幾何布朗運動：Black–Scholes 背後的實用基準
僅供教育參考，不構成投資建議
**幾何布朗運動（GBM）**是連續時間模型，資產百分比變化由恆定漂移與布朗隨機衝擊組成：dS(t) / S(t) = μ dt + σ dW(t)。其解為 S(T) = S0 exp[(μ − 0.5σ²)T + σW(T)]。對數報酬呈常態、價格呈對數常態，因此模型價格保持為正。GBM 是 Black–Scholes 的核心，原因是容易解析，不代表真實股票完全遵循。
漂移、伊藤修正與定價測度
Section titled “漂移、伊藤修正與定價測度”期限 T 內，ln[S(T)/S0] 均值為 (μ − 0.5σ²)T、變異數為 σ²T。−0.5σ² 伊藤修正抵消指數凸性，使真實世界設定下 E[S(T)] = S0e^(μT)；價格期望成長率 μ 與平均對數報酬成長率不同。
風險中性定價把 μ 換成 r − q。這不是預測股票真實報酬等於 r − q，而是對折現可交易資產施加無套利鞅條件。GBM 假設路徑連續、增量獨立平穩且高斯、波動率固定，遺漏財報跳空、厚尾、波動聚集、偏斜、停牌、違約、流動性及成本。更細步長不能修復結構遺漏。
從 $100 出發的一年分布
Section titled “從 $100 出發的一年分布”設 S0 = $100、μ = 8%、σ = 20%、T = 1。平均對數報酬為 8% − 20%²/2 = 6%，標準差 20%。
- 終值中位數：
$100e^0.06 = $106.18。 - 終值期望：
$100e^0.08 = $108.33。 Z = −1：$100e^(0.06−0.20) = $86.94。Z = +1：$100e^(0.06+0.20) = $129.69。
均值高於中位數，因為對數常態價格右偏；Z = ±1 是情境，不是界限。精確離散模擬用 S(t+Δt)=S(t)exp[(μ−0.5σ²)Δt+σsqrt(Δt)Z]。日步長 1/252 的一倍隨機標準差為 20%/sqrt(252)=1.26%。更多路徑只降低抽樣誤差，不降低模型誤差。
建模檢查清單
Section titled “建模檢查清單”- 說明用途是真實預測、風險中性定價、壓力測試或教學。
- 記錄
S0、漂移、波動率、股息、利率、期限、日數、步長與時點。 - 統一年化輸入與
Δt，不混用交易日和曆年。 - 使用精確指數步與可稽核種子，核驗對數報酬均值及變異數。
- 報告路徑數、標準誤、收斂與信賴區間。
- 與跳躍、波動狀態、厚尾及流動性壓力情境比較。
- 路徑依賴產品檢查觀察頻率與布朗橋修正。
- 不用
μ預測短期方向，漂移遠小於噪音且難以估計。 - 模型內擬合良好不代表假設能描述未來市場。
- 「GBM 預測股價。」它只在給定參數下指定條件分布。
- 「對數報酬漂移是
μ。」此記號下為μ − 0.5σ²。 - 「風險中性機率是真實預測。」它服務無套利估值。
- 「步數越多越真實。」只減少離散誤差，不增加跳躍或隨機波動率。
- 「對數常態表示下行有限。」有限時間內大於零，但可任意接近零。
- 「固定波動率無妨。」它與期限、偏斜、聚集和危機行為衝突。