Geometrische Brownsche Bewegung: Maße, exakte Simulation und Modellrisiko

Prüfen Sie GBM anhand des physischen und risikoneutralen Maßes, lognormaler Momente, exakter Simulation gegenüber Euler, Monte-Carlo-Fehlern, Pfadüberwachung und Modellgrenzen.

Nur zu Bildungszwecken; keine Anlageberatung. Investitionen können zu Verlusten führen.

Direkte Antwort

Unter dem physischen Maß P lautet die geometrische Brownsche Bewegung mit konstanten Parametern dS_t / S_t = mu dt + sigma dW_t^P. Ihre exakte Lösung ist S_t = S_0 exp[(mu - 0.5 sigma^2)t + sigma W_t^P]. Damit gilt ln(S_t / S_0) ~ N((mu - 0.5 sigma^2)t, sigma^2 t), und Preise über endliche Horizonte sind strikt positiv.

Dabei ist mu der momentane Parameter des erwarteten Preiswachstums, nicht das mittlere Wachstum der logarithmischen Rendite. Unter dem risikoneutralen Maß Q folgt ein Ex-Dividenden-Vermögenswert mit stetiger Rendite q dem Prozess dS_t / S_t = (r - q)dt + sigma dW_t^Q. Diese Maße beantworten unterschiedliche Fragen und verwenden unterschiedliche Brownsche Bewegungen; risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten sind keine Renditeprognosen.

GBM in sieben Schritten aufbauen und validieren

Legen Sie fest, ob es um eine physische Prognose, risikoneutrale Bewertung, Stresstests, numerische Tests oder Lehre geht; vermischen Sie keine Ergebnisse von P und Q.
Fixieren Sie S_0, Währung, Preis- oder Gesamtrenditekonvention, mu oder r - q, Volatilität, Zinsen, Dividenden, Horizont, Zeitstempel, Zinstage, Aufzinsung und Behandlung von Kapitalmaßnahmen.
Notieren Sie die maßspezifische SDE, die exakte Lösung und die Einheiten. Unter P gelten E[S_t] = S_0 e^(mu t), Var[S_t] = S_0^2 e^(2 mu t)(e^(sigma^2 t) - 1) und E[S_t / S_0 - 1] = e^(mu t) - 1.
Validieren Sie Mittelwert und Varianz der logarithmischen Rendite, Mittelwert, Varianz, Median, Modus und Quantile des Preises sowie den Unterschied zwischen einfacher und logarithmischer Rendite, bevor Sie Pfade oder Auszahlungen verwenden.
Simulieren Sie stückweise konstantes GBM mit S_(i+1) = S_i exp[(mu - 0.5 sigma^2) Delta t + sigma sqrt(Delta t) Z_i], unabhängigen Z_i ~ N(0,1), einem dokumentierten Generator und reproduzierbarem Seed. Vergleichen Sie Euler nur als Diskretisierungsstudie.
Berichten Sie Pfadzahl, Schätzer, Standardfehler, Konfidenzintervall und Konvergenz. Behandeln Sie bei Barrieren, Extrema, Erstpassage oder diskreter Überwachung Übergänge zwischen Schritten mit Brownschen Brücken oder einer ausdrücklich ausgewiesenen Überwachungsnäherung.
Trennen Sie Parameter-, Stichproben-, Diskretisierungs- und strukturelle Modellfehler; stressen Sie Sprünge, stochastische Volatilität, schwere Verteilungsränder, Leverage, Ausfall, Liquidität, Handelsunterbrechungen, Kosten, Abwicklung und Regimewechsel.

Vier durchgerechnete Beispiele

Momente der physischen Verteilung. Es seien S_0 = $100, mu = 8%, sigma = 20% und T = 1. Der Mittelwert der logarithmischen Rendite beträgt 0.06, ihre Varianz 0.04. Der Median ist $106.1836546545, der Mittelwert $108.3287067675, der Modus $102.0201340027, die Varianz $478.9188716836 und die Standardabweichung $21.8842151261. Die Schocks Z = -1 und Z = +1 ergeben $86.9358235399 und $129.6930086666; das sind Szenarien, keine Grenzen.
Exakter Pfad gegenüber Euler. Mit S_0 = $100, mu = 6%, sigma = 30%, Delta t = 0.25 und Z = [0.5, -1, 0.25, 1.25] lauten die exakten Preise $108.1933804806, $93.4727720616, $97.4091536282 und $117.9393118711. Euler endet bei $119.3300424062. Der exakte exponentielle Übergang bewahrt bei diesen konstanten Koeffizienten die Positivität; Euler weist Diskretisierungsverzerrung auf und kann negativ werden.
Risikoneutraler Optionswert. Es seien S_0 = $100, K = $105, r = 4%, q = 1.5%, sigma = 25% und T = 0.75. Der Forward beträgt $101.8926885052, d_1 = -0.0304963995 und d_2 = -0.2470027504; der Wert des europäischen Calls ist $7.2291486749. Die physische Drift mu geht nicht in diesen arbitragefrei kontrollierten Preis ein.
Monte-Carlo-Stichprobenfehler. Unter P seien S_0 = $100, mu = 7%, sigma = 25% und T = 0.5. Für S_T > $120 ist der Schwellenwert z_star = 0.9217649222 und die exakte Wahrscheinlichkeit 0.1783256040. Bei N = 100,000 unabhängigen Pfaden beträgt der theoretische Bernoulli-Standardfehler 0.0012104775; die Halbbreite bei 95% ist 0.0023725358, woraus das um den wahren Wert zentrierte Referenzintervall [0.1759530681, 0.1806981400] folgt. Mehr Pfade reduzieren den Stichprobenfehler, nicht den Modellfehler.

Eingabe-, numerische und Modellrisiken

Physisches und risikoneutrales Maß oder ihre Brownschen Bewegungen vermischen.
mu als mittleres Wachstum der logarithmischen Rendite oder als endliche einfache Rendite behandeln.
Ex-Dividenden-Preis, Gesamtrendite und reinvestierte Ausschüttungen verwechseln.
r, r - q, diskrete Dividenden, Aufzinsung und Forward-Konventionen vermischen.
Kalender-, Handels-, Intraday- und annualisierte Zeiteinheiten vermischen.
Volatilität in Prozent statt als Dezimalzahl oder mit falscher Annualisierung anwenden.
Veraltete Parameter, revidierte Daten, vorausblickende Informationen oder inkonsistente Zeitstempel verwenden.
Einer kurzen, verrauschten Driftschätzung zur Richtungsprognose vertrauen.
In jedem Regime unabhängige, stationäre gaußsche Log-Inkremente unterstellen.
Konstante Volatilität als mit Skew, Laufzeitstruktur, Clustering und Leverage-Effekt vereinbar behandeln.
Sprünge, Overnight-Gaps, Ausfall auf null und Handelsunterbrechungen auslassen.
Annehmen, ein lognormales Modell erfasse schwere Verteilungsränder und Krisenabhängigkeit.
Stochastische Zinsen, Dividenden, Wertpapierleihe oder Multi-Asset-Korrelation ignorieren.
Euler verwenden, obwohl ein exakter GBM-Übergang verfügbar ist, oder dessen mögliche negative Preise ignorieren.
Generator, Seed, antithetische oder varianzreduzierende Methode und Reproduzierbarkeitsdaten nicht dokumentieren.
Pfade ohne Standardfehler des Schätzers, Konfidenzintervall und Konvergenz berichten.
Übergänge über Barrieren zwischen Schritten, Extrema und Erstpassageereignisse übersehen.
Mehr Zeitschritte mit geringerem strukturellem Modellfehler verwechseln.
Anpassung an einen Preis oder ein Verteilungsmoment als Modellvalidierung ansehen.
Ausführbare Preise, Liquidität, Kosten, Marktschluss, Produktabwicklung, Governance und Abstimmung auslassen.

Häufige Irrtümer

“GBM prognostiziert einen Aktienkurs.” Es definiert eine bedingte Verteilung unter gewählten Parametern.
“Die Drift der logarithmischen Rendite ist mu.” In der hier verwendeten physischen Notation lautet sie mu - 0.5 sigma^2.
“Risikoneutrale Wahrscheinlichkeit ist eine reale Prognose.” Sie ist ein Bewertungsmaß unter den angegebenen Marktannahmen.
“Mehr Schritte oder Pfade machen das Marktmodell realistisch.” Sie behandeln Diskretisierungs- oder Stichprobenfehler, nicht fehlende ökonomische Faktoren.
“Positive lognormale Preise begrenzen das Abwärtsrisiko.” Preise können sich null beliebig nähern, und GBM lässt plötzlichen Ausfall aus.