الحركة البراونية الهندسية: المقاييس والمحاكاة الدقيقة ومخاطر النموذج

دقق نموذج الحركة البراونية الهندسية عبر المقياسين الفعلي والمحايد للمخاطر، ولحظات التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي، والمحاكاة الدقيقة مقارنة بأويلر، وخطأ مونت كارلو، ومراقبة المسار، وحدود النموذج.

لأغراض تعليمية فقط؛ لا يشكل ذلك نصيحة استثمارية أو توصية استثمارية. قد تؤدي الاستثمارات إلى خسائر.

الإجابة المباشرة

في ظل المقياس الفعلي P، تكتب الحركة البراونية الهندسية ذات المعلمات الثابتة dS_t / S_t = mu dt + sigma dW_t^P. وحلها الدقيق هو S_t = S_0 exp[(mu - 0.5 sigma^2)t + sigma W_t^P]، ولذلك فإن ln(S_t / S_0) ~ N((mu - 0.5 sigma^2)t, sigma^2 t) وتظل الأسعار موجبة تماما عند أي أفق زمني محدود.

هنا تمثل mu معلمة النمو اللحظي المتوقع للسعر، لا متوسط نمو العائد اللوغاريتمي. وفي ظل المقياس المحايد للمخاطر Q، يتبع الأصل المستبعد منه التوزيع، مع عائد مستمر q، المعادلة dS_t / S_t = (r - q)dt + sigma dW_t^Q. يجيب المقياسان عن سؤالين مختلفين ويستخدمان حركتين براونيتين مختلفتين؛ فالاحتمالات المحايدة للمخاطر ليست توقعات للعائد.

ابن النموذج وتحقق منه في سبع خطوات

حدد ما إذا كانت المهمة توقعا فعليا أم تقييما محايدا للمخاطر أم اختبار ضغط أم اختبارا عدديا أم تعليما؛ ولا تخلط مخرجات P وQ.
ثبت S_0 والعملة واتفاقية السعر أو العائد الكلي وmu أو r - q والتقلب وأسعار الفائدة والتوزيعات والأفق والطابع الزمني وعد الأيام والتركيب ومعالجة إجراءات الشركات.
اكتب المعادلة التفاضلية العشوائية الخاصة بالمقياس والحل الدقيق والوحدات. في ظل P، لدينا E[S_t] = S_0 e^(mu t) وVar[S_t] = S_0^2 e^(2 mu t)(e^(sigma^2 t) - 1) وE[S_t / S_0 - 1] = e^(mu t) - 1.
تحقق من متوسط العائد اللوغاريتمي وتباينه، ومن متوسط السعر وتباينه ووسيطه ومنواله وكمياته، ومن الفرق بين العائد البسيط واللوغاريتمي قبل استخدام المسارات أو المدفوعات.
للمسار ذي المعلمات الثابتة على أجزاء زمنية، حاك باستخدام S_(i+1) = S_i exp[(mu - 0.5 sigma^2) Delta t + sigma sqrt(Delta t) Z_i]، مع متغيرات مستقلة Z_i ~ N(0,1)، ومولد مسجل وبذرة قابلة لإعادة الإنتاج. ولا تقارن بأويلر إلا لدراسة خطأ التقسيم الزمني.
أبلغ عن عدد المسارات والمقدر والخطأ المعياري وفاصل الثقة والتقارب. وبالنسبة للحواجز والقيم القصوى والعبور الأول أو المراقبة المتقطعة، عالج العبور بين الخطوات بجسور براونية أو بتقريب مراقبة معلن.
افصل خطأ المعلمات وأخذ العينات والتقسيم الزمني عن الخطأ الهيكلي للنموذج؛ واختبر القفزات والتقلب العشوائي والذيول الثقيلة وأثر الرافعة والتعثر والسيولة والتوقفات وتكاليف المعاملات والتسوية وتغير الأنظمة.

أربعة أمثلة محلولة

لحظات التوزيع الفعلي. افترض S_0 = $100 وmu = 8% وsigma = 20% وT = 1. متوسط العائد اللوغاريتمي هو 0.06 وتباينه 0.04. الوسيط $106.1836546545، والمتوسط $108.3287067675، والمنوال $102.0201340027، والتباين $478.9188716836، والانحراف المعياري $21.8842151261. وتعطي الصدمتان Z = -1 وZ = +1 السعرين $86.9358235399 و$129.6930086666؛ وهما سيناريوهان لا حدان.
المسار الدقيق مقارنة بأويلر. مع S_0 = $100 وmu = 6% وsigma = 30% وDelta t = 0.25 وZ = [0.5, -1, 0.25, 1.25]، تكون الأسعار الدقيقة $108.1933804806 و$93.4727720616 و$97.4091536282 و$117.9393118711. وينتهي مسار أويلر عند $119.3300424062. يحافظ الانتقال الأسي الدقيق على الإيجابية لهذه المعلمات الثابتة، أما أويلر فيحمل تحيز التقسيم وقد ينتج سعرا سالبا.
قيمة الخيار المحايدة للمخاطر. افترض S_0 = $100 وK = $105 وr = 4% وq = 1.5% وsigma = 25% وT = 0.75. يكون السعر الآجل $101.8926885052 وd_1 = -0.0304963995 وd_2 = -0.2470027504؛ وتبلغ قيمة خيار الشراء الأوروبي $7.2291486749. ولا تدخل قيمة الانجراف الفعلي mu في هذا السعر المضبوط على أساس عدم المراجحة.
خطأ أخذ العينات في مونت كارلو. في ظل P، افترض S_0 = $100 وmu = 7% وsigma = 25% وT = 0.5. للحدث S_T > $120 يكون الحد z_star = 0.9217649222 والاحتمال الدقيق 0.1783256040. مع N = 100,000 مسار مستقل، يبلغ الخطأ المعياري النظري لمتغير برنولي 0.0012104775، ويبلغ نصف عرض فاصل 95% مقدار 0.0023725358، فينتج الفاصل المرجعي المتمركز حول الحقيقة [0.1759530681, 0.1806981400]. تخفض المسارات الإضافية خطأ أخذ العينات لا خطأ النموذج.

مخاطر المدخلات والحساب والنموذج

خلط المقياسين الفعلي والمحايد للمخاطر أو الحركتين البراونيتين.
معاملة mu كمتوسط نمو العائد اللوغاريتمي أو كعائد بسيط لفترة محدودة.
الخلط بين السعر المستبعد منه التوزيع والعائد الكلي والتوزيعات المعاد استثمارها.
الخلط بين r وr - q والتوزيعات المتقطعة والتركيب واتفاقيات السعر الآجل.
خلط وحدات الوقت التقويمية وأيام التداول والوقت اللحظي والوحدات السنوية.
إدخال التقلب كنسبة مئوية بدلا من عدد عشري أو استخدام سنونة خاطئة.
استخدام معلمات قديمة أو بيانات معدلة أو معلومات مستقبلية أو طوابع زمنية غير متسقة.
الاعتماد على تقدير قصير وصاخب للانجراف لتحديد الاتجاه.
افتراض استقلال وثبات وتوزيع غاوسي لزيادات العائد اللوغاريتمي في كل نظام.
اعتبار التقلب الثابت متسقا مع الانحراف وبنية الآجال والتجمع وأثر الرافعة.
إغفال القفزات والفجوات الليلية والتعثر المفاجئ إلى الصفر وتوقف التداول.
افتراض أن التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي يلتقط الذيول الثقيلة والاعتماد في الأزمات.
تجاهل أسعار الفائدة والتوزيعات وتكلفة الاقتراض العشوائية أو بنية الارتباط بين الأصول.
استخدام أويلر رغم توافر انتقال دقيق أو تجاهل إمكان إنتاج سعر سالب.
عدم تسجيل المولد والبذرة وطريقة المتغيرات المتعاكسة أو خفض التباين وبيانات إعادة الإنتاج.
عرض المسارات من دون خطأ معياري للمقدر وفاصل ثقة وتقارب.
إغفال عبور الحاجز بين الخطوات والقيم القصوى وأحداث العبور الأول.
الخلط بين زيادة عدد الخطوات وخفض الخطأ الهيكلي للنموذج.
اعتبار ملاءمة سعر واحد أو لحظة توزيع واحدة تحققا من صحة النموذج.
إغفال الأسعار القابلة للتنفيذ والسيولة والتكاليف وإغلاق السوق وتسوية المنتج والحوكمة والتوفيق النهائي.

مفاهيم خاطئة شائعة

“يتنبأ GBM بسعر سهم.” إنه يحدد توزيعا شرطيا في ظل معلمات مختارة.
“انجراف العائد اللوغاريتمي هو mu.” إنه mu - 0.5 sigma^2 وفق الترميز الفعلي المستخدم هنا.
“الاحتمال المحايد للمخاطر توقع للعالم الحقيقي.” إنه مقياس تقييم في ظل افتراضات سوق معلنة.
“زيادة الخطوات أو المسارات تجعل نموذج السوق واقعيا.” تعالج التقسيم أو أخذ العينات، لا العناصر الاقتصادية المفقودة.
“الأسعار اللوغاريتمية الطبيعية الموجبة تحد مخاطر الهبوط.” يمكن أن تقترب الأسعار من الصفر بلا حد، كما يغفل GBM التعثر المفاجئ.