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Optionsreplizierende Portfolios: Zustandsauszahlungen und arbitragefreier Wert

Erstellen Sie eine Ein-Perioden-Optionsreplik aus Aktien und Krediten, überprüfen Sie jeden Endzustand und verstehen Sie, warum echte dynamische Absicherungen vom Modell abweichen.

Aktualisiert

Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen.

Direkte Antwort

Ein replizierendes Portfolio kombiniert gehandelte Instrumente so, dass seine Auszahlung in jedem Modellzustand der Optionsauszahlung entspricht. In einem einperiodigen Binomialmodell lässt sich eine europäische Option mit Aktie und risikofreiem Kredit exakt nachbilden. Bei identischen zustandsabhängigen Auszahlungen verlangt das Gesetz des einheitlichen Preises heute denselben Wert; andernfalls ließe sich die günstigere Auszahlung kaufen und die teurere verkaufen.

Dies ist ein bedingtes Preisergebnis. Die genaue Replikation hängt von den Zuständen des Modells, den Handelsmöglichkeiten, der Finanzierung, den Ausschüttungen, den Vertragsbedingungen und den Annahmen für eine reibungslose Ausführung ab. In einem realen Markt mit Sprüngen, Spreads, diskreter Absicherung, Kreditlimits und vorzeitiger Ausübung (englisch: exercise) ist eine Absicherung normalerweise nur annähernd.

Zustandsauszahlungen lösen, keine Formel auswendig lernen

Der heutige Aktienkurs sei S0, am nächsten Termin beträgt er Su oder Sd, wobei Su > Sd gilt. Die Option zahlt Cu oder Cd; R ist der risikofreie Bruttowachstumsfaktor. Unterstellt wird keine zwischenzeitliche Barausschüttung der Aktie; andernfalls ist dieser Zahlungsstrom konsistent einzubeziehen. Ein Portfolio aus Δ Aktien und dem heutigen Kassenbestand B0 hat folgende Endwerte:

Δ × Su + B0 × R = Cu

Δ × Sd + B0 × R = Cd

Das Subtrahieren der Gleichungen ergibt:

Δ = (Cu - Cd) / (Su - Sd)

Dann:

B0 = (Cu - Δ × Su) / R

option value today = Δ × S0 + B0

Ein negativer Wert B0 bedeutet Kreditaufnahme. Die Berechnung muss beide Endzustände verifizieren. Eine bloße Übereinstimmung mit einer erwarteten Auszahlung ist keine Replikation.

Vor der Optionsbewertung ist zu prüfen, ob der Markt aus Aktie und Kasse selbst folgende Bedingung erfüllt:

Sd < R × S0 < Su

Dies ist gleichbedeutend damit, dass das folgende risikoneutrale Gewicht 0 < q < 1 erfüllt. Andernfalls enthält das Modell bereits eine Arbitrage zwischen Aktie und Kasse. Gilt die Bedingung, lässt sich der Replikationspreis wie folgt gegenprüfen:

q = (R × S0 - Sd) / (Su - Sd)

option value = [q × Cu + (1 - q) × Cd] / R

Bei diesem q handelt es sich um eine Preisgewichtung, die durch das Fehlen von Arbitrage innerhalb des Modells impliziert wird, und nicht unbedingt um eine Prognose der realen Wahrscheinlichkeit einer Aufwärtsbewegung.

In einem Mehrperiodenbaum wird das Portfolio an jedem Knoten neu aufgelöst. Eine selbstfinanzierende Absicherung verändert Aktien- und Bargeldbestände nur unter Verwendung des bereits in der Strategie enthaltenen Werts, ohne ungeklärte externe Ein- oder Auszahlungen. Zeitkontinuierliche Optionsmodelle idealisieren diese Neuausrichtung; Echte Absicherungen sind diskret.

Replikation eines Calls über eine Periode

Angenommen:

  • S0 = US$100;
  • Der Bestand der nächsten Periode ist Su = US$120 oder Sd = US$80;
  • Eine europäische Kaufoption (Call) hat den Strike US$100, also Cu = US$20 und Cd = US$0;
  • Der risikofreie Bruttofaktor der Periode beträgt R = 1.02.

Aktienbestand:

Δ = (US$20 - US$0) / (US$120 - US$80) = 0.5 share

Aktueller Kassenbestand:

B0 = (US$20 - 0.5 × US$120) / 1.02 = -US$39.2157

Replikatkosten:

0.5 × US$100 - US$39.2157 = US$10.7843

Überprüfen Sie jeden Status:

Zustand Aktienkomponente Barrückzahlung Portfolio-Auszahlung Call-Auszahlung
Oben 60 $ -40 $ 20 $ 20 $
Unten 40 $ -40 $ US$0 US$0

Risikoneutraler Gegencheck:

q = (1.02 × US$100 - US$80) / (US$120 - US$80) = 0.55

[US$20 × 0.55 + US$0 × 0.45] / 1.02 = US$10.7843

Zur Einordnung: Verwendet der Anspruch einen Multiplikator von 100 Aktien, beträgt der Modellwert US$1,078.43 je Kontrakt; die anfängliche Aktienkomponente umfasst 50 Aktien und steht einer Modellkreditaufnahme von US$3,921.57 gegenüber. Standardisierte US-Aktienoptionen beziehen sich gewöhnlich auf 100 Aktien, doch Kapitalmaßnahmen können den Liefergegenstand ändern. Dies sind weiterhin theoretische Größen vor Spreads, Finanzierung, Margin, Gebühren, Ausschüttungen und Ganzzahligkeitsbeschränkungen.

Wenn der Market Kaufoption (Call) bei US$11.20 angeboten wird, handelt es sich bei der Lücke von US$0.4157 aus der reibungslosen Nachbildung nicht automatisch um eine handelbare Arbitrage. Sowohl Option als auch Absicherung müssen bei relevanten Seiten und Größen ausführbar sein; Finanzierung, Aktienleihe, Ausübungsart, Dividenden und Abwicklungskosten müssen berücksichtigt werden.

Replikationsgrenzen und -risiken

  • Zustandsmodellrisiko: Der tatsächliche Bestand kann außerhalb oder zwischen angenommenen Zweigen enden.
  • Sprungrisiko: Preise können sich bewegen, bevor die Absicherung neu ausbalanciert wird.
  • Risiko der diskreten Absicherung: Eine kontinuierliche Anpassung ist in der Praxis nicht möglich.
  • Transaktionskosten: Wiederholter Handel, Spreads, Gebühren und Marktauswirkungen verbrauchen den theoretischen Wert.
  • Finanzierungsrisiko: Die Kredit- und Kreditzinsen des Händlers weichen vom Modellzinssatz ab.
  • Dividenden- und Kreditrisiko: Ausschüttungen und Aktienverfügbarkeit verändern die wirtschaftlichen Rahmenbedingungen.
  • Risiko einer frühen Ausübung (englisch: exercise): Eine amerikanische Option erfordert Ausübungsentscheidungen an Zwischenknoten.
  • Volatilitätsoberflächenrisiko: Realoptionen über alle Strikes und Laufzeiten hinweg folgen keinem festen Volatilitätseingang.
  • Liquiditätsrisiko: Die Option oder Absicherung wird möglicherweise nicht im erforderlichen Umfang und zur erforderlichen Zeit gehandelt.
  • Vertragsrisiko: Multiplikator, Liefergegenstand, Barausgleich und Anpassungen müssen mit der modellierten Auszahlung übereinstimmen.
  • Modell-Arbitrage-Verwirrung: Eine theoretische Preisdifferenz ist kein risikolos ausführbarer Handel.

Häufige Irrtümer

  • „Replikation entspricht der durchschnittlichen Auszahlung.“ Sie muss mit jedem modellierten Zustand übereinstimmen.
  • „Delta bleibt bis zum Ablauf bei 0,5.“ In einem Mehrperioden- oder Live-Markt ändert sich Delta und erfordert eine Neuausrichtung.
  • „Risikoneutrale Wahrscheinlichkeit ist die wahre Wahrscheinlichkeit.“ Es handelt sich um eine Preisgewichtung unter Modellannahmen.
  • „Die Replik eliminiert alle Risiken.“ Modell-, Sprung-, Ausführungs-, Finanzierungs- und Vertragsrisiken bleiben bestehen.
  • „Ein theoretischer Unterschied ist die freie Arbitrage.“ Alle Strecken, Größen, Zeitpunkte, Finanzierungen und Kosten müssen ausführbar sein.
  • „Kreditaufnahme ist nur eine Notation.“ Es handelt sich um eine wirtschaftliche Bargeldposition mit Finanzierungs- und Margenbeschränkungen.
  • „Europäische und amerikanische Optionen replizieren identisch.“ Eine frühe Ausübung verändert das Bewertungsproblem.
  • „Eine Replikation in einer Periode beweist, dass eine kontinuierliche Absicherung genau funktioniert.“ Die tatsächliche Neuausrichtung erfolgt diskret und pfadabhängig.

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Maßgebliche Quellen

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