기하 브라운 운동: 측도, 정확 시뮬레이션, 모형 위험

물리측도와 위험중립측도, 로그정규분포의 적률, 정확법과 Euler법, 몬테카를로 오차, 경로 모니터링, 모형의 한계를 통해 GBM을 검증합니다.

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다. 투자로 손실이 발생할 수 있습니다.

직접 답변

물리측도 P에서 매개변수가 일정한 기하 브라운 운동은 dS_t / S_t = mu dt + sigma dW_t^P입니다. 정확해는 S_t = S_0 exp[(mu - 0.5 sigma^2)t + sigma W_t^P]이므로 ln(S_t / S_0) ~ N((mu - 0.5 sigma^2)t, sigma^2 t)이며, 유한한 기간의 가격은 항상 양수입니다.

여기서 mu는 가격의 순간 기대성장률 매개변수이지 평균 로그수익률 성장률이 아닙니다. 위험중립측도 Q에서 연속 배당수익률이 q인 배당락 자산은 dS_t / S_t = (r - q)dt + sigma dW_t^Q를 따릅니다. 두 측도는 서로 다른 질문에 답하고 서로 다른 브라운 운동을 사용합니다. 위험중립확률은 수익률 전망이 아닙니다.

7단계로 GBM 구축하고 검증하기

목적이 물리측도 전망, 위험중립 가치평가, 스트레스 테스트, 수치 검증 또는 교육 중 무엇인지 밝히고 P와 Q의 결과를 섞지 않습니다.
S_0, 통화, 가격 또는 총수익 기준, mu 또는 r - q, 변동성, 금리, 배당, 기간, 타임스탬프, 일수 계산, 복리 방식, 기업행위 처리 방법을 확정합니다.
측도별 확률미분방정식, 정확해, 단위를 적습니다. P에서는 E[S_t] = S_0 e^(mu t), Var[S_t] = S_0^2 e^(2 mu t)(e^(sigma^2 t) - 1), E[S_t / S_0 - 1] = e^(mu t) - 1입니다.
경로나 손익함수를 사용하기 전에 로그수익률의 평균과 분산, 가격의 평균, 분산, 중앙값, 최빈값, 분위수, 단순수익률과 로그수익률의 차이를 검증합니다.
구간별 매개변수가 일정한 GBM은 S_(i+1) = S_i exp[(mu - 0.5 sigma^2) Delta t + sigma sqrt(Delta t) Z_i]로 시뮬레이션합니다. 독립적인 Z_i ~ N(0,1), 기록된 난수 생성기, 재현 가능한 난수 시드를 사용합니다. Euler법과의 비교는 이산화 연구로만 수행합니다.
경로 수, 추정량, 표준오차, 신뢰구간, 수렴을 보고합니다. 배리어, 극값, 최초통과 또는 이산 모니터링에서는 브라운 브리지나 명시적인 모니터링 근사로 시간 간격 사이의 통과를 처리합니다.
매개변수 오차, 표본오차, 이산화 오차, 구조적 모형 오차를 구분합니다. 점프, 확률변동성, 두꺼운 꼬리, 레버리지 효과, 부도, 유동성, 거래정지, 거래비용, 결제, 국면 전환을 스트레스 테스트합니다.

네 가지 계산 예시

물리분포의 적률. S_0 = $100, mu = 8%, sigma = 20%, T = 1로 둡니다. 로그수익률 평균은 0.06, 분산은 0.04입니다. 중앙값은 $106.1836546545, 평균은 $108.3287067675, 최빈값은 $102.0201340027, 분산은 $478.9188716836, 표준편차는 $21.8842151261입니다. 충격 Z = -1과 Z = +1은 각각 $86.9358235399와 $129.6930086666을 만듭니다. 이는 시나리오이지 경계가 아닙니다.
정확 경로와 Euler 경로. S_0 = $100, mu = 6%, sigma = 30%, Delta t = 0.25, Z = [0.5, -1, 0.25, 1.25]이면 정확한 가격은 차례로 $108.1933804806, $93.4727720616, $97.4091536282, $117.9393118711입니다. Euler 종가는 $119.3300424062입니다. 이 상수 계수에서는 정확한 지수 전이가 양의 가격을 보존하지만 Euler법에는 이산화 편향이 있고 음의 가격도 나올 수 있습니다.
위험중립 옵션 가치. S_0 = $100, K = $105, r = 4%, q = 1.5%, sigma = 25%, T = 0.75로 둡니다. 선도가격은 $101.8926885052, d_1 = -0.0304963995, d_2 = -0.2470027504이며 유럽형 콜옵션 가치는 $7.2291486749입니다. 물리측도 드리프트 mu는 이 통제된 무차익 가격에 들어가지 않습니다.
몬테카를로 표본오차. P에서 S_0 = $100, mu = 7%, sigma = 25%, T = 0.5로 둡니다. S_T > $120의 임계값은 z_star = 0.9217649222, 정확한 확률은 0.1783256040입니다. 독립 경로가 N = 100,000개이면 Bernoulli 추정량의 이론적 표준오차는 0.0012104775입니다. 95% 구간의 반폭은 0.0023725358이고 참값 중심의 기준 구간은 [0.1759530681, 0.1806981400]입니다. 경로 수를 늘리면 표본오차만 줄어들 뿐 모형 오차는 줄어들지 않습니다.

입력, 수치, 모형 위험

물리측도와 위험중립측도 또는 각각의 브라운 운동을 혼용하는 위험.
mu를 평균 로그수익률 성장률이나 유한기간 단순수익률로 보는 위험.
배당락 가격, 총수익, 재투자된 분배금을 혼동하는 위험.
r, r - q, 이산 배당, 복리 방식, 선도 기준을 혼용하는 위험.
달력일, 거래일, 장중, 연율화 시간 단위를 혼용하는 위험.
퍼센트 단위 변동성을 소수로 입력하거나 잘못 연율화하는 위험.
오래된 매개변수, 수정된 자료, 선행정보 또는 일치하지 않는 타임스탬프를 사용하는 위험.
짧고 잡음이 큰 드리프트 추정치로 방향을 판단하는 위험.
모든 국면에서 가우스 로그 증분이 독립적이고 정상적이라고 가정하는 위험.
일정 변동성이 스큐, 기간구조, 군집성, 레버리지 효과와 양립한다고 보는 위험.
점프, 익일 갭, 가치가 0이 되는 부도, 거래정지를 누락하는 위험.
로그정규모형이 두꺼운 꼬리와 위기 시 의존성을 포착한다고 보는 위험.
확률금리, 배당, 주식대차 또는 다중자산 상관구조를 무시하는 위험.
정확한 GBM 전이를 쓸 수 있는데 Euler법을 사용하거나 음의 가격 가능성을 무시하는 위험.
난수 생성기, 시드, 대조변수 또는 분산축소법과 재현 자료를 기록하지 않는 위험.
추정량 표준오차, 신뢰구간, 수렴 없이 경로 수만 보고하는 위험.
시간 간격 사이의 배리어 통과, 극값, 최초통과 사건을 놓치는 위험.
시간 간격 수 증가와 구조적 모형 오차 감소를 혼동하는 위험.
하나의 가격이나 분포 적률에 대한 보정을 모형 검증으로 보는 위험.
체결 가능 가격, 유동성, 비용, 시장 폐장, 상품 결제, 지배구조, 대사 절차를 누락하는 위험.

흔한 오해

“GBM은 주가를 예측한다.” 선택한 매개변수 아래 조건부분포를 정의하는 모형입니다.
“로그수익률 드리프트는 mu다.” 이 글의 물리측도 표기에서는 mu - 0.5 sigma^2입니다.
“위험중립확률은 실제세계 전망이다.” 명시된 시장 가정 아래 사용하는 가치평가 측도입니다.
“시간 간격이나 경로 수를 늘리면 시장 모형이 현실적이 된다.” 이산화 오차나 표본오차를 줄일 뿐 누락된 경제 구조를 보완하지 않습니다.
“로그정규 가격은 양수이므로 하방 위험이 제한된다.” 가격은 0에 한없이 가까워질 수 있고 GBM은 갑작스러운 부도를 포함하지 않습니다.