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Breeden-Litzenberger 공식: 옵션 가격의 위험 중립 밀도

행사 그리드, 차익거래, 평활화 및 데이터 위험을 제어하면서 유럽 옵션 가격에서 할인된 꼬리 확률과 위험 중립 밀도를 추출합니다.

업데이트

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다. 투자로 손실이 발생할 수 있습니다.

직접 답변

한 만기에 대해 C(K,T)를 충분히 정칙인 유럽형 콜의 기초자산 1단위당 시점 0 가격, D(0,T)를 할인계수, Q^T를 해당 뉴메레르에 대응하는 가격결정 측도로 둡니다. 결제 조건이 일치하고 차익거래가 없다면,

-partial C(K,T) / partial K = D(0,T) x Q^T(S_T > K)

partial^2 C(K,T) / partial K^2 = D(0,T) x f_Q(K)

이 관계는 연속점에서 성립합니다. 따라서 f_Q(K) = [1 / D(0,T)] x partial^2 C / partial K^2입니다. 1차 도함수는 할인된 디지털 콜 가치이고, 2차 도함수는 할인된 밀도이며 객관적 예측이 아닙니다. 만기 분포에 원자가 있으면 도함수가 불연속적으로 변할 수 있고, 그 확률질량은 해당 지점의 통상적인 매끄러운 밀도로 표현되지 않습니다.

메커니즘

  1. 청구권과 시간축을 고정합니다. 기초자산, 만기, 유럽형 행사, 현금 또는 실물 결제, 승수, 공식 S_T, 호가 타임스탬프, 세션, 통화, 기업행사 상태를 일치시킵니다. 미국형 옵션 가격이나 결제 조건이 다른 가격을 그대로 대입해서는 안 됩니다.
  2. 선도 및 할인을 정규화합니다. D(0,T), 일치된 선도, 배당금, 차입 및 콴토 또는 선물 규칙을 추정합니다. 일치하는 풋-콜 패리티를 통해서만 풋을 합성 콜로 전환하고 계약 달러와 별도로 기본 단위당 옵션 가격을 유지합니다.
  3. 행사가 단면을 정리합니다. 동기화된 매수호가, 매도호가, 표시 수량과 실행 가능 조건을 사용하고, 명백한 오류와 오래되거나 교차된 관측값을 제거합니다. 미분하기 전에 콜 가격의 단조감소, 볼록성, 합리적인 가격 경계와 만기 간 일관성을 적용합니다.
  4. 차익거래 인식 곡선을 맞추세요. 가격, 내재 변동성, 디지털 가격 또는 밀도를 맞출지 선택하세요. 매듭, 가중치, 정규화, 외삽 및 경계 조건을 문서화합니다. 매끄러운 곡선은 관찰된 진실이 아니라 추정치입니다.
  5. 실제 그리드에서 미분합니다. 등간격 h에서는 [C(K-h) - 2C(K) + C(K+h)] / h^2를 사용합니다. 간격이 다른 이웃 K_- < K < K_+에서는 2 x {[(C_+ - C) / (K_+ - K)] - [(C - C_-) / (K - K_-)]} / (K_+ - K_-)를 사용합니다. 불규칙한 행사가에 등간격 격자 공식을 적용하지 않습니다.
  6. 분포 제약을 검증합니다. 비음수 밀도, 총확률질량, 선도가격과 일치하는 1차 모멘트, 콜 재가격결정, 매수·매도호가 민감도, 꼬리질량, 평활화 선택에 대한 안정성을 확인합니다. 연속밀도와 이산 원자, 잘린 행사가 범위를 구분합니다.
  7. 버전을 관리하고 신중히 해석합니다. 옵션체인 스냅샷, 정리 판단, 곡선, 코드, 솔버, 신뢰구간 또는 민감도 구간을 저장합니다. 위험중립분포와 현실확률분포는 명시적인 가격결정 커널 또는 위험 프리미엄 체계를 통해서만 비교하고, 추출된 곡선을 시장 예측이라고 표시하지 않습니다.

작업한 예

  • 균등 그리드 밀도 추정. 한 번의 만료가 있는 동기화된 유럽 통화에는 C(95) = $8.20, C(100) = $5.00 및 C(105) = $2.80가 있습니다. h = $5를 사용하면 100에서 할인된 곡률은 [$8.20 - 2 x $5.00 + $2.80] / $5^2 = $1.00 / 25 = 0.04 per dollar입니다. D(0,T) = 1인 경우 지역 위험 중립 밀도 추정치는 0.04 per dollar입니다. 정확히 100에서는 4% 확률이 아닙니다.
  • 수직 스프레드와 평균 꼬리확률. C(100) = $5.00 및 C(105) = $2.80에서 음의 할선 기울기는 ($5.00 - $2.80) / $5 = 0.44입니다. 이는 행사가 100에서 105 구간의 Q^T(S_T > K) 할인 평균과 같습니다. D(0,T) = 0.98이면 해당 평균 위험중립 꼬리확률은 0.44 / 0.98 = 44.897959%입니다. 어느 한 끝점의 꼬리확률 자체는 아닙니다.
  • 스트라이크 간격이 동일하지 않습니다. K_- = 95, K = 100, K_+ = 107를 C_- = $8.20, C = $5.00 및 C_+ = $2.20와 함께 사용합니다. 왼쪽 기울기는 ($5.00 - $8.20) / 5 = -0.64, 오른쪽 기울기는 ($2.20 - $5.00) / 7 = -0.40, 비균등 그리드 곡률은 2 x [-0.40 - (-0.64)] / 12 = 0.04 per dollar입니다. 여기서는 균등 그리드 분모가 잘못되었습니다.
  • 음의 버터플라이 진단. 95/100/105의 등간격 행사가에서 가격이 $8.20, $5.60, $2.80이면 분자는 $8.20 - 2 x $5.60 + $2.80 = -$0.20, 곡률은 -$0.20 / 25 = -0.008 per dollar입니다. 양쪽 날개를 매수하고 중앙 콜 두 개를 매도하면 비용 전 단위당 $0.20, 즉 $20(M = 100)를 받으면서 만기 페이오프는 음수가 아닙니다. 호가가 동기화되고 모든 레그가 체결되며 자금조달, 수수료, 행사, 결제 및 기타 마찰이 우위를 없애지 않을 때만 실행 가능한 차익거래입니다.

추출 및 유효성 검사 체크리스트

  • 만기일, 기초, 행사 스타일, 결제 규칙, 통화, 승수 및 공식 터미널 소스를 정확하게 일치시키세요.
  • 동기화된 옵션과 기본 타임스탬프를 사용합니다. 별도의 장소 견적, 통합 데이터, 최종 거래 및 이론적 표시.
  • 기록 입찰, 요청, 표시된 크기, 교차 또는 잠긴 상태, 오래된 플래그 및 실행 가능한 패키지 조건.
  • 행사 파생상품을 이용하기 전에 계약 프리미엄을 기초 단위당 가격으로 전환하세요.
  • 액면수익률이나 관련 없는 단기 금리를 삽입하기보다는 만기에 맞는 할인율을 추정합니다.
  • 풋콜 전환 전 선도, 배당, 차입, 선물결제, FX, 콴토 조건을 조정합니다.
  • 일치하는 유럽 청구에만 패리티를 적용하고 변환 잔차를 데이터 품질 진단으로 유지합니다.
  • 추출 전에 콜가격 경계, 단조성, 볼록성 및 적절한 달력 제한을 적용합니다.
  • 실제 공격 그리드를 사용하세요. 동일하지 않은 간격에 등간격 차이를 적용하지 마십시오.
  • 첫 번째 차이를 정확한 끝점 디지털 확률이 아닌 간격 평균으로 처리합니다.
  • 통합 확률 질량과 달러당 확률과 같은 밀도 단위를 구별합니다.
  • 원자, 디지털 가격의 급등, 계약별 정산 중단 등을 조용히 완화하는 대신 보존합니다.
  • 피팅 영역, 매듭, 가중치, 페널티, 외삽 및 경계 가정을 보고합니다.
  • 스트레스 가격 공간은 변동성 공간, 디지털 공간 및 직접 밀도 대안에 적합합니다.
  • 2차 파생물이 노이즈를 확대하므로 입찰, 중간점, 요청 및 교란된 깨끗한 데이터 세트에서 추출을 반복합니다.
  • 비음성, 단위에 가까운 총 질량, 일관된 평균, 허용 오차 내에서 관찰된 호출의 가격 조정을 확인합니다.
  • 누락된 깊은 꼬리 타격을 모델에 따른 외삽법으로 처리하고 생략된 꼬리 질량을 보고합니다.
  • 명시적인 위험 프리미엄 모델 없이 위험 중립 순간을 물리적 기대로 해석하지 마십시오.
  • 실행 가능한 채우기, 수수료, 자금 조달, 마진, 행사 및 결제 위험과 이론적 정적 차익거래를 분리합니다.
  • 원시 데이터, 수정, 코드, 솔버 설정, 출력 버전, 검토 및 불확실성 진단을 보관합니다.

일반적인 오해

  • “밀도는 시장의 객관적인 예측입니다.” 상태가격과 위험 프리미엄을 반영한 가격결정 측도상의 분포입니다.
  • “0.04의 밀도는 정확한 가격에서 4%의 확률을 의미합니다.” 밀도는 역가격 단위를 가지며 간격에 걸쳐 적분되어야 합니다.
  • “가공하지 않은 중간값 차분이 실제 분포를 드러냅니다.” 비동기성, 스프레드, 성긴 행사가, 수치미분이 곡률을 지배할 수 있습니다.
  • “음수 밀도 클리핑으로 문제가 해결됩니다.” 임시 클리핑은 차익거래 위반을 숨기고 가격 조정, 대량 또는 평균 제한을 파괴할 수 있습니다.
  • “이 공식은 모든 옵션 체인에 변경 없이 적용됩니다.” 미국 행사, 개별 배당금, 조정 계약, 선물 규칙, 원자 및 결제 규칙에는 명시적인 처리가 필요합니다.

관련 주제

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