Tarification sans risque : réplication, probabilités de martingale et limites

Comprendre pourquoi les gains des produits dérivés reproductibles peuvent être évalués sous forme d'attentes actualisées sans risque, comment en dériver des probabilités sur une période et pourquoi il ne s'agit pas de prévisions du monde réel.

À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

Réponse directe

La valorisation risque-neutre évalue un payoff futur réplicable comme son espérance sous une mesure de valorisation construite à cet effet, puis l’actualise au taux de financement approprié. Sous cette mesure, lorsque le portage et les distributions sont traités de façon cohérente, les prix actualisés des actifs négociables sont des martingales.

La méthode ne suppose pas que les investisseurs réels soient neutres au risque. L’aversion au risque et les primes de risque sont intégrées au passage des probabilités réelles aux pondérations de valorisation risque-neutres. Le raisonnement économique déterminant repose sur l’absence d’arbitrage et la réplication : deux portefeuilles dont les flux sont identiques dans chaque état doivent avoir la même valeur actuelle, dans le cadre des hypothèses de marché et de négociation du modèle.

Cet article porte sur la valorisation par modèle de créances contingentes réplicables, et non sur l’adéquation ou le rendement attendu d’une opération. L’exemple est un Call européen hypothétique à une période sur une action sans dividende, dans un compte espèces en dollars des États-Unis, sans impôts, frais, défaut ni contrainte de négociation. Il ne s’agit ni d’un cours en temps réel ni d’indications propres à une bourse, un courtier, un type de compte ou une juridiction. Les contrats, règles de compte, lois et traitements fiscaux varient ; ce texte ne constitue pas un conseil personnalisé en investissement, en droit ou en fiscalité.

De l’absence d’arbitrage à une mesure tarifaire

Dans un modèle binomial à une période, une action vaut aujourd’hui S₀ et devient Sᵤ ou S_d. Soit R le rendement brut sans risque. La probabilité de hausse risque-neutre est :

q = (R S₀ − S_d) / (Sᵤ − S_d)

et la probabilité de baisse est 1 − q. Pour un dérivé payant Vᵤ ou V_d :

V₀ = [q Vᵤ + (1 − q) V_d] / R

L’absence d’arbitrage exige S_d < R S₀ < Sᵤ, ce qui donne 0 < q < 1. Le même prix découle d’une position de réplication dont le Delta en actions est :

Δ = (Vᵤ − V_d) / (Sᵤ − S_d)

ainsi qu’une position d’emprunt ou de placement choisie pour reproduire les deux payoffs finaux. Ces « probabilités » sont des pondérations algébriques de prix d’état issues de la réplication, et non des estimations de la fréquence de hausse de l’action.

Dans un modèle complet et sans arbitrage, la mesure martingale équivalente est unique et chaque payoff contingent du modèle peut être répliqué. Sur un marché incomplet, plusieurs mesures de valorisation peuvent être compatibles avec les prix négociés ; il faut alors des hypothèses, bornes, préférences ou critères de couverture supplémentaires. Les sauts, coûts de transaction, négociations discrètes, écarts de financement, contraintes d’emprunt et problèmes de liquidité rompent l’idéal d’une réplication sans friction.

Exemple de Call à une période

Supposons :

cours de l’action aujourd’hui S₀ = $100 ;
en une seule période, Sᵤ = $120 ou S_d = $90 ;
rendement brut sans risque R = 1.02 ;
une option d’achat avec strike (prix d’exercice) $105, payant $15 à l’état haut et $0 à l’état bas.

La probabilité de valorisation est :

q = (1.02 × 100 − 90) / (120 − 90) = 12 / 30 = 0.40

Par conséquent :

Call value = (0.40 × $15 + 0.60 × $0) / 1.02 = $5.88

La réplication donne le même résultat. Le ratio de couverture est :

Δ = ($15 − $0) / ($120 − $90) = 0.50

Détenir 0.50 actions et emprunter $44.12 produit aujourd’hui environ $15 à l’état haut et $0 à l’état bas :

0.50 × $100 − $44.12 = $5.88

Supposons qu’un analyste estime que la probabilité réelle de hausse est de 70%. L’actualisation du gain physique attendu donne (0.70 × $15) / 1.02 = $10.29, et non le prix sans arbitrage. Ce calcul ignore la prime de risque requise par l’action et entre en conflit avec le portefeuille de réplication moins cher. La probabilité physique peut être utile pour l’analyse du rendement attendu ou du risque, mais elle ne peut pas être directement substituée à ce prix de réplication.

Liste de contrôle du modèle et de la mise en œuvre

Définir le numéraire, la courbe des taux, le portage, les dividendes, l’emprunt et la composition de manière cohérente.
Vérifier que les états du modèle couvrent le payoff évalué ; les risques non couverts empêchent une réplication exacte.
Vérifier les inégalités sans arbitrage et que les probabilités déduites sont non négatives et totalisent un.
Distinguer l’évaluation sans risque des prévisions physiques, du rendement attendu et de la probabilité du scénario.
Utilisez des taux spécifiques à chaque terme et des prévisions de dividendes plutôt qu’un seul taux directeur pour toutes les dates.
Réévaluer les options américaines avec une méthode qui traite l’exercice anticipé ; une seule espérance terminale ne suffit pas.
Intégrer hors du modèle de base les coûts de transaction, le rééquilibrage discret, les sauts de prix, les suspensions de cotation et les tensions de liquidité.
Traitez les conditions de contrepartie, de garantie, de marge, de financement et de règlement comme des données d’évaluation, le cas échéant.
Valider la convergence lors de l’utilisation d’un arbre, de différences finies ou de Monte Carlo dans le cadre du processus sans risque.
Comparez la valeur du modèle avec le Bid/Ask exécutable, pas seulement avec le Mid ou une note théorique.
Consigner la mesure, la dynamique, les données d’étalonnage, l’horodatage et les limites afin que « risque-neutre » ne soit pas une étiquette sans documentation.

Idées fausses courantes

“Une tarification neutre au risque suppose que les investisseurs n’aiment pas le risque.” Cela change la mesure ; cela n’efface pas les préférences du monde réel.
“Les probabilités sans risque sont des prévisions de marché.” Ce sont des pondérations de prix qui incluent les primes de risque.
« Utilisez le résultat réel le plus probable et actualisez-le. » La valorisation exige tous les états et leurs prix d’état de réplication.
“Chaque gain a un prix sans risque et sans modèle.” Le caractère unique dépend de l’exhaustivité et des hypothèses du marché.
« Actualisez tous les dérivés au même taux d’emprunt d’État. » Le financement, les garanties, les dividendes, le prêt de titres, la devise et l’échéance peuvent compter.
“Un gain attendu sans risque garantit la cotation du marché.” Les entrées du modèle, les frictions et le Bid/Ask comptent toujours.
“L’absence d’arbitrage signifie que les bénéfices commerciaux sans risque sont faciles à réaliser.” Les violations apparentes peuvent disparaître après les coûts et les contraintes.
« Une valorisation neutre au risque mesure l’attractivité des investissements. » Un prix de réplication équitable ne fournit pas de rendement physique attendu ni de règle de décision.