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Breeden-Litzenberger-Formel: Risikoneutrale Dichte aus Optionspreisen

Extrahieren Sie diskontierte Tail-Wahrscheinlichkeiten und risikoneutrale Dichte aus europäischen Optionspreisen und kontrollieren Sie gleichzeitig Strike Grids, Arbitrage, Glättung und Datenrisiken.

Aktualisiert

Nur zu Bildungszwecken; keine Anlageberatung. Investitionen können zu Verlusten führen.

Direkte Antwort

Für eine Laufzeit sei C(K,T) der Zeit-Null-Preis pro zugrundeliegender Einheit eines hinreichend regelmäßigen europäischen Calls, sei D(0,T) der Abzinsungsfaktor und sei Q^T das mit diesem Numeraire verbundene Preismaß. Unter abgestimmten Abwicklungs- und No-Arbitrage-Bedingungen

-partial C(K,T) / partial K = D(0,T) x Q^T(S_T > K)

partial^2 C(K,T) / partial K^2 = D(0,T) x f_Q(K)

an Kontinuitätspunkten. Also f_Q(K) = [1 / D(0,T)] x partial^2 C / partial K^2. Die erste Ableitung ist ein abgezinster digitaler Call-Wert und die zweite Ableitung ist eine abgezinste Dichte, keine objektive Prognose. Wenn die Endverteilung ein Atom enthält, kann die Ableitung springen und diese Wahrscheinlichkeitsmasse wird nicht durch eine gewöhnliche glatte Dichte an dem Punkt dargestellt.

Mechanismus

  1. Anspruch und Uhr einfrieren. Basiswert, Ablauf, europäische Ausübung, Bar- oder physische Abwicklung, Multiplikator, offizieller S_T, Kurszeitstempel, Sitzung, Währung und Corporate-Action-Status abgleichen. Amerikanische Preise oder nicht übereinstimmende Abrechnungen können nicht unverändert eingefügt werden.
  2. Normalisieren Sie Forwards und Diskontierung. Schätzen Sie D(0,T), den passenden Forward, Dividenden, Kredite und alle Quanto- oder Futures-Konventionen. Wandeln Sie Puts nur durch eine übereinstimmende Put-Call-Parität in synthetische Calls um und halten Sie den Optionspreis pro zugrundeliegender Einheit vom Vertragsdollar getrennt.
  3. Bereinigen Sie den Strike-Querschnitt. Verwenden Sie synchronisierte Geld- und Briefkurse, Größen sowie Ausführungsbedingungen. Entfernen Sie offensichtliche Fehler und veraltete oder gekreuzte Beobachtungen. Erzwingen Sie vor der Differentiation fallende Call-Preise, Konvexität, sinnvolle Grenzen und Kalenderkonsistenz.
  4. Anpassen einer Arbitrage-Kurve. Wählen Sie, ob Preise, implizite Volatilität, digitale Preise oder eine Dichte angepasst werden sollen. Dokumentknoten, Gewichte, Regularisierung, Extrapolation und Randbedingungen. Eine glatte Kurve ist ein Schätzer, keine beobachtete Wahrheit.
  5. Differenzieren Sie mit dem tatsächlichen Raster. Für gleiche Abstände h verwenden Sie [C(K-h) - 2C(K) + C(K+h)] / h^2. Für ungleiche Nachbarn K_- < K < K_+ verwenden Sie 2 x {[(C_+ - C) / (K_+ - K)] - [(C - C_-) / (K - K_-)]} / (K_+ - K_-). Wenden Sie die Gleichgitterformel nicht auf unregelmäßige Schläge an.
  6. Verteilungsbeschränkungen validieren. Überprüfen Sie nichtnegative Dichte, Gesamtmasse, vorwärtskonsistentes erstes Moment, Call-Repricing, Bid-Ask-Empfindlichkeit, Tail-Masse und Stabilität über Glättungsoptionen hinweg. Unterscheiden Sie eine kontinuierliche Dichte von diskreten Atomen und einer verkürzten Schlagunterstützung.
  7. Versionieren und interpretieren Sie vorsichtig. Speichern Sie den Ketten-Snapshot, Bereinigungsentscheidungen, Kurven, Code, Löser und Konfidenz- oder Empfindlichkeitsbänder. Vergleichen Sie risikoneutrale und physische Verteilungen nur mithilfe eines expliziten Preiskerns oder eines Risikoprämienrahmens. Beschriften Sie die extrahierte Kurve nicht als Marktprognose.

Ausgearbeitete Beispiele

  • Dichteschätzung auf einem gleichmäßigen Gitter. Synchronisierte europäische Calls mit derselben Fälligkeit haben C(95) = $8.20, C(100) = $5.00 und C(105) = $2.80. Bei h = $5 beträgt die abgezinste Krümmung bei 100 [$8.20 - 2 x $5.00 + $2.80] / $5^2 = $1.00 / 25 = 0.04 per dollar. Für D(0,T) = 1 beträgt die lokale risikoneutrale Dichteschätzung 0.04 per dollar; dies ist keine Wahrscheinlichkeit von 4% für exakt 100.
  • Vertikale Ausbreitung und durchschnittliche Tail-Wahrscheinlichkeit. Von C(100) = $5.00 und C(105) = $2.80 beträgt die negative Sekantensteigung ($5.00 - $2.80) / $5 = 0.44. Er entspricht dem diskontierten Durchschnitt von Q^T(S_T > K) über die Strikes 100 bis 105. Bei D(0,T) = 0.98 beträgt die entsprechende durchschnittliche risikoneutrale Tail-Wahrscheinlichkeit 0.44 / 0.98 = 44.897959%; Es ist nicht automatisch die Tail-Wahrscheinlichkeit an beiden Endpunkten.
  • Ungleicher Schlagabstand. Seien K_- = 95, K = 100, K_+ = 107, mit C_- = $8.20, C = $5.00 und C_+ = $2.20. Die linke Steigung ist ($5.00 - $8.20) / 5 = -0.64, die rechte Steigung ist ($2.20 - $5.00) / 7 = -0.40 und die ungleiche Gitterkrümmung ist 2 x [-0.40 - (-0.64)] / 12 = 0.04 per dollar. Der gittergleiche Nenner wäre hier falsch.
  • Negative Butterfly-Diagnose. Bei gleichen Strikes 95/100/105 und den Preisen $8.20, $5.60 und $2.80 ist der Zähler $8.20 - 2 x $5.60 + $2.80 = -$0.20, also ist die Krümmung -$0.20 / 25 = -0.008 per dollar. Der Kauf der Flügel und der Verkauf von zwei mittleren Calls führt zu einer nichtnegativen terminalen Schmetterlingsauszahlung und erhält gleichzeitig $0.20 pro Einheit oder $20 zu M = 100 vor Kosten. Dies ist nur dann eine ausführbare Arbitrage, wenn die Kurse synchronisiert sind, alle Beine gefüllt sind und Finanzierung, Gebühren, Ausübung, Abwicklung und andere Reibungen sie nicht aufheben.

Checkliste für Extraktion und Validierung

  • Passen Sie ein genaues Ablaufdatum, einen Basiswert, einen Ausübungsart, eine Abwicklungskonvention, eine Währung, einen Multiplikator und eine offizielle Terminalquelle an.
  • Verwenden Sie synchronisierte Optionen und zugrunde liegende Zeitstempel. separate Kursnotierungen, konsolidierte Daten, letzte Trades und theoretische Noten.
  • Erfassen Sie Geld- und Briefkurse, angezeigte Größe, den Status „Gekreuzt“ oder „Gesperrt“, „Veraltete“-Flags und die Bedingungen für ausführbare Pakete.
  • Konvertieren Sie Vertragsprämien in Preise pro Basiseinheit, bevor Sie Strike-Derivate einsetzen.
  • Schätzen Sie den laufzeitangepassten Abzinsungsfaktor, anstatt eine Par-Rendite oder einen unabhängigen kurzfristigen Zinssatz einzuführen.
  • Gleichen Sie Forward-, Dividenden-, Kredit-, Futures-Abwicklungs-, FX- und Quanto-Bedingungen vor der Put-Call-Konvertierung ab.
  • Wenden Sie die Parität nur auf übereinstimmende europäische Ansprüche an und behalten Sie Umrechnungsreste als Datenqualitätsdiagnose bei.
  • Erzwingen Sie Aufrufpreisgrenzen, Monotonie, Konvexität und entsprechende Kalendereinschränkungen vor der Extraktion.
  • Verwenden Sie das tatsächliche Schlaggitter. Wenden Sie keine Unterschiede mit gleichem Abstand auf ungleiche Intervalle an.
  • Behandeln Sie die ersten Unterschiede als Intervalldurchschnitte und nicht als exakte digitale Endpunktwahrscheinlichkeiten.
  • Unterscheiden Sie Dichteeinheiten wie die Wahrscheinlichkeit pro Dollar von der integrierten Wahrscheinlichkeitsmasse.
  • Bewahren Sie Atome, digitale Preissprünge und vertragsspezifische Abrechnungsdiskontinuitäten, anstatt sie stillschweigend zu glätten.
  • Geben Sie die Anpassungsdomäne, Knoten, Gewichte, Strafen, Extrapolationen und Grenzannahmen an.
  • Betonen Sie Preisraum-Anpassungen gegenüber Volatilitätsraum-, Digitalraum- und Direktdichte-Alternativen.
  • Wiederholen Sie die Extraktion bei Geld-, Mittel-, Brief- und gestörten sauberen Datensätzen, da zweite Ableitungen das Rauschen verstärken.
  • Prüfen Sie Nichtnegativität, eine Gesamtmasse nahe eins, den mit dem Forward konsistenten Mittelwert und die Neubewertung der beobachteten Calls innerhalb der Toleranzen.
  • Behandeln Sie fehlende Deep-Tail-Strikes als modellabhängige Extrapolation und melden Sie ausgelassene Tail-Masse.
  • Interpretieren Sie risikoneutrale Momente nicht als physische Erwartungen ohne explizites Risiko-Prämien-Modell.
  • Trennen Sie die theoretische statische Arbitrage vom ausführbaren Ausführungs-, Gebühren-, Finanzierungs-, Margin-, Ausübungs- und Abwicklungsrisiko.
  • Archivieren Sie Rohdaten, Korrekturen, Code, Solver-Einstellungen, Ausgabeversion, Überprüfung und Unsicherheitsdiagnose.

Häufige Missverständnisse

  • „Die Dichte ist die objektive Prognose des Marktes.“ Es handelt sich um eine Preismaßverteilung, die staatliche Preise und Risikoprämien einbettet.
  • „Eine Dichte von 0,04 bedeutet eine Chance von 4 % bei genau diesem Preis.“ Die Dichte hat inverse Preiseinheiten und muss über ein Intervall integriert werden.
  • „Rohe Mittelpunktsunterschiede offenbaren die wahre Verteilung.“ Asynchronität, Streuungen, spärliche Treffer und numerische Differenzierung können die Krümmung dominieren.
  • „Das Abschneiden negativer Dichte löst das Problem.“ Ad-hoc-Abschneiden kann Arbitrageverstöße verbergen und Preisanpassungen, Massen- oder Mittelwertbeschränkungen zerstören.
  • „Die Formel gilt unverändert für jede Optionskette.“ Amerikanische Ausübung, diskrete Dividenden, angepasste Kontrakte, Futures-Konventionen, Atome und Abwicklungsregeln erfordern eine explizite Behandlung.

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Maßgebliche Quellen

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