Fórmula de Breeden-Litzenberger: densidade neutra ao risco dos preços das opções

Extraia probabilidades de cauda descontadas e densidade neutra ao risco dos preços das opções europeias enquanto controla grades de strike, arbitragem, suavização e risco de dados.

Somente para fins educacionais; não constitui aconselhamento de investimento. Investir pode resultar em perdas.

Resposta direta

Para um vencimento, seja C(K,T) o preço no tempo zero por unidade subjacente de uma opção de compra europeia suficientemente regular, seja D(0,T) o fator de desconto e seja Q^T a medida de preço associada a esse numerário. Sob condições de liquidação combinada e sem arbitragem,

-partial C(K,T) / partial K = D(0,T) x Q^T(S_T > K)

partial^2 C(K,T) / partial K^2 = D(0,T) x f_Q(K)

em pontos de continuidade. Assim f_Q(K) = [1 / D(0,T)] x partial^2 C / partial K^2. A primeira derivada é um valor de chamada digital com desconto e a segunda derivada é uma densidade com desconto, não uma previsão objetiva. Se a distribuição terminal tiver um átomo, a derivada pode saltar e essa massa de probabilidade não é representada por uma densidade suave comum no ponto.

Mecanismo

Fixe o direito e o cronograma. Faça corresponder subjacente, vencimento, exercício europeu, liquidação financeira ou física, multiplicador, S_T oficial, timestamp da cotação, sessão, moeda e estado das ações corporativas. Preços de opções americanas ou com liquidação incompatível não podem ser inseridos sem ajuste.
Normalizar contratos a termo e descontos. Estime D(0,T), o contrato a termo, dividendos, empréstimos e qualquer convenção de quanto ou de futuros. Converta opções de venda em opções de compra sintéticas apenas por meio de paridade de opção de venda e opção de compra e mantenha o preço da opção por unidade subjacente separado dos dólares do contrato.
Limpe a seção transversal de strikes. Use bid, ask, tamanho exibido e condições executáveis sincronizados; remova erros evidentes e observações obsoletas ou cruzadas. Imponha preços de call decrescentes, convexidade, limites plausíveis e consistência entre vencimentos antes de diferenciar.
Ajuste uma curva com reconhecimento de arbitragem. Escolha se deseja ajustar preços, volatilidade implícita, preços digitais ou densidade; documentar nós, pesos, regularização, extrapolação e condições de contorno. Uma curva suave é um estimador, não uma verdade observada.
Diferencie usando a grade real. Para espaçamento igual h, use [C(K-h) - 2C(K) + C(K+h)] / h^2. Para vizinhos desiguais K_- < K < K_+, use 2 x {[(C_+ - C) / (K_+ - K)] - [(C - C_-) / (K - K_-)]} / (K_+ - K_-). Não aplique a fórmula da grade uniforme a strikes irregulares.
Valide as restrições de distribuição. Verifique a densidade não negativa, a massa total, o primeiro momento consistente para frente, a reprecificação de chamadas, a sensibilidade de compra e venda, a massa da cauda e a estabilidade nas opções de suavização. Distinguir uma densidade contínua de átomos discretos e suporte de ataque truncado.
Verifique e interprete com cautela. Armazene o instantâneo da cadeia, decisões de limpeza, curvas, código, solucionador e faixas de confiança ou sensibilidade. Compare as distribuições físicas e neutras ao risco apenas através de um núcleo de preços explícito ou de uma estrutura de prémio de risco; não rotule a curva extraída como uma previsão de mercado.

Exemplos trabalhados

Estimativa de densidade de grade igual. As chamadas europeias sincronizadas com uma expiração têm C(95) = $8.20, C(100) = $5.00 e C(105) = $2.80. Com h = $5, a curvatura com desconto em 100 é [$8.20 - 2 x $5.00 + $2.80] / $5^2 = $1.00 / 25 = 0.04 per dollar. Se D(0,T) = 1, a estimativa de densidade local neutra ao risco é 0.04 per dollar; não é uma probabilidade 4% exatamente 100.
Spread vertical e probabilidade média de cauda. De C(100) = $5.00 e C(105) = $2.80, a inclinação secante negativa é ($5.00 - $2.80) / $5 = 0.44. Ela equivale à média descontada de Q^T(S_T > K) entre os strikes 100 e 105. Se D(0,T) = 0.98, a probabilidade média correspondente de cauda neutra ao risco é 0.44 / 0.98 = 44.897959%; não é automaticamente a probabilidade de cauda em nenhum dos extremos.
Espaçamento desigual entre strikes. Seja K_- = 95, K = 100, K_+ = 107, com C_- = $8.20, C = $5.00 e C_+ = $2.20. A inclinação esquerda é ($5.00 - $8.20) / 5 = -0.64, a inclinação direita é ($2.20 - $5.00) / 7 = -0.40 e a curvatura da grade desigual é 2 x [-0.40 - (-0.64)] / 12 = 0.04 per dollar. O denominador de grade uniforme estaria errado aqui.
Diagnóstico de borboleta negativa. Com strikes igualmente espaçados em 95/100/105 e preços $8.20, $5.60 e $2.80, o numerador é $8.20 - 2 x $5.60 + $2.80 = -$0.20, então a curvatura é -$0.20 / 25 = -0.008 per dollar. Comprar as asas e vender duas calls centrais produz payoff terminal não negativo enquanto recebe $0.20 por unidade, ou $20 em M = 100, antes dos custos. Isso só constitui arbitragem executável se as cotações estiverem sincronizadas, todas as pernas forem executadas e financiamento, taxas, exercício, liquidação e outros atritos não eliminarem a vantagem.

Lista de verificação de extração e validação

Combine um vencimento exato, subjacente, estilo de exercício, convenção de liquidação, moeda, multiplicador e fonte oficial do terminal.
Use opção sincronizada e carimbos de data/hora subjacentes; cotações de locais separados, dados consolidados, últimas negociações e marcas teóricas.
Registrar lance, pedido, tamanho exibido, status cruzado ou bloqueado, sinalizadores obsoletos e condições de pacote executável.
Converter os prémios contratuais em preços por unidade subjacente antes de contratar derivados de exercício.
Estime o fator de desconto correspondente ao vencimento em vez de inserir um rendimento nominal ou uma taxa curta não relacionada.
Reconcilie termos a termo, dividendos, empréstimos, liquidação de futuros, câmbio e quanto antes da conversão de opção de venda.
Aplicar paridade apenas a reivindicações europeias correspondentes e reter resíduos de conversão como diagnósticos de qualidade de dados.
Aplicar limites de preço de chamada, monotonicidade, convexidade e restrições de calendário apropriadas antes da extração.
Use a grade de ataque real; não aplique diferenças de espaçamento igual a intervalos desiguais.
Trate as primeiras diferenças como médias de intervalo, e não como probabilidades digitais exatas de ponto final.
Distinguir unidades de densidade, como probabilidade por dólar, de massa de probabilidade integrada.
Preservar átomos, saltos nos preços digitais e descontinuidades de liquidação específicas de contratos, em vez de suavizá-los silenciosamente.
Relate o domínio de ajuste, nós, pesos, penalidade, extrapolação e suposições de limites.
O espaço de preços de estresse se ajusta às alternativas de espaço de volatilidade, espaço digital e densidade direta.
Repita a extração em conjuntos de dados bid, midpoint, ask e perturbados porque as segundas derivadas ampliam o ruído.
Verifique a não-negatividade, a massa total próxima da unidade, a média consistente direta e a reprecificação das chamadas observadas dentro das tolerâncias.
Trate a falta de strikes nas caudas profundas como extrapolação dependente do modelo e relate a massa de cauda omitida.
Não interprete momentos neutros ao risco como expectativas físicas sem um modelo explícito de prémio de risco.
Separe a arbitragem estática teórica dos preenchimentos executáveis, taxas, financiamento, margem, exercício e risco de liquidação.
Arquivar dados brutos, correções, código, configurações do solucionador, versão de saída, revisão e diagnóstico de incertezas.

Equívocos comuns

“A densidade é a previsão objetiva do mercado.” É uma distribuição sob a medida de apreçamento que incorpora preços de estado e prêmios de risco.
“Uma densidade de 0,04 significa uma chance de 4% nesse preço exato.” A densidade tem unidades de preço inverso e deve ser integrada em um intervalo.
“Diferenças brutas de ponto médio revelam a verdadeira distribuição.” Assincronia, spreads, strikes esparsos e diferenciação numérica podem dominar a curvatura.
“O recorte da densidade negativa resolve o problema.” O recorte ad hoc pode ocultar violações de arbitragem e destruir restrições de reprecificação, massa ou média.
“A fórmula se aplica inalterada a todas as cadeias de opções.” Exercício americano, dividendos discretos, contratos ajustados, convenções de futuros, átomos e regras de liquidação exigem tratamento explícito.

Tópicos relacionados

Fontes confiáveis

Preços de Créditos Contingentes Estatais Implícitos em Preços de Opções - University of Chicago Press; estabelece a relação estado-preço sob seus pressupostos, e não um procedimento empírico de limpeza ou execução.
Distribuições de probabilidade implícitas em opções e retornos em excesso de moeda - Federal Reserve Bank of New York; deriva e aplica densidades implícitas em opções, com escolhas de modelos e dados em vez de regras contratuais de produtos.
Gerando Densidades de Probabilidade Implícitas em Opções para Compreender Eventos do Mercado de Petróleo - Conselho de Governadores do Sistema da Reserva Federal; compara a extração semiparamétrica e a robustez para opções de petróleo, não uma calibração de patrimônio universal.
Recuperação de distribuições de probabilidade de preços de opções - Wiley; apoia a recuperação suave e restrita dos preços das opções sob a sua amostra e método, e não uma distribuição implícita única.
Estimativa Não Paramétrica de Densidades de Preços Estaduais Implícitas em Preços de Ativos Financeiros - Wiley; apoia a estimativa não paramétrica do preço do estado sob suposições declaradas, e não a diferenciação bruta sem largura de banda ou risco de amostragem.
Preços de opções não paramétricas sob restrições de formato - Elsevier; suporta restrições de monotonicidade e convexidade, não uma garantia de que as cotações limpas sejam executáveis.
Características e Riscos das Opções Padronizadas - The Options Clearing Corporation; cobre direitos de opção padronizados, exercício, liquidação e riscos, não estimativa de densidade ou reivindicações sob medida.
Especificações de produto de opções de índice S&P 500 - Cboe Global Markets; estabelece campos de exercício, multiplicador, negociação e liquidação específicos do SPX, e não termos para cada cadeia de opções.