教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資では損失が生じる可能性があります。
直接の答え
ある満期について、C(K,T) を十分に正則なヨーロピアン・コールの原資産1単位当たりの時点0価格、D(0,T) を割引係数、Q^T をそのニュメレールに対応する価格付け測度とします。決済条件が一致し、裁定機会がない場合、
-partial C(K,T) / partial K = D(0,T) x Q^T(S_T > K)
partial^2 C(K,T) / partial K^2 = D(0,T) x f_Q(K)
が連続点で成立します。したがって、f_Q(K) = [1 / D(0,T)] x partial^2 C / partial K^2 です。一次導関数は割引デジタル・コール価値、二次導関数は割引密度であり、客観的な予測ではありません。終端分布に原子があれば導関数は跳ぶことがあり、その確率質量は当該点の通常の滑らかな密度では表せません。
メカニズム
- 請求権と時間軸を固定します。 原資産、満期、ヨーロピアン行使、現金または現物決済、乗数、公式
S_T、気配のタイムスタンプ、取引セッション、通貨、コーポレートアクションの状態を照合します。アメリカン・オプション価格や決済条件の異なる価格を、そのまま代入してはいけません。 - 先物と割引を正規化します。
D(0,T)、一致する先物、配当、借入、および任意のクアントまたは先物規約を推定します。一致するプットとコールのパリティを通じてのみプットを合成コールに変換し、原単位ごとのオプション価格を契約ドルとは別に保ちます。 - ストライク断面をクリーニングします。 同期したビッド、アスク、表示数量、執行可能条件を使い、明白な誤り、古い気配、クロスした観測値を除きます。微分する前に、コール価格の単調減少、凸性、妥当な価格境界、カレンダー整合性を課します。
- 裁定取引を意識した曲線を当てはめます。 価格、暗黙のボラティリティ、デジタル価格、密度のいずれを当てはめるかを選択します。ノット、重み、正則化、外挿、境界条件を文書化します。滑らかな曲線は推定値であり、観察された真実ではありません。
- 実際のグリッドで微分します。 等間隔の
hでは[C(K-h) - 2C(K) + C(K+h)] / h^2を使います。不等間隔の隣接点K_- < K < K_+では2 x {[(C_+ - C) / (K_+ - K)] - [(C - C_-) / (K - K_-)]} / (K_+ - K_-)を使います。不規則なストライクに等間隔グリッドの式を適用してはいけません。 - 分布制約を検証します。 非負密度、総確率質量、フォワードと整合する一次モーメント、コールの再価格付け、ビッド・アスク感応度、テール質量、平滑化手法を変えたときの安定性を確認します。連続密度、離散的な原子、切り詰められたストライク範囲を区別します。
- 版管理し、慎重に解釈します。 オプションチェーンのスナップショット、クリーニング判断、曲線、コード、ソルバー、信頼帯または感応度帯を保存します。リスク中立分布と現実確率分布は、明示的な価格付けカーネルまたはリスクプレミアム枠組みを介してのみ比較し、抽出曲線を市場予測と表示しないでください。
実際に動作した例
- 等しいグリッド密度の推定。 有効期限が 1 つある同期ヨーロッパ コールには、
C(95) = $8.20、C(100) = $5.00、およびC(105) = $2.80があります。h = $5の場合、100 での割引曲率は[$8.20 - 2 x $5.00 + $2.80] / $5^2 = $1.00 / 25 = 0.04 per dollarです。D(0,T) = 1の場合、ローカルのリスク中立密度推定値は0.04 per dollarです。ちょうど 100 の4%確率ではありません。 - バーティカル・スプレッドと平均テール確率。
C(100) = $5.00とC(105) = $2.80から、負の割線勾配は($5.00 - $2.80) / $5 = 0.44です。これは、ストライク100から105にわたるQ^T(S_T > K)の割引平均に等しくなります。D(0,T) = 0.98なら、対応する平均リスク中立テール確率は0.44 / 0.98 = 44.897959%です。いずれかの端点におけるテール確率そのものではありません。 - 不等ストライク間隔
K_- = 95、K = 100、K_+ = 107、C_- = $8.20、C = $5.00、およびC_+ = $2.20とします。左側の傾斜は($5.00 - $8.20) / 5 = -0.64、右側の傾斜は($2.20 - $5.00) / 7 = -0.40、不等格子曲率は2 x [-0.40 - (-0.64)] / 12 = 0.04 per dollarです。ここでは、等しいグリッドの分母は間違っています。 - 負のバタフライ診断。 95/100/105 の等間隔行使価格で価格が
$8.20、$5.60、$2.80なら、分子は$8.20 - 2 x $5.60 + $2.80 = -$0.20、曲率は-$0.20 / 25 = -0.008 per dollarです。両翼を買い中央Callを2枚売ると、費用前に1単位当たり$0.20、すなわち$20（M = 100）を受け取りながら、満期ペイオフは非負になります。これは気配が同期し、全レッグが約定し、資金調達、手数料、行使、決済その他の摩擦で優位性が失われない場合にのみ実行可能な裁定です。
抽出と検証のチェックリスト
- 有効期限、原資産、行使スタイル、決済規約、通貨、乗数、および公式ターミナルソースを 1 つ正確に照合します。
- 同期オプションと基礎となるタイムスタンプを使用します。個別の会場相場、統合データ、最後の取引、理論上のマーク。
- 買値、売値、表示サイズ、クロスまたはロック状態、古いフラグ、および実行可能パッケージの状態を記録します。
- 権利行使デリバティブを取得する前に、契約プレミアムを原単位あたりの価格に変換します。
- 額面利回りや無関係な短期金利を挿入するのではなく、満期に一致する割引率を推定します。
- プットコール変換前に、先物、配当、借入、先物決済、FX、およびクアント条件を調整します。
- 一致する欧州の主張にのみパリティを適用し、変換残差をデータ品質診断として保持します。
- コール価格の境界、単調性、凸性、および抽出前に適切なカレンダー制限を適用します。
- 実際のストライクグリッドを使用します。等間隔の差を不等間隔に適用しないでください。
- 最初の差を正確なエンドポイントのデジタル確率ではなく、間隔の平均として扱います。
- 統合確率質量から 1 ドルあたりの確率などの密度単位を区別します。
- アトム、デジタル価格の高騰、契約特有の決済の不連続性を黙って取り除くのではなく、保存します。
- フィッティングドメイン、ノット、重み、ペナルティ、外挿、および境界の仮定をレポートします。
- ストレス価格空間は、ボラティリティ空間、デジタル空間、および直接密度の代替案に適合します。
- 二次導関数はノイズを拡大するため、買値、中間点、売値、および摂動されたクリーンなデータセットで抽出を繰り返します。
- 非負性、ほぼ単位の総質量、前方一貫性のある平均、および許容範囲内で観察されたコールの再価格設定を検証します。
- 欠落したディープテールストライクをモデル依存の外挿として扱い、省略されたテール質量を報告します。
- 明示的なリスクプレミアムモデルなしに、リスク中立の瞬間を物理的な期待として解釈しないでください。
- 理論上の静的アービトラージを実行可能な約定、手数料、資金調達、証拠金、権利行使、決済リスクから分離します。
- 生データ、修正、コード、ソルバー設定、出力バージョン、レビュー、および不確実性診断をアーカイブします。
よくある誤解
- 「密度は市場の客観的な予測です。」 これは状態価格とリスクプレミアムを織り込んだ価格付け測度上の分布です。
- 「密度 0.04 は、その正確な価格での確率が 4% であることを意味します。」 密度には逆価格単位があり、一定の間隔で積分する必要があります。
- 「生の中点の差が真の分布を明らかにします。」 非同期性、スプレッド、まばらなストライク、および数値微分が曲率を支配する可能性があります。
- 「負の密度をクリッピングすると問題は解決します。」 アドホック クリッピングは裁定違反を隠し、価格の再設定、大量、または平均の制限を破壊する可能性があります。
- 「計算式はすべてのオプション チェーンに変更なく適用されます。」 アメリカの権利行使、個別配当、調整契約、先物取引、アトム、および決済ルールは、明示的な取り扱いが必要です。
関連トピック
信頼できる情報源
- オプション価格に内包される状態依存請求権の価格 - University of Chicago Press; 経験的なクリーニングや執行手順ではなく、所定の仮定の下で状態と価格の関係を示します。
- オプション暗黙の確率分布と通貨超過リターン - ニューヨーク連邦準備銀行。契約上の製品ルールではなく、モデルとデータの選択を使用して、オプションに含まれる密度を導出し、適用します。
- 石油市場イベントを理解するためのオプションの生成 - 暗黙の確率密度 - 連邦準備制度理事会。普遍的な株式校正ではなく、石油オプションのセミパラメトリック抽出と堅牢性を比較します。
- オプション価格から確率分布を回復する - Wiley;は、独自の暗黙の分布ではなく、そのサンプルと方法に基づくオプション価格からの制約されたスムーズな回復をサポートします。
- 金融資産価格に内包される状態価格密度のノンパラメトリック推定 - Wiley; 生の差分を無条件に使う方法ではなく、明示した仮定、帯域幅、サンプリングリスクを伴うノンパラメトリック状態価格推定を支持します。
- 形状制限に基づくノンパラメトリック オプション価格 - エルゼビア;は単調性と凸性の制約をサポートしますが、クリーンな引用符が実行可能であることを保証するものではありません。
- 標準化オプションの特徴とリスク - The Options Clearing Corporation;密度の推定や特注の請求ではなく、標準化されたオプションの権利、行使、決済、およびリスクをカバーします。
- S&P 500 インデックス オプションの製品仕様 - Cboe Global Markets;すべてのオプション チェーンの条件ではなく、SPX 固有の権利行使、乗数、取引、決済フィールドを確立します。