Формула Бридена-Литценбергера: нейтральная к риску плотность по ценам опционов

Извлекайте дисконтированные хвостовые вероятности и нейтральную к риску плотность из цен европейских опционов, одновременно контролируя сетку страйков, арбитраж, сглаживание и риск данных.

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Прямой ответ

Для одного срока погашения пусть C(K,T) будет нулевой ценой за базовую единицу достаточно регулярного европейского опциона колл, пусть D(0,T) будет коэффициентом дисконтирования и пусть Q^T будет обозначать меру ценообразования, связанную с этим числом. При согласованном расчете и отсутствии арбитража,

-partial C(K,T) / partial K = D(0,T) x Q^T(S_T > K)

partial^2 C(K,T) / partial K^2 = D(0,T) x f_Q(K)

в точках непрерывности. Таким образом, f_Q(K) = [1 / D(0,T)] x partial^2 C / partial K^2. Первая производная — это дисконтированная стоимость цифровых вызовов, а вторая производная — это дисконтированная плотность, а не объективный прогноз. Если в терминальном распределении есть атом, производная может прыгать, и эта вероятностная масса не представлена обычной гладкой плотностью в точке.

Механизм

Заморозить требование и часы. Соответствие базовому активу, сроку действия, европейскому исполнению, наличному или физическому расчету, множителю, официальному S_T, временной метке котировки, сеансу, валюте и состоянию корпоративного действия. Американские цены или несовпадающие расчеты не могут быть вставлены без изменений.
Нормализация форвардов и дисконтирования. Оцените D(0,T), согласованный форвард, дивиденды, займы и любые соглашения о кванто или фьючерсах. Конвертируйте пут-опционы в синтетические колл-опционы только посредством согласованного паритета пут-колл и сохраняйте цену опциона за базовую единицу отдельно от долларов контракта.
Очистите сечение страйка. Используйте синхронизированные бид, аск, размер и исполняемые условия; удалите очевидные ошибки и устаревшие или противоречивые наблюдения. Прежде чем проводить дифференциацию, обеспечьте снижение цен на вызовы, выпуклость, разумные границы и календарную согласованность.
Подбор кривой с учетом арбитража. Выберите, следует ли подгонять цены, подразумеваемую волатильность, цифровые цены или плотность; узлы документа, веса, регуляризация, экстраполяция и граничные условия. Гладкая кривая — это оценка, а не наблюдаемая истина.
Дифференцируйте с фактической сеткой. Для равного интервала h используйте [C(K-h) - 2C(K) + C(K+h)] / h^2. Для неравных соседей K_- < K < K_+ используйте 2 x {[(C_+ - C) / (K_+ - K)] - [(C - C_-) / (K - K_-)]} / (K_+ - K_-). Не применяйте формулу равной сетки к нерегулярным ударам.
Проверьте ограничения распределения. Проверьте неотрицательную плотность, общую массу, согласованный вперед первый момент, переоценку вызовов, чувствительность спроса и предложения, хвостовую массу и стабильность вариантов сглаживания. Отличают непрерывную плотность от дискретных атомов и усеченной ударной поддержки.
Версируйте и интерпретируйте осторожно. Сохраняйте снимок цепочки, решения по очистке, кривые, код, решатель, а также доверительные интервалы или диапазоны чувствительности. Сравнивайте нейтральное к риску и физическое распределение только с помощью четкой структуры ценообразования или премии за риск; не называйте полученную кривую прогнозом рынка.

Рабочие примеры

Оценка плотности равной сетки. Синхронизированные европейские коллы с одним сроком действия имеют C(95) = $8.20, C(100) = $5.00 и C(105) = $2.80. При использовании h = $5 кривизна со скидкой при значении 100 равна [$8.20 - 2 x $5.00 + $2.80] / $5^2 = $1.00 / 25 = 0.04 per dollar. Если D(0,T) = 1, то локальная нейтральная к риску оценка плотности равна 0.04 per dollar; это не вероятность 4% ровно 100.
Вертикальный разброс и средняя вероятность хвоста. Для C(100) = $5.00 и C(105) = $2.80 отрицательный секущий наклон равен ($5.00 - $2.80) / $5 = 0.44. Он равен дисконтированному среднему значению Q^T(S_T > K) по страйкам от 100 до 105. Если D(0,T) = 0.98, соответствующая средняя вероятность нейтрального к риску хвоста равна 0.44 / 0.98 = 44.897959%; это не автоматически хвостовая вероятность в любой конечной точке.
Неодинаковое расстояние между страйками. Пусть K_- = 95, K = 100, K_+ = 107, с C_- = $8.20, C = $5.00 и C_+ = $2.20. Левый наклон — ($5.00 - $8.20) / 5 = -0.64, правый склон — ($2.20 - $5.00) / 7 = -0.40, а кривизна неравномерной сетки — 2 x [-0.40 - (-0.64)] / 12 = 0.04 per dollar. Знаменатель равной сетки здесь был бы неправильным.
Отрицательная диагностика бабочки. При равных страйках 95/100/105 и ценах $8.20, $5.60 и $2.80 числитель равен $8.20 - 2 x $5.60 + $2.80 = -$0.20, поэтому кривизна равна -$0.20 / 25 = -0.008 per dollar. Покупка крыльев и продажа двух средних коллов дает неотрицательный терминальный выигрыш-бабочка при получении $0.20 за единицу или $20 по M = 100 до учета затрат. Это осуществимый арбитраж только в том случае, если котировки синхронизированы, все ветки заполнены, а финансирование, комиссии, исполнение, расчеты и другие трения не отменяют его.

Контрольный список извлечения и проверки

Сопоставьте один точный срок действия, базовый актив, стиль исполнения, соглашение о расчетах, валюту, множитель и официальный источник терминала.
Использовать синхронизированную опцию и соответствующие временные метки; отдельные котировки площадок, консолидированные данные, последние сделки и теоретические оценки.
Записывайте ставку, спрос, отображаемый размер, статус пересечения или блокировки, устаревшие флаги и условия исполняемого пакета.
Конвертируйте премии по контрактам в цены за базовую единицу, прежде чем брать страйк-деривативы.
Оцените коэффициент дисконтирования, соответствующий сроку погашения, вместо того, чтобы вводить номинальную доходность или несвязанную короткую ставку.
Согласуйте форварды, дивиденды, займы, расчеты по фьючерсам, валютные условия и условия кванто перед конверсией пут-колл.
Применять паритет только к совпадающим европейским заявкам и сохранять остатки конверсии в качестве диагностики качества данных.
Обеспечьте соблюдение границ цены вызова, монотонности, выпуклости и соответствующих календарных ограничений перед извлечением.
Используйте фактическую сетку ударов; не применяйте равноудаленные различия к неравным интервалам.
Считайте первые различия средними интервалами, а не точными цифровыми вероятностями конечной точки.
Отличать единицы плотности, такие как вероятность на доллар, от интегрированной вероятностной массы.
Сохранять атомы, скачки цифровых цен и разрывы в расчетах по конкретным контрактам, а не сглаживать их молча.
Сообщите о подходящей области, узлах, весах, штрафах, экстраполяции и граничных предположениях.
Пространство стрессовых цен сочетается с пространством волатильности, цифровым пространством и альтернативами прямой плотности.
Повторите извлечение при покупке, средней точке, аске и возмущенных чистых наборах данных, поскольку вторые производные увеличивают шум.
Проверьте неотрицательность, близкую к единице общую массу, прямое согласованное среднее значение и переоценку наблюдаемых вызовов в пределах допусков.
Рассматривайте пропущенные удары глубокого хвоста как экстраполяцию, зависящую от модели, и сообщайте о пропущенной массе хвоста.
Не интерпретируйте нейтральные к риску моменты как физические ожидания без явной модели премии за риск.
Отделите теоретический статический арбитраж от исполняемых исполнений, комиссий, финансирования, маржи, исполнения и расчетного риска.
Архивирование необработанных данных, исправлений, кода, настроек решателя, выходной версии, просмотра и диагностики неопределенности.

Распространенные заблуждения

“Плотность - это объективный прогноз рынка”. Это распределение ценообразования, включающее в себя государственные цены и премии за риск.
“Плотность 0,04 означает вероятность 4% по этой точной цене”. Плотность имеет обратные единицы цены и должна быть интегрирована по интервалу.
“Необработанные различия в средних точках показывают истинное распределение”. Асинхронность, разбросы, редкие удары и численная дифференциация могут доминировать над кривизной.
“Отсечение отрицательной плотности решает проблему”. Специальное отсечение может скрыть арбитражные нарушения и разрушить ограничения на переоценку, массу или средние значения.
“Формула применяется без изменений к каждой цепочке опционов”. Американское исполнение, дискретные дивиденды, скорректированные контракты, фьючерсные соглашения, атомы и правила расчетов требуют четкого рассмотрения.

Авторитетные источники

[Цены условных требований штата, подразумеваемых в ценах опционов] (https://doi.org/10.1086/296025) - University of Chicago Press; устанавливает соотношение цены и государства согласно своим предположениям, а не эмпирическую процедуру очистки или исполнения.
[Распределение вероятностей, подразумеваемых опционом, и избыточная доходность валюты] (https://resources.newyorkfed.org/medialibrary/media/research/staff_reports/sr32.pdf) - Федеральный резервный банк Нью-Йорка; выводит и применяет подразумеваемые опционами плотности с выбором модели и данных, а не договорных правил продукта.
[Создание подразумеваемых плотностей вероятности опционов для понимания событий на рынке нефти] (https://www.federalreserve.gov/econres/ifdp/generating-options-implied-probability-densities-to-understand-oil-market-events.htm) - Совет управляющих Федеральной резервной системы; сравнивает полупараметрическую экстракцию и надежность вариантов нефти, а не универсальную калибровку собственного капитала.
[Восстановление вероятностных распределений по ценам опционов] (https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1996.tb05219.x) - Wiley; поддерживает ограниченное плавное восстановление цен опционов в рамках своего образца и метода, а не уникальное подразумеваемое распределение.
[Непараметрическая оценка плотности государственных цен, заложенной в ценах финансовых активов] (https://doi.org/10.1111/0022-1082.215228) - Wiley; поддерживает непараметрическую оценку государственных цен при заявленных предположениях, а не необработанную дифференциацию без риска использования полосы пропускания или выборки.
Непараметрическое ценообразование опционов при ограничениях формы - Elsevier; поддерживает ограничения монотонности и выпуклости, но не гарантирует, что очищенные кавычки будут исполняемыми.
[Характеристики и риски стандартизированных опционов] (https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - Опционная клиринговая корпорация; охватывает права на стандартизированные опционы, исполнение, расчеты и риски, а не оценку плотности или индивидуальные претензии.
Спецификации опционов на индекс S&P 500 - Cboe Global Markets; устанавливает специфичные для SPX поля исполнения, множителя, торговли и расчетов, а не условия для каждой цепочки опционов.