Breeden-Litzenberger 公式：从期权提取风险中性密度

仅供教育参考，不构成投资建议

直接答案

Breeden-Litzenberger 关系从同一到期日、不同执行价的欧式 Call 价格中恢复状态价格信息。若 C(K,T) 是足够平滑的无套利 Call 价格函数，连续复利利率为常数 r，则：

−∂C(K,T)/∂K = e^(−rT) Q(S_T > K)

∂²C(K,T)/∂K² = e^(−rT) f_Q(K)

因此 f_Q(K) = e^(rT) ∂²C/∂K²，其中 f_Q 是风险中性到期价格密度。公式提取的是未来状态的定价，不是现实结果的直接预测。

Call 到期支付为 max(S_T − K, 0)。提高 K 会在期权到期高于执行价时削去一小片支付，因此执行价负一阶导数对应折现的数字 Call 价格或尾部概率；再对尾部概率求导便得到局部密度。

无套利 Call 价格必须随执行价不增加，并保持凸性。凸性意味着 ∂²C/∂K² ≥ 0；负二阶导数意味着负状态价格，通常说明输入不一致，或在理想成交假设下存在蝶式套利。

市场执行价离散，因此实际会拟合满足无套利约束的曲线或曲面，并用有限差分。等间距 ΔK 下：

∂²C/∂K² ≈ [C(K−ΔK) − 2C(K) + C(K+ΔK)] / (ΔK)²

分子是窄 Call 蝶式的价格，其支付集中在中间执行价附近，因此可解释为密度近似。

假设同一期限的同步欧式 Call 报价为：

当 ΔK = $5 时，$100 附近曲率为：

[$8.20 − 2 × $5.00 + $2.80] / $5² = $1.00 / 25 = 每美元 0.04

若折现影响可忽略，局部风险中性密度约为每美元 0.04；利率非零时再乘 e^(rT)。这不是“恰好到 $100”的概率，概率必须对一个价格区间积分。

若中间报价为 $5.60，分子会变为负数。它不证明投资者预期“负概率”，而应先检查陈旧报价、买卖价不一致、美式行权影响或违反套利约束的拟合。