Fórmula de Breeden-Litzenberger: densidad neutral al riesgo a partir de los precios de las opciones

Extraiga probabilidades de cola descontadas y densidad neutral al riesgo de los precios de opciones europeas mientras controla las grillas de ejercicio, el arbitraje, el suavizado y el riesgo de datos.

Solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversión. Invertir puede ocasionar pérdidas.

Respuesta directa

Para un vencimiento, supongamos que C(K,T) sea el precio de tiempo cero por unidad subyacente de una opción de compra europea suficientemente regular, que D(0,T) sea el factor de descuento y que Q^T denote la medida de precios asociada con ese numerario. Bajo condiciones de liquidación igualada y sin arbitraje,

-partial C(K,T) / partial K = D(0,T) x Q^T(S_T > K)

partial^2 C(K,T) / partial K^2 = D(0,T) x f_Q(K)

en puntos de continuidad. Así f_Q(K) = [1 / D(0,T)] x partial^2 C / partial K^2. La primera derivada es un valor de llamada digital descontado y la segunda derivada es una densidad descontada, no un pronóstico objetivo. Si la distribución terminal tiene un átomo, la derivada puede saltar y esa masa de probabilidad no está representada por una densidad suave ordinaria en el punto.

Mecanismo

Congele el reclamo y registre. Coincidencia subyacente, vencimiento, ejercicio europeo, liquidación en efectivo o física, multiplicador, S_T oficial, marca de tiempo de cotización, sesión, moneda y estado de acción corporativa. Los precios americanos o las liquidaciones no coincidentes no se pueden insertar sin cambios.
Normalizar forwards y descuentos. Calcule D(0,T), el forward igualado, dividendos, préstamos y cualquier convención de cuantos o futuros. Convierta las opciones de venta en opciones de compra sintéticas solo mediante la paridad de opciones de compra y venta igualadas y mantenga el precio de la opción por unidad subyacente separado de los dólares del contrato.
Limpiar la sección transversal de la huelga. Utilice oferta, demanda, tamaño y condiciones ejecutables sincronizadas; eliminar errores obvios y observaciones obsoletas o cruzadas. Haga cumplir los precios de compra decrecientes, la convexidad, los límites sensibles y la coherencia del calendario antes de diferenciarse.
Ajustar una curva basada en el arbitraje. Elija si desea ajustar los precios, la volatilidad implícita, los precios digitales o una densidad; documentar nudos, pesos, regularización, extrapolación y condiciones de contorno. Una curva suave es un estimador, no una verdad observada.
Diferenciar con la rejilla real. Para espacios iguales h, utilice [C(K-h) - 2C(K) + C(K+h)] / h^2. Para vecinos desiguales K_- < K < K_+, utilice 2 x {[(C_+ - C) / (K_+ - K)] - [(C - C_-) / (K - K_-)]} / (K_+ - K_-). No aplique la fórmula de cuadrícula igual a huelgas irregulares.
Validar restricciones de distribución. Verifique la densidad no negativa, la masa total, el primer momento consistente hacia adelante, la revisión de precios de compra, la sensibilidad de oferta y demanda, la masa de cola y la estabilidad en todas las opciones de suavizado. Distinga una densidad continua de átomos discretos y un soporte de impacto truncado.
Verifique e interprete con cautela. Almacene la instantánea de la cadena, las decisiones de limpieza, las curvas, el código, el solucionador y las bandas de confianza o sensibilidad. Comparar las distribuciones físicas y neutrales al riesgo sólo a través de un marco explícito de fijación de precios o de prima de riesgo; No etiquete la curva extraída como una predicción del mercado.

Ejemplos resueltos

Estimación de densidad de red igual. Las llamadas europeas sincronizadas con un vencimiento tienen C(95) = $8.20, C(100) = $5.00 y C(105) = $2.80. Con h = $5, la curvatura descontada en 100 es [$8.20 - 2 x $5.00 + $2.80] / $5^2 = $1.00 / 25 = 0.04 per dollar. Si es D(0,T) = 1, la estimación local de densidad neutral al riesgo es 0.04 per dollar; no es una probabilidad 4% de exactamente 100.
spread vertical y probabilidad de cola promedio. De C(100) = $5.00 y C(105) = $2.80, la pendiente secante negativa es ($5.00 - $2.80) / $5 = 0.44. Equivale al promedio descontado de Q^T(S_T > K) sobre los strikes 100 a 105. Si es D(0,T) = 0.98, la probabilidad de cola neutral al riesgo promedio correspondiente es 0.44 / 0.98 = 44.897959%; no es automáticamente la probabilidad de cola en ninguno de los puntos finales.
Espaciado desigual de golpes. Sean K_- = 95, K = 100, K_+ = 107, con C_- = $8.20, C = $5.00 y C_+ = $2.20. La pendiente izquierda es ($5.00 - $8.20) / 5 = -0.64, la pendiente derecha es ($2.20 - $5.00) / 7 = -0.40 y la curvatura de cuadrícula desigual es 2 x [-0.40 - (-0.64)] / 12 = 0.04 per dollar. El denominador de cuadrícula igual estaría equivocado aquí.
Diagnóstico de mariposa negativo. Con strikes iguales 95/100/105 y precios $8.20, $5.60 y $2.80, el numerador es $8.20 - 2 x $5.60 + $2.80 = -$0.20, por lo que la curvatura es -$0.20 / 25 = -0.008 per dollar. Comprar las alas y vender dos llamadas intermedias produce un pago de mariposa terminal no negativo al recibir $0.20 por unidad, o $20 a M = 100, antes de costos. Este es un arbitraje ejecutable sólo si las cotizaciones están sincronizadas, todos los tramos se llenan y el financiamiento, las tarifas, el ejercicio, la liquidación y otras fricciones no lo anulan.

Lista de verificación de extracción y validación

Haga coincidir un vencimiento exacto, subyacente, estilo de ejercicio, convención de liquidación, moneda, multiplicador y fuente de terminal oficial.
Utilice la opción sincronizada y las marcas de tiempo subyacentes; cotizaciones de lugares separados, datos consolidados, últimas operaciones y calificaciones teóricas.
Registrar oferta, demanda, tamaño mostrado, estado cruzado o bloqueado, indicadores obsoletos y condiciones de paquete ejecutables.
Convertir las primas de contrato a precios por unidad subyacente antes de contratar derivados de ejercicio.
Estimar el factor de descuento igualado por vencimiento en lugar de insertar un rendimiento a la par o una tasa corta no relacionada.
Conciliar términos a plazo, dividendos, préstamos, liquidación de futuros, divisas y términos cuánticos antes de la conversión de opción de venta.
Aplicar la paridad únicamente a las reclamaciones europeas coincidentes y conservar los residuos de conversión como diagnóstico de calidad de los datos.
Hacer cumplir los límites de los precios de compra, la monotonicidad, la convexidad y las restricciones de calendario apropiadas antes de la extracción.
Utilice la cuadrícula de huelga real; no aplique diferencias de espaciado igual a intervalos desiguales.
Trate las primeras diferencias como promedios de intervalo, no como probabilidades digitales de punto final exactas.
Distinguir unidades de densidad como la probabilidad por dólar de la masa de probabilidad integrada.
Preservar los átomos, los saltos en los precios digitales y las discontinuidades en la liquidación de contratos específicos en lugar de suavizarlos silenciosamente.
Informar el dominio de ajuste, nudos, pesos, penalización, extrapolación y supuestos de límites.
El espacio de precios de tensión encaja con las alternativas de espacio de volatilidad, espacio digital y densidad directa.
Repita la extracción en conjuntos de datos limpios de oferta, punto medio, demanda y perturbados porque las segundas derivadas magnifican el ruido.
Verificar la no negatividad, la masa total casi unitaria, la media consistente hacia adelante y la revisión de precios de las llamadas observadas dentro de las tolerancias.
Trate los impactos de cola profunda faltantes como una extrapolación dependiente del modelo e informe la masa de cola omitida.
No interpretar los momentos neutrales al riesgo como expectativas físicas sin un modelo explícito de prima de riesgo.
Separar el arbitraje estático teórico de los riesgos ejecutables, tarifas, financiación, margen, ejercicio y liquidación.
Archivar datos sin procesar, correcciones, código, configuración del solucionador, versión de salida, revisión y diagnóstico de incertidumbre.

Conceptos erróneos comunes

“La densidad es la previsión objetiva del mercado”. Es una distribución de medidas de precios que incorpora los precios estatales y las primas de riesgo.
“Una densidad de 0,04 significa una probabilidad del 4 % de ese precio exacto”. La densidad tiene unidades de precio inverso y debe integrarse en un intervalo.
“Las diferencias brutas de los puntos medios revelan la verdadera distribución”. La asincronía, los diferenciales, los strikes dispersos y la diferenciación numérica pueden dominar la curvatura.
“Recortar la densidad negativa resuelve el problema”. El recorte ad hoc puede ocultar violaciones de arbitraje y destruir restricciones de revisión de precios, masivas o medias.
“La fórmula se aplica sin cambios a todas las cadenas de opciones”. El ejercicio estadounidense, los dividendos discretos, los contratos ajustados, las convenciones de futuros, los átomos y las reglas de liquidación requieren un tratamiento explícito.

Temas relacionados

Fuentes autorizadas

Precios de derechos contingentes al Estado implícitos en los precios de las opciones - University of Chicago Press; establece la relación estado-precio bajo sus supuestos, no un procedimiento empírico de limpieza o ejecución.
Distribuciones de probabilidad implícitas en opciones y rendimientos en exceso de divisas - Banco de la Reserva Federal de Nueva York; deriva y aplica densidades implícitas en opciones, con opciones de modelo y datos en lugar de reglas contractuales de producto.
Generación de densidades de probabilidad implícitas en opciones para comprender los acontecimientos del mercado petrolero - Junta de Gobernadores del Sistema de la Reserva Federal; compara la extracción semiparamétrica y la robustez de las opciones petroleras, no una calibración universal de acciones.
Recuperación de distribuciones de probabilidad a partir de precios de opciones - Wiley; respalda una recuperación fluida y limitada de los precios de las opciones según su muestra y método, no una distribución implícita única.
Estimación no paramétrica de las densidades de precios estatales implícitas en los precios de los activos financieros - Wiley; respalda la estimación no paramétrica del precio estatal bajo supuestos establecidos, no la diferenciación bruta sin ancho de banda o riesgo de muestreo.
Precio de opciones no paramétricas bajo restricciones de forma - Elsevier; admite restricciones de monotonicidad y convexidad, no es una garantía de que las comillas limpias sean ejecutables.
Características y riesgos de las opciones estandarizadas - The Options Clearing Corporation; cubre derechos, ejercicio, liquidación y riesgos de opciones estandarizadas, no estimaciones de densidad ni reclamaciones personalizadas.
Especificaciones de productos de opciones de índice S&P 500 - Cboe Global Markets; establece campos de ejercicio, multiplicador, negociación y liquidación específicos de SPX, no términos para cada cadena de opciones.