幾何布朗運動：測度、精確模擬與模型風險

從實體測度與風險中性測度、對數常態矩、精確模擬與 Euler 模擬、蒙地卡羅誤差、路徑監測及模型限制等面向檢視 GBM。

僅供教育參考，不構成投資建議；投資可能產生損失。

直接答案

在實體測度 P 下，參數固定的幾何布朗運動為 dS_t / S_t = mu dt + sigma dW_t^P。其精確解是 S_t = S_0 exp[(mu - 0.5 sigma^2)t + sigma W_t^P]，因此 ln(S_t / S_0) ~ N((mu - 0.5 sigma^2)t, sigma^2 t)，有限期間的價格嚴格為正。

此處 mu 是價格的瞬時預期成長參數，不是平均對數報酬成長率。在風險中性測度 Q 下，連續殖利率為 q 的除息資產遵循 dS_t / S_t = (r - q)dt + sigma dW_t^Q。兩種測度回答不同問題，並使用不同的布朗運動；風險中性機率不是報酬預測。

分七步建立並驗證 GBM

說明工作是實體測度預測、風險中性評價、壓力測試、數值測試或教學；不得混用 P 與 Q 的輸出。
鎖定 S_0、幣別、價格或總報酬口徑、mu 或 r - q、波動率、利率、股利、期間、時間戳記、計息日數慣例、複利方式及公司行動處理方法。
寫明特定測度下的隨機微分方程式、精確解與單位。在 P 下，E[S_t] = S_0 e^(mu t)、Var[S_t] = S_0^2 e^(2 mu t)(e^(sigma^2 t) - 1)，且 E[S_t / S_0 - 1] = e^(mu t) - 1。
使用路徑或給付函數前，驗證對數報酬的平均數與變異數、價格的平均數、變異數、中位數、眾數及分位數，並區分簡單報酬與對數報酬。
對分段固定參數的 GBM，使用 S_(i+1) = S_i exp[(mu - 0.5 sigma^2) Delta t + sigma sqrt(Delta t) Z_i] 模擬，其中獨立的 Z_i ~ N(0,1)，並記錄亂數產生器及可重現的種子。Euler 方法僅用於離散化比較研究。
報告路徑數、估計量、標準誤、信賴區間與收斂情形。對障礙、極值、首次穿越或離散監測，應使用布朗橋或明確的監測近似處理時間步之間的穿越。
分開參數誤差、抽樣誤差、離散化誤差與結構性模型誤差；對跳躍、隨機波動率、厚尾、槓桿效應、違約、流動性、暫停交易、交易成本、結算及狀態轉換進行壓力測試。

四個完整範例

實體分配的矩。 設 S_0 = $100、mu = 8%、sigma = 20%、T = 1。對數報酬平均數為 0.06，變異數為 0.04。中位數是 $106.1836546545，平均數是 $108.3287067675，眾數是 $102.0201340027，變異數是 $478.9188716836，標準差是 $21.8842151261。衝擊 Z = -1 與 Z = +1 分別得到 $86.9358235399 和 $129.6930086666；這些是情境，不是界限。
精確路徑與 Euler 路徑。 設 S_0 = $100、mu = 6%、sigma = 30%、Delta t = 0.25，且 Z = [0.5, -1, 0.25, 1.25]，精確價格依序為 $108.1933804806、$93.4727720616、$97.4091536282 和 $117.9393118711。Euler 終值為 $119.3300424062。對這些固定係數，精確指數轉移可保持價格為正；Euler 有離散化偏誤，也可能產生負價格。
風險中性選擇權價值。 設 S_0 = $100、K = $105、r = 4%、q = 1.5%、sigma = 25%、T = 0.75。遠期價格為 $101.8926885052，d_1 = -0.0304963995，d_2 = -0.2470027504；歐式買權價值為 $7.2291486749。實體漂移 mu 不會進入這個受控的無套利價格。
蒙地卡羅抽樣誤差。 在 P 下，設 S_0 = $100、mu = 7%、sigma = 25%、T = 0.5。對於 S_T > $120，門檻為 z_star = 0.9217649222，精確機率為 0.1783256040。若有 N = 100,000 條獨立路徑，Bernoulli 理論標準誤為 0.0012104775；95% 區間的半寬為 0.0023725358，以真值為中心的參考區間是 [0.1759530681, 0.1806981400]。增加路徑只能降低抽樣誤差，不能降低模型誤差。

輸入、數值與模型風險

混用實體測度與風險中性測度，或混用相應的布朗運動。
把 mu 當成平均對數報酬成長率或有限期簡單報酬。
混淆除息價格、總報酬與再投資分配。
混用 r、r - q、離散股利、複利方式與遠期口徑。
混用日曆日、交易日、盤中與年化時間單位。
把百分比波動率當成小數輸入，或採用錯誤的年化方法。
使用過時參數、修訂後資料、前視資訊或不一致的時間戳記。
依賴短樣本且雜訊很大的漂移估計來判斷方向。
假定所有市場狀態下的高斯對數增量均獨立且分配相同。
認為固定波動率可同時解釋偏斜、期限結構、波動群聚及槓桿效應。
遺漏跳躍、隔夜跳空、歸零違約事件及暫停交易。
認為對數常態模型能捕捉厚尾與危機期間的相依性。
忽略隨機利率、股利、借券或多資產相關結構。
有精確 GBM 轉移時仍使用 Euler，或忽略其產生負價格的可能性。
未記錄產生器、種子、對偶變數或變異數降低方法及重現資料。
只報告路徑數，不報告估計量標準誤、信賴區間及收斂情形。
漏掉時間步之間的障礙穿越、極值與首次穿越事件。
混淆增加時間步數與降低結構性模型誤差。
把對單一價格或分配矩的校準視為模型驗證。
遺漏可成交價格、流動性、成本、休市、產品結算、治理及勾稽。

常見迷思

「GBM 能預測一檔股票的價格。」 它只在選定參數下定義條件分配。
「對數報酬漂移是 mu。」 在本文實體測度符號下，它是 mu - 0.5 sigma^2。
「風險中性機率是真實世界預測。」 它是在明確市場假設下使用的評價測度。
「增加時間步或路徑數能讓市場模型變得真實。」 它們處理離散化或抽樣誤差，而不是缺漏的經濟機制。
「對數常態價格為正，所以限制了下檔風險。」 價格可以任意接近零，而且 GBM 遺漏突然違約。