การกำหนดราคาแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยง: การจำลองแบบ ความน่าจะเป็นมาร์ติงเกล และข้อจำกัด

ทำความเข้าใจว่าเหตุใดผลตอบแทนของอนุพันธ์ที่จำลองแบบได้จึงประเมินราคาเป็นค่าคาดหมายแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยงที่คิดลด วิธีหาความน่าจะเป็นในหนึ่งช่วงเวลา และเหตุใดค่านี้จึงไม่ใช่การพยากรณ์โลกจริง

จัดทำขึ้นเพื่อการศึกษาเท่านั้น ไม่ใช่คำแนะนำการลงทุน การลงทุนอาจทำให้สูญเสียเงินลงทุนได้

คำตอบโดยตรง

การกำหนดราคาแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยง ประเมินผลตอบแทนในอนาคตที่จำลองแบบได้เป็นค่าคาดหมายภายใต้มาตรวัดราคาที่สร้างขึ้นโดยเฉพาะ แล้วคิดลดด้วยอัตราเงินทุนที่เหมาะสม เมื่อจัดการต้นทุนการถือครองและการจ่ายผลประโยชน์อย่างสอดคล้อง ราคาคิดลดของสินทรัพย์ที่ซื้อขายได้จะเป็นมาร์ติงเกลภายใต้มาตรวัดดังกล่าว

วิธีนี้ไม่ได้สมมติว่านักลงทุนจริงเป็นกลางต่อความเสี่ยง ความไม่ชอบความเสี่ยงและส่วนชดเชยความเสี่ยงถูกรวมไว้ในการเปลี่ยนจากความน่าจะเป็นในโลกจริงไปเป็นน้ำหนักราคาแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยง เหตุผลทางเศรษฐศาสตร์ที่ชี้ขาดคือการไม่มีอาร์บิทราจและการจำลองแบบ กล่าวคือ พอร์ตสองพอร์ตที่มีกระแสเงินสดเท่ากันในทุกสถานะควรมีมูลค่าปัจจุบันเท่ากัน ภายใต้สมมติฐานด้านตลาดและการซื้อขายของแบบจำลอง

บทความนี้กล่าวถึงการประเมินมูลค่าด้วยแบบจำลองสำหรับสิทธิเรียกร้องตามเงื่อนไขที่จำลองแบบได้ ไม่ได้ประเมินความเหมาะสมหรือผลตอบแทนคาดหวังของธุรกรรม ตัวอย่างเป็น Call แบบยุโรปหนึ่งช่วงเวลาสมมติบนหุ้นที่ไม่จ่ายเงินปันผล ในบัญชีเงินสดสกุลดอลลาร์สหรัฐ โดยสมมติว่าไม่มีภาษี ค่าธรรมเนียม การผิดนัด หรือข้อจำกัดการซื้อขาย ตัวเลขไม่ใช่ราคาตลาดปัจจุบันและไม่ใช่คำแนะนำสำหรับตลาดหลักทรัพย์ นายหน้า ประเภทบัญชี หรือเขตอำนาจใดโดยเฉพาะ เงื่อนไขสัญญา กฎบัญชี กฎหมาย และภาษีแตกต่างกันไป เนื้อหานี้ไม่ใช่คำแนะนำด้านการลงทุน กฎหมาย หรือภาษีเฉพาะบุคคล

จากการไม่มีอาร์บิทราจสู่มาตรวัดราคา

ในแบบจำลองทวินามหนึ่งช่วงเวลา ราคาหุ้นวันนี้คือ S₀ และเมื่อสิ้นงวดจะเป็น Sᵤ หรือ S_d ให้ผลตอบแทนรวมที่ปราศจากความเสี่ยงเท่ากับ R ความน่าจะเป็นขาขึ้นแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยงคือ:

q = (R S₀ − S_d) / (Sᵤ − S_d)

และความน่าจะเป็นขาลงคือ 1 − q สำหรับอนุพันธ์ที่จ่าย Vᵤ หรือ V_d:

V₀ = [q Vᵤ + (1 − q) V_d] / R

การไม่มีอาร์บิทราจกำหนดให้ S_d < R S₀ < Sᵤ ซึ่งทำให้ 0 < q < 1 ราคาเดียวกันหาได้จากสถานะจำลองแบบที่มี Delta ของหุ้นเท่ากับ:

Δ = (Vᵤ − V_d) / (Sᵤ − S_d)

พร้อมสถานะกู้ยืมหรือให้กู้ที่เลือกให้พอร์ตตรงกับผลตอบแทนปลายงวดทั้งสองสถานะ “ความน่าจะเป็น” เหล่านี้คือน้ำหนักราคาตามสถานะที่ได้จากพีชคณิตของการจำลองแบบ ไม่ใช่ค่าประมาณว่าหุ้นจะขึ้นบ่อยเพียงใด

ในแบบจำลองที่สมบูรณ์และไม่มีอาร์บิทราจ มาตรวัดมาร์ติงเกลสมมูลมีเพียงหนึ่งเดียว และผลตอบแทนตามเงื่อนไขทุกแบบในแบบจำลองสามารถจำลองได้ ในตลาดที่ไม่สมบูรณ์ มาตรวัดราคาหลายแบบอาจสอดคล้องกับราคาซื้อขาย จึงต้องใช้สมมติฐาน ขอบเขต ความพึงพอใจ หรือเกณฑ์การป้องกันความเสี่ยงเพิ่มเติม การกระโดดของราคา ต้นทุนธุรกรรม การซื้อขายแบบไม่ต่อเนื่อง ความแตกต่างด้านเงินทุน ข้อจำกัดการยืม และสภาพคล่อง ล้วนทำให้อุดมคติของการจำลองแบบไร้แรงเสียดทานใช้ไม่ได้เต็มที่

ตัวอย่าง Call หนึ่งช่วงเวลา

สมมติว่า:

ราคาหุ้นวันนี้ S₀ = $100;
หนึ่งช่วงเวลาถัดไป Sᵤ = $120 หรือ S_d = $90;
ผลตอบแทนรวมที่ปราศจากความเสี่ยง R = 1.02;
Call ราคาใช้สิทธิ $105 จ่าย $15 ในสถานะขาขึ้นและ $0 ในสถานะขาลง

ความน่าจะเป็นที่ใช้กำหนดราคาคือ:

q = (1.02 × 100 − 90) / (120 − 90) = 12 / 30 = 0.40

ดังนั้น:

Call value = (0.40 × $15 + 0.60 × $0) / 1.02 = $5.88

การจำลองแบบให้ผลเดียวกัน อัตราส่วนป้องกันความเสี่ยงคือ:

Δ = ($15 − $0) / ($120 − $90) = 0.50

การถือหุ้น 0.50 หุ้นและกู้เงิน $44.12 วันนี้ ทำให้ได้ประมาณ $15 ในสถานะขาขึ้นและ $0 ในสถานะขาลง:

0.50 × $100 − $44.12 = $5.88

สมมติว่านักวิเคราะห์เชื่อว่าความน่าจะเป็นขาขึ้นในโลกจริงคือ 70% การคิดลดผลตอบแทนคาดหมายภายใต้ความน่าจะเป็นจริงให้ค่า (0.70 × $15) / 1.02 = $10.29 ซึ่งไม่ใช่ราคาที่ไม่มีอาร์บิทราจ การคำนวณนั้นละเลยส่วนชดเชยความเสี่ยงที่ผู้ถือหุ้นต้องการและขัดแย้งกับพอร์ตจำลองแบบที่มีต้นทุนต่ำกว่า ความน่าจะเป็นจริงอาจเป็นประโยชน์ต่อการวิเคราะห์ผลตอบแทนคาดหวังหรือความเสี่ยง แต่ไม่ควรนำมาแทนโดยตรงในราคาจากการจำลองแบบนี้

รายการตรวจสอบแบบจำลองและการนำไปใช้

กำหนดสินทรัพย์อ้างอิงหน่วยราคา เส้นอัตราดอกเบี้ย ต้นทุนการถือครอง เงินปันผล การยืม และการทบต้นให้สอดคล้องกัน
ตรวจสอบว่าสถานะในแบบจำลองครอบคลุมผลตอบแทนที่ประเมินราคา ความเสี่ยงที่จับคู่ไม่ได้ทำให้จำลองแบบได้ไม่สมบูรณ์
ตรวจสอบอสมการไม่มีอาร์บิทราจ และยืนยันว่าความน่าจะเป็นที่อนุมานไม่ติดลบและรวมกันเป็นหนึ่ง
แยกการประเมินแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยงออกจากการพยากรณ์จริง ผลตอบแทนคาดหวัง และความน่าจะเป็นของสถานการณ์
ใช้อัตราดอกเบี้ยและคาดการณ์เงินปันผลให้ตรงตามอายุ แทนการใช้อัตรานโยบายเดียวกับทุกวันครบกำหนด
ประเมินราคาออปชันอเมริกันใหม่ด้วยวิธีที่รองรับการใช้สิทธิก่อนกำหนด ค่าคาดหมาย ณ วันสิ้นสุดเพียงครั้งเดียวไม่เพียงพอ
นำต้นทุนธุรกรรม การปรับสมดุลแบบไม่ต่อเนื่อง ช่องว่างราคา การหยุดซื้อขาย และภาวะสภาพคล่องตึงตัวมาพิจารณานอกแบบจำลองพื้นฐาน
ใช้เงื่อนไขคู่สัญญา หลักประกัน มาร์จิน เงินทุน และการชำระราคาเป็นข้อมูลนำเข้าการประเมินเมื่อเกี่ยวข้อง
ตรวจสอบการลู่เข้าเมื่อใช้โครงต้นไม้ ผลต่างจำกัด หรือมอนติคาร์โลภายใต้กระบวนการเป็นกลางต่อความเสี่ยง
เปรียบเทียบมูลค่าแบบจำลองกับราคา Bid/Ask ที่ซื้อขายได้จริง ไม่ใช่เพียง Mid หรือราคาทฤษฎี
บันทึกมาตรวัด พลวัต ข้อมูลสอบเทียบ เวลา และข้อจำกัด เพื่อไม่ให้คำว่า “เป็นกลางต่อความเสี่ยง” เป็นเพียงป้ายที่ไม่มีคำอธิบาย

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

“การกำหนดราคาแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยงสมมติว่านักลงทุนไม่รังเกียจความเสี่ยง” วิธีนี้เปลี่ยนมาตรวัด ไม่ได้ลบความพึงพอใจในโลกจริง
“ความน่าจะเป็นแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยงคือการคาดการณ์ของตลาด” ค่านี้เป็นน้ำหนักราคาที่รวมส่วนชดเชยความเสี่ยงแล้ว
“ใช้ผลลัพธ์จริงที่น่าจะเกิดที่สุดแล้วคิดลด” การกำหนดราคาต้องใช้ทุกสถานะและราคาตามสถานะที่ใช้จำลองแบบ
“ทุกผลตอบแทนมีราคาเป็นกลางต่อความเสี่ยงหนึ่งเดียวที่ไม่ขึ้นกับแบบจำลอง” ความเป็นเอกลักษณ์ขึ้นอยู่กับความสมบูรณ์ของตลาดและสมมติฐาน
“คิดลดอนุพันธ์ทุกชนิดด้วยอัตราพันธบัตรรัฐบาลเดียวกัน” เงินทุน หลักประกัน เงินปันผล การยืมหลักทรัพย์ สกุลเงิน และอายุอาจมีผล
“ผลตอบแทนคาดหมายแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยงรับประกันราคาตลาด” ข้อมูลนำเข้า ข้อจำกัด และ Bid/Ask ยังคงมีผล
“การไม่มีอาร์บิทราจหมายความว่ากำไรไร้ความเสี่ยงทำได้ง่าย” ความคลาดเคลื่อนที่เห็นอาจหายไปเมื่อรวมต้นทุนและข้อจำกัด
“การประเมินแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยงวัดความน่าลงทุน” ราคาจำลองแบบที่เป็นธรรมไม่ได้ให้ผลตอบแทนคาดหวังภายใต้ความน่าจะเป็นจริงหรือกฎตัดสินใจ