Геометрическое броуновское движение: меры, точное моделирование и модельный риск

Проверяйте GBM через физическую и риск-нейтральную меры, моменты логнормального распределения, точное моделирование и схему Эйлера, ошибку Монте-Карло, мониторинг траектории и ограничения модели.

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

При физической мере P геометрическое броуновское движение с постоянными параметрами записывается как dS_t / S_t = mu dt + sigma dW_t^P. Его точное решение имеет вид S_t = S_0 exp[(mu - 0.5 sigma^2)t + sigma W_t^P], поэтому ln(S_t / S_0) ~ N((mu - 0.5 sigma^2)t, sigma^2 t), а цены на конечном горизонте строго положительны.

Здесь mu — параметр мгновенного ожидаемого роста цены, а не средний темп роста логарифмической доходности. При риск-нейтральной мере Q цена актива без учета выплачиваемых дивидендов, имеющего непрерывную дивидендную доходность q, подчиняется dS_t / S_t = (r - q)dt + sigma dW_t^Q. Эти меры отвечают на разные вопросы и используют разные броуновские движения; риск-нейтральные вероятности не являются прогнозами доходности.

Постройте и проверьте GBM за семь шагов

Укажите, служит ли задача физическому прогнозированию, риск-нейтральной оценке, стресс-тестированию, численной проверке или обучению; не смешивайте результаты P и Q.
Зафиксируйте S_0, валюту, соглашение о цене или полной доходности, mu или r - q, волатильность, ставки, дивиденды, горизонт, метку времени, базис времени, начисление и порядок учета корпоративных действий.
Запишите SDE для выбранной меры, точное решение и единицы. При P выполняются E[S_t] = S_0 e^(mu t), Var[S_t] = S_0^2 e^(2 mu t)(e^(sigma^2 t) - 1) и E[S_t / S_0 - 1] = e^(mu t) - 1.
До моделирования траекторий или выплат проверьте среднее и дисперсию логарифмической доходности, среднее, дисперсию, медиану, моду и квантили цены, а также различие простой и логарифмической доходности.
Для GBM с кусочно-постоянными параметрами моделируйте по формуле S_(i+1) = S_i exp[(mu - 0.5 sigma^2) Delta t + sigma sqrt(Delta t) Z_i], используя независимые Z_i ~ N(0,1), зарегистрированный генератор и воспроизводимое начальное состояние. Сравнивайте со схемой Эйлера только при исследовании дискретизации.
Указывайте число траекторий, оценку, стандартную ошибку, доверительный интервал и сходимость. Для барьеров, экстремумов, первого прохождения и дискретного наблюдения учитывайте пересечения между шагами с помощью броуновских мостов либо явно заданного приближения наблюдения.
Разделяйте ошибки параметров, выборки, дискретизации и структурную ошибку модели; проводите стресс-тесты скачков, стохастической волатильности, тяжелых хвостов, эффекта рычага, дефолта, ликвидности, остановок, транзакционных издержек, расчетов и смены режимов.

Четыре примера с расчетами

Моменты физического распределения. Пусть S_0 = $100, mu = 8%, sigma = 20% и T = 1. Среднее логарифмической доходности равно 0.06, а дисперсия — 0.04. Медиана равна $106.1836546545, среднее — $108.3287067675, мода — $102.0201340027, дисперсия — $478.9188716836, стандартное отклонение — $21.8842151261. Шоки Z = -1 и Z = +1 дают $86.9358235399 и $129.6930086666; это сценарии, а не границы.
Точная траектория и схема Эйлера. При S_0 = $100, mu = 6%, sigma = 30%, Delta t = 0.25 и Z = [0.5, -1, 0.25, 1.25] точные цены равны $108.1933804806, $93.4727720616, $97.4091536282 и $117.9393118711. Схема Эйлера заканчивается на $119.3300424062. Точный экспоненциальный переход сохраняет положительность при этих постоянных коэффициентах; схема Эйлера имеет смещение дискретизации и может дать отрицательную цену.
Риск-нейтральная стоимость опциона. Пусть S_0 = $100, K = $105, r = 4%, q = 1.5%, sigma = 25% и T = 0.75. Форвард равен $101.8926885052, d_1 = -0.0304963995, а d_2 = -0.2470027504; стоимость европейского колла равна $7.2291486749. Физический дрейф mu не входит в эту контролируемую безарбитражную цену.
Ошибка выборки Монте-Карло. При P возьмем S_0 = $100, mu = 7%, sigma = 25% и T = 0.5. Для S_T > $120 порог равен z_star = 0.9217649222, а точная вероятность — 0.1783256040. При N = 100,000 независимых траекторий теоретическая стандартная ошибка оценки Бернулли равна 0.0012104775; полуширина интервала 95% равна 0.0023725358, что дает эталонный интервал с центром в истинном значении [0.1759530681, 0.1806981400]. Увеличение числа траекторий снижает ошибку выборки, но не ошибку модели.

Риски входных данных, расчетов и модели

Смешение физической и риск-нейтральной мер или соответствующих броуновских движений.
Принятие mu за средний темп логарифмической доходности или конечную простую доходность.
Смешение цены без учета выплаченных дивидендов, полной доходности и реинвестированных распределений.
Смешение r, r - q, дискретных дивидендов, начисления и форвардных соглашений.
Смешение календарного, торгового, внутридневного и годового времени.
Использование волатильности в процентах вместо десятичной дроби либо неверной годовой нормализации.
Использование устаревших параметров, пересмотренных данных, будущей информации или несогласованных меток времени.
Опора на короткую и шумную оценку дрейфа для определения направления.
Предположение о независимых стационарных гауссовских приращениях логарифмической доходности во всех режимах.
Предположение о совместимости постоянной волатильности с перекосом, срочной структурой, кластеризацией и эффектом рычага.
Пропуск скачков, ночных разрывов, внезапного дефолта до нуля и остановок торгов.
Предположение, что логнормальная модель отражает тяжелые хвосты и кризисную зависимость.
Игнорирование стохастических ставок, дивидендов, стоимости займа или структуры корреляций нескольких активов.
Использование схемы Эйлера при наличии точного перехода GBM либо игнорирование вероятности отрицательной цены.
Отсутствие записи генератора, начального состояния, метода антитетических переменных или снижения дисперсии и данных воспроизводимости.
Представление траекторий без стандартной ошибки оценки, доверительного интервала и проверки сходимости.
Пропуск пересечений барьера между шагами, экстремумов и событий первого прохождения.
Смешение увеличения числа временных шагов со снижением структурной ошибки модели.
Принятие калибровки по одной цене или одному моменту распределения за проверку модели.
Пропуск исполнимых цен, ликвидности, издержек, закрытия рынка, расчетов по продукту, управления и сверки.

Распространенные заблуждения

«GBM предсказывает цену акции». Он задает условное распределение при выбранных параметрах.
«Дрейф логарифмической доходности равен mu». При используемой здесь физической записи он равен mu - 0.5 sigma^2.
«Риск-нейтральная вероятность — прогноз реального мира». Это мера оценки при заданных рыночных предпосылках.
«Больше шагов или траекторий делают рыночную модель реалистичной». Они устраняют ошибку дискретизации или выборки, но не недостающие экономические факторы.
«Положительность логнормальных цен ограничивает риск падения». Цена может сколь угодно близко подойти к нулю, а GBM не учитывает внезапный дефолт.