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Breeden-Litzenberger 公式：期权价格的风险中性密度

从欧洲期权价格中提取贴现尾部概率和风险中性密度，同时控制执行网格、套利、平滑和数据风险。

更新于

仅供教育参考，不构成投资建议；投资可能产生损失。

直接回答

对于一个到期日，令 C(K,T) 为足够常规的欧式看涨期权的每标的单位的零时价格，令 D(0,T) 为贴现因子，并令 Q^T 表示与该计价单位相关的定价测度。在匹配结算和无套利条件下，

-partial C(K,T) / partial K = D(0,T) x Q^T(S_T > K)

partial^2 C(K,T) / partial K^2 = D(0,T) x f_Q(K)

在连续点。因此f_Q(K) = [1 / D(0,T)] x partial^2 C / partial K^2。一阶导数是贴现的数字看涨期权价值，二阶导数是贴现的密度，而不是客观预测。如果到期分布有一个离散概率质量，则导数可以跳跃，并且该概率质量不会由该点处的普通平滑密度表示。

机制

  1. 锁定请求权与时间轴。 匹配标的资产、到期日、欧式行权、现金或实物结算、乘数、官方 S_T、报价时间戳、交易时段、币种和公司行动调整状态。美式期权价格或结算条款不匹配的价格不能原样代入。
  2. 统一远期与贴现口径。 估计 D(0,T)、匹配的远期价格、股息、借券成本以及 quanto 或期货结算惯例。只有在请求权匹配时，才能通过 Put-Call 平价把 Put 转换为合成 Call；每标的单位价格也必须与合约美元金额分开。
  3. 清理行权价横截面。 使用同步的买价、卖价、显示数量和可执行条件，剔除明显错误、陈旧或交叉报价。求导前应约束 Call 价格随行权价递减、保持凸性、满足合理上下界及期限一致性。
  4. 拟合无套利曲线。 明确拟合对象是价格、隐含波动率、数字式期权价格还是密度，并记录节点、权重、正则化、外推方法和边界条件。平滑曲线只是估计结果，并非直接观察到的事实。
  5. 按实际网格求导。 等间距为 h 时使用 [C(K-h) - 2C(K) + C(K+h)] / h^2。对于不等距相邻点 K_- < K < K_+，使用 2 x {[(C_+ - C) / (K_+ - K)] - [(C - C_-) / (K - K_-)]} / (K_+ - K_-)。不得把等距公式套用于不规则行权价。
  6. 验证分布约束。 检查密度非负、总概率质量、与远期一致的一阶矩、Call 价格复算、买卖报价敏感性、尾部质量及不同平滑选择下的稳定性。连续密度、离散概率质量和截断的行权价支持域必须分别处理。
  7. 做好版本控制并谨慎解释。 保存期权链快照、清理决策、曲线、代码、求解器和置信区间或敏感性区间。只有通过明确的定价核或风险溢价框架，才能比较风险中性分布与物理测度分布；不得把提取结果直接称为市场预测。

工作示例

  • 等网格密度估计。 一次到期的同步欧式看涨期权有 C(95) = $8.20、C(100) = $5.00 和 C(105) = $2.80。对于 h = $5，100 时的折扣曲率是 [$8.20 - 2 x $5.00 + $2.80] / $5^2 = $1.00 / 25 = 0.04 per dollar。如果为 D(0,T) = 1，则局部风险中性密度估计为 0.04 per dollar；它不是恰好为 100 的 4% 概率。
  • 垂直价差与平均尾部概率。 由 C(100) = $5.00 和 C(105) = $2.80 得到负割线斜率 ($5.00 - $2.80) / $5 = 0.44。它等于 Q^T(S_T > K) 在行权价 100 至 105 区间内的贴现平均值。若 D(0,T) = 0.98，相应的平均风险中性尾部概率为 0.44 / 0.98 = 44.897959%；它并不自动等于任一端点处的尾部概率。
  • 不等距行权价。 设 K_- = 95、K = 100、K_+ = 107，对应 C_- = $8.20、C = $5.00、C_+ = $2.20。左侧斜率为 ($5.00 - $8.20) / 5 = -0.64，右侧斜率为 ($2.20 - $5.00) / 7 = -0.40，不等距网格曲率为 2 x [-0.40 - (-0.64)] / 12 = 0.04 per dollar。此处使用等距网格分母会得到错误结果。
  • 负蝶式曲率诊断。 等距行权价为 95/100/105、价格为 $8.20、$5.60、$2.80 时，分子为 $8.20 - 2 x $5.60 + $2.80 = -$0.20，曲率为 -$0.20 / 25 = -0.008 per dollar。买入两翼并卖出两份中间 Call，可在到期获得非负蝶式支付，同时费用前每单位收取 $0.20，即 $20（M = 100）。只有报价同步、四腿均成交，且融资、费用、行权、结算等摩擦未抵消优势时，这才构成可执行套利。

提取和验证清单

  • 匹配一个精确的到期日、标的资产、行权方式、结算惯例、货币、乘数和官方到期源。
  • 使用同步选项和标的资产时间戳；单独的场地报价、综合数据、最后交易和理论分数。
  • 记录买价、卖价、显示尺寸、交叉或锁定状态、过时标志和可执行包条件。
  • 在采用履约衍生品之前，将合约溢价转换为每标的单位的价格。
  • 估计期限匹配的贴现系数，而不是插入票面收益率或不相关的短期利率。
  • 在看跌期权转换之前协调远期、股息、借券、期货结算、外汇和quanto条款。
  • 仅将Put-Call 平价应用于匹配的欧洲声明，并保留转换残差作为数据质量诊断。
  • 在提取之前强制执行看涨期权价格界限、单调性、凸性和适当的日历限制。
  • 使用实际的行权价网格；不要将等间距差异应用于不等间距。
  • 将一阶差分视为区间平均值，而不是精确的端点数字式期权概率。
  • 区分密度单位，例如每美元的概率与积分概率质量。
  • 保护离散概率质量、数字式期权价格的上涨和特定于合约的结算不连续性，而不是默默地消除它们。
  • 报告拟合域、结、权重、罚分、外推法和边界假设。
  • 强调价格空间与波动空间、数字空间和直接密度替代方案的匹配。
  • 在买价、中点、卖价和扰动的干净数据集上重复提取，因为二阶导数会放大噪声。
  • 验证非负性、近单位总质量、远期一致平均值以及在容差范围内观察到的看涨期权价格复算。
  • 将缺失的深尾行权价视为依赖于模型的外推，并报告遗漏的尾部质量。
  • 如果没有明确的风险溢价模型，请勿将风险中性时刻解释为物理测度预期。
  • 将理论静态套利与可执行的成交、费用、资金、保证金、行使和结算风险分开。
  • 存档原始数据、修正、代码、求解器设置、输出版本、审查和不确定性诊断。

常见的误解

  • “密度是市场的客观预测。” 它是定价测度下的分布，包含状态价格和风险溢价信息。
  • “密度为 0.04 意味着该确切价格的可能性为 4%。” 密度具有反价格单位，并且必须在一个时间间隔内进行积分。
  • “原始中点差异揭示了真实的分布。” 异步、价差、稀疏行权价和数值微分可以主导曲率。
  • “把负密度截为零就能解决问题。” 任意截断可能掩盖套利违背，并破坏价格复算、总质量或均值约束。
  • “该公式不变地适用于每个期权链。” 美式行权、离散股息、调整后的合约、期货惯例、离散概率质量和结算规则需要明确的处理。

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