0。
定價機率為：
q = (1.02 × 100 − 90) / (120 − 90) = 12 / 30 = 0.40
因此：
Call 價值 = (0.40 × $15 + 0.60 × $0) / 1.02 = $5.88
複製得到相同結果。避險比率為：
Δ = ($15 − $0) / ($120 − $90) = 0.50
持有 0.50 股並於目前借入 $44.12，期末近似產生上漲狀態 $15、下跌狀態 $0：
0.50 × $100 − $44.12 = $5.88
若分析者認為真實上漲機率為 70%，將實體期望收益折現會得到 (0.70 × $15) / 1.02 = $10.29，而非無套利價格。此算法忽略股票所需風險溢酬，並與較便宜的複製組合衝突。實體機率可用於預期報酬或風險分析，但不能直接代入複製價格。
模型與實施清單
Section titled “模型與實施清單”- 一致定義計價資產、利率曲線、持有成本、股利、借券與複利。
- 驗證模型狀態能涵蓋待定價支付；無法配對的風險會阻止精確複製。
- 檢查無套利不等式，並確認推導機率非負且總和為一。
- 區分風險中立估值、實體預測、預期報酬與情境機率。
- 對不同日期使用期限對應利率與股利預測，而非單一政策利率。
- 美式選擇權需用提前履約方法重估；單一期末期望不足以定價。
- 在基礎模型外納入交易成本、離散再平衡、跳空、暫停交易與流動性壓力。
- 適用時將對手方、擔保品、保證金、融資與結算條款作為估值輸入。
- 使用樹、有限差分或風險中立蒙地卡羅時驗證收斂。
- 將模型價值與可成交 Bid/Ask 比較，而非只看 Mid 或理論標記。
- 記錄測度、動態、校準資料、時間戳與限制，避免「風險中立」成為無文件標籤。
- 「風險中立定價假設投資人不厭惡風險。」它改變測度，不消除真實偏好。
- 「風險中立機率就是市場預測。」它是包含風險溢酬的定價權重。
- 「將最可能的真實結果折現即可。」定價需要所有狀態及其複製狀態價格。
- 「每項支付都有唯一且無模型的風險中立價格。」唯一性取決於市場完備性與假設。
- 「所有衍生品都按同一公債利率折現。」融資、擔保、股利、借券與期限皆可能重要。
- 「風險中立期望保證市場報價。」模型輸入、摩擦與 Bid/Ask 仍影響結果。
- 「無套利代表無風險利潤很容易執行。」表面偏差可能在成本與限制後消失。
- 「風險中立估值衡量投資吸引力。」公平複製價不提供實體預期報酬或決策規則。