Breeden-Litzenberger 公式：從期權提取風險中性密度

僅供教育參考，不構成投資建議

直接答案

Breeden-Litzenberger 關係從同一到期日、不同履約價的歐式 Call 價格恢復狀態價格資訊。若 C(K,T) 是平滑無套利價格函數，連續複利利率為 r：

−∂C(K,T)/∂K = e^(−rT) Q(S_T > K)

∂²C(K,T)/∂K² = e^(−rT) f_Q(K)

所以 f_Q(K) = e^(rT) ∂²C/∂K²。f_Q 是風險中性到期價格密度，代表未來狀態的定價，而非現實結果的直接預測。

Call 到期給付為 max(S_T − K, 0)。提高 K 會在到期高於履約價時削去一小片給付，因此負一階導數對應折現數位 Call 價格或尾端機率；再次微分則得到局部密度。

無套利 Call 價格須隨履約價不增加且保持凸性，即 ∂²C/∂K² ≥ 0。負二階導數代表負狀態價格，通常顯示輸入不一致，或在理想成交下有蝶式套利。

市場履約價離散，實務會擬合具有無套利約束的曲線並使用：

∂²C/∂K² ≈ [C(K−ΔK) − 2C(K) + C(K+ΔK)] / (ΔK)²

分子是窄 Call 蝶式價格，給付集中於中間履約價附近，因此近似局部密度。

同期限同步歐式 Call 價格為：

ΔK = $5 時，$100 附近曲率為：

[$8.20 − 2 × $5.00 + $2.80] / $5² = $1.00 / 25 = 每美元 0.04

忽略折現時，局部風險中性密度約每美元 0.04；利率非零則乘 e^(rT)。這不是恰好到 $100 的機率，機率需對價格區間積分。

若中間價格為 $5.60，分子為負。應先檢查陳舊報價、Bid/Ask 不一致、美式履約影響或違反套利的擬合，而不是解讀為負機率。