Movimiento browniano geometrico: medidas, simulacion exacta y riesgo de modelo

Audite el GBM mediante las medidas fisica y neutral al riesgo, los momentos lognormales, la simulacion exacta frente a Euler, el error de Monte Carlo, la observacion de trayectorias y las limitaciones del modelo.

Solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversion. Invertir puede ocasionar perdidas.

Respuesta directa

Bajo la medida fisica P, el movimiento browniano geometrico con parametros constantes es dS_t / S_t = mu dt + sigma dW_t^P. Su solucion exacta es S_t = S_0 exp[(mu - 0.5 sigma^2)t + sigma W_t^P], por lo que ln(S_t / S_0) ~ N((mu - 0.5 sigma^2)t, sigma^2 t) y los precios a horizonte finito son estrictamente positivos.

Aqui mu es el parametro instantaneo de crecimiento esperado del precio, no el crecimiento medio del rendimiento logaritmico. Bajo la medida neutral al riesgo Q, un activo ex dividendo con rendimiento continuo q sigue dS_t / S_t = (r - q)dt + sigma dW_t^Q. Estas medidas responden preguntas distintas y utilizan movimientos brownianos distintos; las probabilidades neutrales al riesgo no son previsiones de rentabilidad.

Construya y valide el GBM en siete pasos

Indique si la tarea es una prevision fisica, una valoracion neutral al riesgo, una prueba de tension, una prueba numerica o docencia; no mezcle resultados de P y Q.
Fije S_0, moneda, convencion de precio o rentabilidad total, mu o r - q, volatilidad, tipos, dividendos, horizonte, marca temporal, computo de dias, capitalizacion y tratamiento de operaciones societarias.
Escriba la EDE especifica de la medida, la solucion exacta y las unidades. Bajo P, E[S_t] = S_0 e^(mu t), Var[S_t] = S_0^2 e^(2 mu t)(e^(sigma^2 t) - 1) y E[S_t / S_0 - 1] = e^(mu t) - 1.
Valide la media y varianza del rendimiento logaritmico, la media, varianza, mediana, moda y cuantiles del precio, y la diferencia entre rendimiento simple y logaritmico antes de usar trayectorias o pagos.
Para un GBM constante por tramos, simule con S_(i+1) = S_i exp[(mu - 0.5 sigma^2) Delta t + sigma sqrt(Delta t) Z_i], variables independientes Z_i ~ N(0,1), un generador registrado y una semilla reproducible. Compare Euler solo como estudio de discretizacion.
Informe el numero de trayectorias, estimador, error estandar, intervalo de confianza y convergencia. Para barreras, extremos, primer paso u observacion discreta, trate los cruces entre pasos con puentes brownianos o una aproximacion de observacion explicita.
Separe el error de parametros, muestreo, discretizacion y estructura del modelo; someta a tension saltos, volatilidad estocastica, colas pesadas, apalancamiento, impago, liquidez, suspensiones, costes de transaccion, liquidacion y cambios de regimen.

Cuatro ejemplos desarrollados

Momentos de la distribucion fisica. Sean S_0 = $100, mu = 8%, sigma = 20% y T = 1. La media del rendimiento logaritmico es 0.06 y su varianza 0.04. La mediana es $106.1836546545, la media $108.3287067675, la moda $102.0201340027, la varianza $478.9188716836 y la desviacion estandar $21.8842151261. Los choques Z = -1 y Z = +1 producen $86.9358235399 y $129.6930086666; son escenarios, no limites.
Trayectoria exacta frente a Euler. Con S_0 = $100, mu = 6%, sigma = 30%, Delta t = 0.25 y Z = [0.5, -1, 0.25, 1.25], los precios exactos son $108.1933804806, $93.4727720616, $97.4091536282 y $117.9393118711. Euler termina en $119.3300424062. La transicion exponencial exacta conserva la positividad con estos coeficientes constantes; Euler tiene sesgo de discretizacion y puede generar valores negativos.
Valor neutral al riesgo de una opcion. Sean S_0 = $100, K = $105, r = 4%, q = 1.5%, sigma = 25% y T = 0.75. El forward es $101.8926885052, d_1 = -0.0304963995 y d_2 = -0.2470027504; el valor de la call europea es $7.2291486749. La deriva fisica mu no interviene en este precio controlado por ausencia de arbitraje.
Error de muestreo de Monte Carlo. Bajo P, tome S_0 = $100, mu = 7%, sigma = 25% y T = 0.5. Para S_T > $120, el umbral es z_star = 0.9217649222 y la probabilidad exacta 0.1783256040. Con N = 100,000 trayectorias independientes, el error estandar teorico de Bernoulli es 0.0012104775; una semiamplitud al 95% es 0.0023725358, lo que da el intervalo de referencia centrado en la verdad [0.1759530681, 0.1806981400]. Mas trayectorias reducen el error de muestreo, no el de modelo.

Riesgos de datos, numericos y de modelo

Mezclar medidas fisicas y neutrales al riesgo o sus movimientos brownianos.
Tratar mu como crecimiento medio del rendimiento logaritmico o como rendimiento simple finito.
Confundir precio ex dividendo, rentabilidad total y distribuciones reinvertidas.
Mezclar r, r - q, dividendos discretos, capitalizacion y convenciones de forward.
Mezclar unidades temporales de calendario, negociacion, intradia y anualizadas.
Aplicar la volatilidad como porcentaje en vez de decimal o con una anualizacion incorrecta.
Usar parametros obsoletos, datos revisados, informacion futura o marcas temporales incoherentes.
Confiar en una estimacion corta y ruidosa de la deriva para anticipar la direccion.
Suponer incrementos logaritmicos gaussianos, estacionarios e independientes en todo regimen.
Considerar compatible la volatilidad constante con la sonrisa, estructura temporal, agrupamiento y efecto de apalancamiento.
Omitir saltos, gaps nocturnos, impagos a cero y suspensiones de negociacion.
Suponer que un modelo lognormal captura colas pesadas y dependencia en crisis.
Ignorar tipos, dividendos y coste de prestamo estocasticos o la correlacion multiactivo.
Usar Euler cuando existe una transicion GBM exacta o ignorar que puede producir precios negativos.
No registrar generador, semilla, metodo antitetico o de reduccion de varianza y datos de reproducibilidad.
Informar trayectorias sin error estandar del estimador, intervalo de confianza y convergencia.
Omitir cruces de barrera entre pasos, extremos y sucesos de primer paso.
Confundir mas pasos temporales con menor error estructural del modelo.
Tratar el ajuste a un precio o momento de la distribucion como validacion del modelo.
Omitir precios ejecutables, liquidez, costes, cierre del mercado, liquidacion del producto, gobierno y conciliacion.

Errores frecuentes

“El GBM predice el precio de una accion.” Define una distribucion condicional bajo parametros elegidos.
“La deriva del rendimiento logaritmico es mu.” Es mu - 0.5 sigma^2 con la notacion fisica utilizada aqui.
“La probabilidad neutral al riesgo es una prevision real.” Es una medida de valoracion bajo supuestos de mercado declarados.
“Mas pasos o trayectorias hacen realista el modelo de mercado.” Abordan el error de discretizacion o muestreo, no la economia ausente.
“Los precios lognormales positivos limitan el riesgo bajista.” Pueden acercarse arbitrariamente a cero y el GBM omite el impago repentino.