Breeden-Litzenberger公式：オプションからリスク中立密度を抽出する

教育目的のみであり、投資助言ではありません

直接的な答え

Breeden-Litzenberger関係は同一満期、複数行使価格の欧州型コールから状態価格情報を復元します。C(K,T) が滑らかな無裁定価格関数、連続複利金利が r なら：

−∂C(K,T)/∂K = e^(−rT) Q(S_T > K)

∂²C(K,T)/∂K² = e^(−rT) f_Q(K)

したがって f_Q(K) = e^(rT) ∂²C/∂K² です。f_Q はリスク中立満期価格密度で、現実の直接予測ではありません。

コールの満期ペイオフは max(S_T − K, 0) です。K を上げると満期価格が行使価格を超える状態のペイオフを薄く削るため、負の一階微分は割引デジタル価格またはテール確率に対応します。さらに微分すると局所密度になります。

無裁定コール価格は行使価格に対して非増加かつ凸、つまり ∂²C/∂K² ≥ 0 です。負の二階微分は負の状態価格で、入力不整合または理想的執行下のバタフライ裁定を示します。

市場の行使価格は離散的なので、無裁定制約付き曲線を当てはめ、等間隔 ΔK では：

∂²C/∂K² ≈ [C(K−ΔK) − 2C(K) + C(K+ΔK)] / (ΔK)²

分子は狭いコール・バタフライ価格で、ペイオフが中央行使価格付近に集中するため密度近似になります。

同一満期の同期コール価格を次とします。

ΔK = $5 なら $100 付近の曲率は：

[$8.20 − 2 × $5.00 + $2.80] / $5² = $1.00 / 25 = 1ドル当たり0.04

割引を無視すれば局所リスク中立密度は約1ドル当たり0.04、金利があれば e^(rT) を掛けます。これはちょうど $100 になる確率ではなく、確率は価格区間で積分します。

中央価格が $5.60 なら分子は負です。負確率と解釈せず、古い気配、Bid/Ask不整合、米国型行使、裁定違反の当てはめを調べます。