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Breeden-Litzenberger 公式：選擇權價格的風險中性密度

從歐洲選擇權價格中提取貼現尾部概率和風險中性密度，同時控制執行網格、套利、平滑和資料風險。

更新於

僅供教育參考，不構成投資建議；投資可能產生損失。

直接回答

對於一個到期日，令 C(K,T) 為足夠常規的歐式買權的每標的單位的零時價格，令 D(0,T) 為貼現因子，並令 Q^T 表示與該計價單位相關的定價測度。在匹配交割和無套利條件下，

-partial C(K,T) / partial K = D(0,T) x Q^T(S_T > K)

partial^2 C(K,T) / partial K^2 = D(0,T) x f_Q(K)

在連續點。因此f_Q(K) = [1 / D(0,T)] x partial^2 C / partial K^2。一階導數是貼現的數字買權價值，二階導數是貼現的密度，而不是客觀預測。如果到期分布有一個離散概率質量，則導數可以跳躍，並且該概率質量不會由該點處的普通平滑密度表示。

機制

  1. 鎖定請求權與時間軸。 匹配標的資產、到期日、歐式履約、現金或實物交割、乘數、官方 S_T、報價時間戳、交易時段、幣種和公司行動調整狀態。美式選擇權價格或交割條款不匹配的價格不能原樣代入。
  2. 統一遠期與貼現口徑。 估計 D(0,T)、匹配的遠期價格、股利、借券成本以及 quanto 或期貨交割慣例。只有在請求權匹配時，才能通過 Put-Call 平價把 Put 轉換為合成 Call；每標的單位價格也必須與合約美元金額分開。
  3. 清理履約價橫截面。 使用同步的買價、賣價、顯示數量和可執行條件，剔除明顯錯誤、陳舊或交叉報價。求導前應約束 Call 價格隨履約價遞減、保持凸性、滿足合理上下界及期限一致性。
  4. 擬合無套利曲線。 明確擬合對象是價格、隱含波動率、數字式選擇權價格還是密度，並記錄節點、權重、正則化、外推方法和邊界條件。平滑曲線只是估計結果，並非直接觀察到的事實。
  5. 按實際網格求導。 等間距為 h 時使用 [C(K-h) - 2C(K) + C(K+h)] / h^2。對於不等距相鄰點 K_- < K < K_+，使用 2 x {[(C_+ - C) / (K_+ - K)] - [(C - C_-) / (K - K_-)]} / (K_+ - K_-)。不得把等距公式套用於不規則履約價。
  6. 驗證分布約束。 檢查密度非負、總概率質量、與遠期一致的一階矩、Call 價格復算、買賣報價敏感性、尾部質量及不同平滑選擇下的穩定性。連續密度、離散概率質量和截斷的履約價支持域必須分別處理。
  7. 做好版本控制並謹慎解釋。 保存選擇權鏈快照、清理決策、曲線、代碼、求解器和置信區間或敏感性區間。只有通過明確的定價核或風險溢價框架，才能比較風險中性分布與物理測度分布；不得把提取結果直接稱為市場預測。

工作示例

  • 等網格密度估計。 一次到期的同步歐式買權有 C(95) = $8.20、C(100) = $5.00 和 C(105) = $2.80。對於 h = $5，100 時的折扣曲率是 [$8.20 - 2 x $5.00 + $2.80] / $5^2 = $1.00 / 25 = 0.04 per dollar。如果為 D(0,T) = 1，則局部風險中性密度估計為 0.04 per dollar；它不是恰好為 100 的 4% 概率。
  • 垂直價差與平均尾部概率。 由 C(100) = $5.00 和 C(105) = $2.80 得到負割線斜率 ($5.00 - $2.80) / $5 = 0.44。它等於 Q^T(S_T > K) 在履約價 100 至 105 區間內的貼現平均值。若 D(0,T) = 0.98，相應的平均風險中性尾部概率為 0.44 / 0.98 = 44.897959%；它並不自動等於任一端點處的尾部概率。
  • 不等距履約價。 設 K_- = 95、K = 100、K_+ = 107，對應 C_- = $8.20、C = $5.00、C_+ = $2.20。左側斜率為 ($5.00 - $8.20) / 5 = -0.64，右側斜率為 ($2.20 - $5.00) / 7 = -0.40，不等距網格曲率為 2 x [-0.40 - (-0.64)] / 12 = 0.04 per dollar。此處使用等距網格分母會得到錯誤結果。
  • 負蝶式曲率診斷。 等距履約價為 95/100/105、價格為 $8.20、$5.60、$2.80 時，分子為 $8.20 - 2 x $5.60 + $2.80 = -$0.20，曲率為 -$0.20 / 25 = -0.008 per dollar。買入兩翼並賣出兩份中間 Call，可在到期獲得非負蝶式支付，同時費用前每單位收取 $0.20，即 $20（M = 100）。只有報價同步、四腿均成交，且融資、費用、履約、交割等摩擦未抵消優勢時，這才構成可執行套利。

提取和驗證清單

  • 匹配一個精確的到期日、標的資產、履約方式、交割慣例、貨幣、乘數和官方到期源。
  • 使用同步選項和標的資產時間戳；單獨的場地報價、綜合資料、最後交易和理論分數。
  • 記錄買價、賣價、顯示尺寸、交叉或鎖定狀態、過時標誌和可執行包條件。
  • 在採用履約衍生品之前，將合約溢價轉換為每標的單位的價格。
  • 估計期限匹配的貼現系數，而不是插入票面收益率或不相關的短期利率。
  • 在賣權轉換之前協調遠期、股利、借券、期貨交割、外匯和quanto條款。
  • 僅將Put-Call 平價應用於匹配的歐洲聲明，並保留轉換殘差作為資料質量診斷。
  • 在提取之前強制執行買權價格界限、單調性、凸性和適當的日曆限制。
  • 使用實際的履約價網格；不要將等間距差異應用於不等間距。
  • 將一階差分視為區間平均值，而不是精確的端點數字式選擇權概率。
  • 區分密度單位，例如每美元的概率與積分概率質量。
  • 保護離散概率質量、數字式選擇權價格的上漲和特定於合約的交割不連續性，而不是默默地消除它們。
  • 報告擬合域、結、權重、罰分、外推法和邊界假設。
  • 強調價格空間與波動空間、數字空間和直接密度替代方案的匹配。
  • 在買價、中點、賣價和擾動的乾淨資料集上重復提取，因為二階導數會放大噪聲。
  • 驗證非負性、近單位總質量、遠期一致平均值以及在容差範圍內觀察到的買權價格復算。
  • 將缺失的深尾履約價視為依賴於模型的外推，並報告遺漏的尾部質量。
  • 如果沒有明確的風險溢價模型，請勿將風險中性時刻解釋為物理測度預期。
  • 將理論靜態套利與可執行的成交、費用、資金、保證金、行使和交割風險分開。
  • 存檔原始資料、修正、代碼、求解器設置、輸出版本、審查和不確定性診斷。

常見的誤解

  • “密度是市場的客觀預測。” 它是定價測度下的分布，包含狀態價格和風險溢價資訊。
  • “密度為 0.04 意味著該確切價格的可能性為 4%。” 密度具有反價格單位，並且必須在一個時間間隔內進行積分。
  • “原始中點差異揭示了真實的分布。” 異步、價差、稀疏履約價和數值微分可以主導曲率。
  • “把負密度截為零就能解決問題。” 任意截斷可能掩蓋套利違背，並破壞價格復算、總質量或均值約束。
  • “該公式不變地適用於每個選擇權鏈。” 美式履約、離散股利、調整後的合約、期貨慣例、離散概率質量和交割規則需要明確的處理。

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