幾何ブラウン運動：Black–Scholesを支える有用な基準モデル
教育目的のみであり、投資助言ではありません
直接的な答え
Section titled “直接的な答え”**幾何ブラウン運動（GBM）**は、資産の割合変化を一定ドリフトとブラウン運動のショックで表す連続時間モデルです：dS(t) / S(t) = μ dt + σ dW(t)。解は S(T) = S0 exp[(μ − 0.5σ²)T + σW(T)]。対数リターンは正規、価格は対数正規で正を保ちます。Black–Scholesの中核なのは解析しやすいためで、実株価が完全に従うためではありません。
ドリフト、伊藤補正、価格測度
Section titled “ドリフト、伊藤補正、価格測度”ln[S(T)/S0]の平均は(μ − 0.5σ²)T、分散はσ²Tです。−0.5σ²補正が指数の凸性を相殺し、実世界設定でE[S(T)] = S0e^(μT)となります。期待価格成長μと平均対数成長は別です。
リスク中立価格評価ではμをr − qに置き換えます。実リターンがr − qになるという予測ではなく、割引後の取引資産に無裁定マルチンゲール条件を課します。GBMは連続経路、独立定常ガウス増分、一定ボラティリティを仮定し、決算ギャップ、厚い裾、変動性クラスタリング、スキュー、取引停止、デフォルト、流動性、費用を含みません。
$100からの1年分布
Section titled “$100からの1年分布”S0 = $100、μ = 8%、σ = 20%、T = 1なら平均対数リターンは6%、標準偏差は20%です。
- 中央値：
$100e^0.06 = $106.18。 - 期待値：
$100e^0.08 = $108.33。 Z = −1：$100e^(0.06−0.20) = $86.94。Z = +1：$100e^(0.06+0.20) = $129.69。
右に歪むため平均は中央値より高く、Z = ±1は境界ではありません。厳密離散更新は S(t+Δt)=S(t)exp[(μ−0.5σ²)Δt+σsqrt(Δt)Z]。Δt=1/252なら1標準偏差は1.26%です。経路数増加は標本誤差だけを減らします。
モデリング・チェックリスト
Section titled “モデリング・チェックリスト”- 実世界予測、リスク中立評価、ストレス、教育のどれかを明示する。
S0、ドリフト、変動性、配当、金利、期間、日数、刻み、時刻を記録する。- 年率入力と
Δtの単位を統一する。 - 厳密指数ステップと監査可能な種を使い、平均・分散を検証する。
- 経路数、標準誤差、収束、信頼区間を報告する。
- ジャンプ、状態変化、厚い裾、流動性ストレスと比較する。
- 経路依存では観測頻度とブラウン・ブリッジを確認する。
μで短期方向を予測しない。ノイズに比べ小さく推定困難です。- 良い適合を将来市場の証明とみなさない。
よくある誤解
Section titled “よくある誤解”- 「GBMは株価を予測する。」選んだパラメータ下の条件分布です。
- 「対数ドリフトは
μ。」この記法ではμ − 0.5σ²です。 - 「リスク中立確率は実世界予測だ。」無裁定評価用です。
- 「ステップ増加で現実的になる。」離散誤差だけを減らします。
- 「対数正規なら下方リスク限定。」正を保つがゼロへ任意に近づきます。
- 「一定変動性は問題ない。」期間構造、スキュー、クラスタリングと矛盾します。