Breeden-Litzenberger 공식: 옵션에서 위험중립 밀도 추출하기

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다

직접 답변

Breeden-Litzenberger 관계는 같은 만기, 여러 행사가의 유럽형 콜 가격에서 상태가격 정보를 복원합니다. C(K,T)가 매끄러운 무차익 콜 가격함수이고 연속복리 금리가 r이면:

−∂C(K,T)/∂K = e^(−rT) Q(S_T > K)

∂²C(K,T)/∂K² = e^(−rT) f_Q(K)

따라서 f_Q(K) = e^(rT) ∂²C/∂K²입니다. f_Q는 위험중립 만기가격 밀도이며 현실 결과의 직접 예측이 아니라 미래 상태의 가격정보입니다.

콜 만기손익은 max(S_T − K, 0)입니다. K를 높이면 만기가격이 행사가를 넘는 상태의 손익이 얇게 제거되므로 음의 1차 행사가 미분은 할인된 디지털 콜 가격 또는 꼬리확률에 해당합니다. 이를 다시 미분하면 국소밀도가 됩니다.

무차익 콜 가격은 행사가에 따라 증가하지 않고 볼록해야 하므로 ∂²C/∂K² ≥ 0입니다. 음의 2차 미분은 음의 상태가격으로, 입력 불일치 또는 이상적 체결 조건의 버터플라이 차익을 나타냅니다.

시장은 이산 행사가만 제공하므로 무차익 제약 곡선을 적합하고 동일 간격 ΔK에서 다음을 사용합니다.

∂²C/∂K² ≈ [C(K−ΔK) − 2C(K) + C(K+ΔK)] / (ΔK)²

분자는 좁은 콜 버터플라이 가격입니다. 손익이 중앙 행사가 주변에 집중되어 국소밀도를 근사합니다.

같은 만기의 동시 유럽형 콜 가격을 가정합니다.

ΔK = $5일 때 $100 주변 곡률은:

[$8.20 − 2 × $5.00 + $2.80] / $5² = $1.00 / 25 = 달러당 0.04

할인을 무시하면 국소 위험중립 밀도는 약달러당 0.04이고 금리가 0이 아니면 e^(rT)를 곱합니다. 이는 정확히 $100이 될 확률이 아니며 확률은 가격구간에 걸쳐 적분해야 합니다.

중앙가격이 $5.60이면 분자가 음수가 됩니다. 음의 확률로 해석하지 말고 오래된 호가, Bid/Ask 불일치, 미국형 행사효과 또는 차익제약을 위반한 적합을 먼저 조사합니다.