Moto browniano geometrico: misure, simulazione esatta e rischio di modello

Verifica il GBM attraverso le misure fisica e neutrale al rischio, i momenti lognormali, la simulazione esatta rispetto a Euler, l'errore Monte Carlo, il monitoraggio dei percorsi e i limiti del modello.

Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

Risposta diretta

Sotto la misura fisica P, il moto browniano geometrico a parametri costanti e dS_t / S_t = mu dt + sigma dW_t^P. La sua soluzione esatta e S_t = S_0 exp[(mu - 0.5 sigma^2)t + sigma W_t^P]; quindi ln(S_t / S_0) ~ N((mu - 0.5 sigma^2)t, sigma^2 t) e i prezzi su orizzonti finiti sono strettamente positivi.

Qui mu e il parametro istantaneo di crescita attesa del prezzo, non la crescita media del rendimento logaritmico. Sotto la misura neutrale al rischio Q, un’attivita ex dividendo con rendimento continuo q segue dS_t / S_t = (r - q)dt + sigma dW_t^Q. Queste misure rispondono a domande diverse e usano moti browniani distinti; le probabilita neutrali al rischio non sono previsioni di rendimento.

Costruire e validare il GBM in sette passaggi

Specificare se il compito e previsione fisica, valutazione neutrale al rischio, stress test, verifica numerica o didattica; non mescolare risultati di P e Q.
Fissare S_0, valuta, convenzione di prezzo o rendimento totale, mu o r - q, volatilita, tassi, dividendi, orizzonte, timestamp, conteggio dei giorni, capitalizzazione e trattamento delle operazioni societarie.
Scrivere l’SDE specifica della misura, la soluzione esatta e le unita. Sotto P, E[S_t] = S_0 e^(mu t), Var[S_t] = S_0^2 e^(2 mu t)(e^(sigma^2 t) - 1) e E[S_t / S_0 - 1] = e^(mu t) - 1.
Validare media e varianza del rendimento logaritmico, media, varianza, mediana, moda e quantili del prezzo e la distinzione tra rendimento semplice e logaritmico prima di usare percorsi o payoff.
Per un GBM costante a tratti, simulare con S_(i+1) = S_i exp[(mu - 0.5 sigma^2) Delta t + sigma sqrt(Delta t) Z_i], variabili indipendenti Z_i ~ N(0,1), un generatore registrato e un seed riproducibile. Confrontare Euler solo come studio di discretizzazione.
Riportare numero di percorsi, stimatore, errore standard, intervallo di confidenza e convergenza. Per barriere, estremi, primo passaggio o monitoraggio discreto, trattare gli attraversamenti tra passi con ponti browniani o un’approssimazione di monitoraggio esplicita.
Separare gli errori di parametro, campionamento, discretizzazione e struttura del modello; sottoporre a stress salti, volatilita stocastica, code pesanti, leverage, default, liquidita, sospensioni, costi, regolamento e cambi di regime.

Quattro esempi svolti

Momenti della distribuzione fisica. Siano S_0 = $100, mu = 8%, sigma = 20% e T = 1. La media del rendimento logaritmico e 0.06 e la varianza 0.04. La mediana e $106.1836546545, la media $108.3287067675, la moda $102.0201340027, la varianza $478.9188716836 e la deviazione standard $21.8842151261. Gli shock Z = -1 e Z = +1 producono $86.9358235399 e $129.6930086666; sono scenari, non limiti.
Percorso esatto rispetto a Euler. Con S_0 = $100, mu = 6%, sigma = 30%, Delta t = 0.25 e Z = [0.5, -1, 0.25, 1.25], i prezzi esatti sono $108.1933804806, $93.4727720616, $97.4091536282 e $117.9393118711. Euler termina a $119.3300424062. La transizione esponenziale esatta preserva la positivita per questi coefficienti costanti; Euler presenta distorsione di discretizzazione e puo diventare negativo.
Valore dell’opzione neutrale al rischio. Siano S_0 = $100, K = $105, r = 4%, q = 1.5%, sigma = 25% e T = 0.75. Il forward e $101.8926885052, d_1 = -0.0304963995 e d_2 = -0.2470027504; il valore della call europea e $7.2291486749. La deriva fisica mu non entra in questo prezzo controllato dall’assenza di arbitraggio.
Errore di campionamento Monte Carlo. Sotto P, usare S_0 = $100, mu = 7%, sigma = 25% e T = 0.5. Per S_T > $120, la soglia e z_star = 0.9217649222 e la probabilita esatta 0.1783256040. Con N = 100,000 percorsi indipendenti, l’errore standard teorico di Bernoulli e 0.0012104775; la semiampiezza al 95% e 0.0023725358, da cui l’intervallo di riferimento centrato sulla probabilita vera [0.1759530681, 0.1806981400]. Piu percorsi riducono l’errore di campionamento, non quello di modello.

Rischi di input, numerici e di modello

Mescolare misura fisica e neutrale al rischio o i rispettivi moti browniani.
Trattare mu come crescita media del rendimento logaritmico o rendimento semplice finito.
Confondere prezzo ex dividendo, rendimento totale e distribuzioni reinvestite.
Mescolare r, r - q, dividendi discreti, capitalizzazione e convenzioni forward.
Mescolare unita temporali di calendario, negoziazione, intraday e annualizzate.
Applicare la volatilita in percentuale anziche in decimale o con annualizzazione errata.
Usare parametri obsoleti, dati rivisti, informazioni future o timestamp incoerenti.
Affidarsi a una stima breve e rumorosa della deriva per prevedere la direzione.
Presumere incrementi logaritmici gaussiani, stazionari e indipendenti in ogni regime.
Considerare la volatilita costante compatibile con skew, struttura a termine, clustering ed effetto leverage.
Omettere salti, gap overnight, default a zero e sospensioni delle negoziazioni.
Presumere che un modello lognormale catturi code pesanti e dipendenza nelle crisi.
Ignorare tassi, dividendi e costo del prestito stocastici o correlazione multi-asset.
Usare Euler quando e disponibile una transizione GBM esatta o ignorarne la possibilita di prezzi negativi.
Non registrare generatore, seed, metodo antitetico o di riduzione della varianza e dati di riproducibilita.
Riportare percorsi senza errore standard dello stimatore, intervallo di confidenza e convergenza.
Perdere attraversamenti di barriera tra passi, estremi ed eventi di primo passaggio.
Confondere piu passi temporali con minore errore strutturale del modello.
Trattare l’adattamento a un prezzo o momento della distribuzione come validazione del modello.
Omettere prezzi eseguibili, liquidita, costi, chiusura del mercato, regolamento del prodotto, governance e riconciliazione.

Idee errate comuni

“Il GBM prevede il prezzo di un’azione.” Definisce una distribuzione condizionata ai parametri scelti.
“La deriva del rendimento logaritmico e mu.” E mu - 0.5 sigma^2 nella notazione fisica usata qui.
“La probabilita neutrale al rischio e una previsione reale.” E una misura di valutazione sotto ipotesi di mercato dichiarate.
“Piu passi o percorsi rendono realistico il modello di mercato.” Affrontano l’errore di discretizzazione o campionamento, non l’economia mancante.
“Prezzi lognormali positivi limitano il rischio di ribasso.” Possono avvicinarsi arbitrariamente a zero e il GBM omette il default improvviso.