幾何ブラウン運動：測度、厳密シミュレーション、モデル・リスク

物理測度とリスク中立測度、対数正規分布のモーメント、厳密法と Euler 法、モンテカルロ誤差、経路監視、モデルの限界から GBM を検証します。

教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資では損失が生じる可能性があります。

直接的な答え

物理測度 P の下で、パラメーターが一定の幾何ブラウン運動は dS_t / S_t = mu dt + sigma dW_t^P です。その厳密解は S_t = S_0 exp[(mu - 0.5 sigma^2)t + sigma W_t^P] であるため、ln(S_t / S_0) ~ N((mu - 0.5 sigma^2)t, sigma^2 t) となり、有限期間の価格は厳密に正です。

ここで mu は価格の瞬間的な期待成長率パラメーターであり、平均対数リターンの成長率ではありません。リスク中立測度 Q の下では、連続配当利回りが q の配当落ち資産は dS_t / S_t = (r - q)dt + sigma dW_t^Q に従います。両測度は異なる問いに答え、異なるブラウン運動を用います。リスク中立確率はリターン予測ではありません。

7段階で GBM を構築・検証する

目的が物理測度での予測、リスク中立評価、ストレステスト、数値テスト、教育のいずれかを明示し、P と Q の出力を混在させません。
S_0、通貨、価格またはトータル・リターンの基準、mu または r - q、ボラティリティ、金利、配当、期間、タイムスタンプ、日数計算、複利方式、コーポレート・アクションの扱いを固定します。
測度別の確率微分方程式、厳密解、単位を書き出します。P の下では、E[S_t] = S_0 e^(mu t)、Var[S_t] = S_0^2 e^(2 mu t)(e^(sigma^2 t) - 1)、および E[S_t / S_0 - 1] = e^(mu t) - 1 です。
経路やペイオフを使用する前に、対数リターンの平均と分散、価格の平均、分散、中央値、最頻値、分位点、および単純リターンと対数リターンの違いを検証します。
区分的にパラメーターが一定の GBM は S_(i+1) = S_i exp[(mu - 0.5 sigma^2) Delta t + sigma sqrt(Delta t) Z_i] でシミュレーションします。独立な Z_i ~ N(0,1)、記録した乱数生成器、再現可能な乱数シードを用います。Euler 法との比較は離散化の検証としてのみ行います。
経路数、推定量、標準誤差、信頼区間、収束を報告します。バリア、極値、初回通過、離散監視については、ブラウン・ブリッジまたは明示的な監視近似により時間ステップ間の通過を扱います。
パラメーター誤差、標本誤差、離散化誤差、構造的なモデル誤差を分離し、ジャンプ、確率的ボラティリティ、厚い裾、レバレッジ効果、デフォルト、流動性、取引停止、取引コスト、決済、レジーム転換をストレステストします。

4つの計算例

物理分布のモーメント。 S_0 = $100、mu = 8%、sigma = 20%、T = 1 とします。対数リターンの平均は 0.06、分散は 0.04 です。中央値は $106.1836546545、平均値は $108.3287067675、最頻値は $102.0201340027、分散は $478.9188716836、標準偏差は $21.8842151261 です。ショック Z = -1 と Z = +1 はそれぞれ $86.9358235399 と $129.6930086666 になります。これらはシナリオであり、上下限ではありません。
厳密経路と Euler 経路。 S_0 = $100、mu = 6%、sigma = 30%、Delta t = 0.25、Z = [0.5, -1, 0.25, 1.25] とすると、厳密な価格列は $108.1933804806、$93.4727720616、$97.4091536282、$117.9393118711 です。Euler 法の終値は $119.3300424062 です。これらの定数係数では厳密な指数遷移が正値性を保ちますが、Euler 法には離散化バイアスがあり、負値にもなり得ます。
リスク中立オプション価値。 S_0 = $100、K = $105、r = 4%、q = 1.5%、sigma = 25%、T = 0.75 とします。フォワード価格は $101.8926885052、d_1 = -0.0304963995、d_2 = -0.2470027504 で、ヨーロピアン・コールの価値は $7.2291486749 です。物理測度のドリフト mu は、この統制された無裁定価格には入りません。
モンテカルロ標本誤差。 P の下で S_0 = $100、mu = 7%、sigma = 25%、T = 0.5 とします。S_T > $120 に対するしきい値は z_star = 0.9217649222、厳密確率は 0.1783256040 です。独立な経路を N = 100,000 本生成した場合、Bernoulli 推定量の理論標準誤差は 0.0012104775 です。95% 区間の半幅は 0.0023725358 で、真値中心の参照区間は [0.1759530681, 0.1806981400] です。経路数を増やしても標本誤差が減るだけで、モデル誤差は減りません。

入力・数値・モデルのリスク

物理測度とリスク中立測度、または対応するブラウン運動を混同すること。
mu を平均対数リターン成長率や有限期間の単純リターンとみなすこと。
配当落ち価格、トータル・リターン、再投資された分配金を混同すること。
r、r - q、離散配当、複利方式、フォワードの基準を混同すること。
暦日、取引日、日中、年率換算の時間単位を混同すること。
パーセント表示のボラティリティを小数として使うこと、または年率換算を誤ること。
古いパラメーター、改訂後データ、先読み情報、一貫しないタイムスタンプを使うこと。
短期間のノイズの大きいドリフト推定値に方向判断を依存すること。
あらゆるレジームでガウス対数増分が独立かつ定常であると仮定すること。
一定ボラティリティでスキュー、期間構造、クラスタリング、レバレッジ効果を説明できるとみなすこと。
ジャンプ、翌日へのギャップ、ゼロへのデフォルト、取引停止を省くこと。
対数正規モデルが厚い裾や危機時の依存関係を捉えると考えること。
確率的金利、配当、借株、複数資産の相関構造を無視すること。
厳密な GBM 遷移が使えるのに Euler 法を使うこと、または負の価格が生じ得る点を無視すること。
乱数生成器、シード、対照変数法、分散削減法、再現用データを記録しないこと。
推定量の標準誤差、信頼区間、収束を示さず、経路数だけを報告すること。
時間ステップ間のバリア通過、極値、初回通過事象を見落とすこと。
時間ステップを増やすことと構造的なモデル誤差を減らすことを混同すること。
1つの価格または分布モーメントへの較正をモデル検証とみなすこと。
約定可能価格、流動性、コスト、休場、商品決済、ガバナンス、照合を省くこと。

よくある誤解

「GBM は株価を予測する。」 選択したパラメーターの下で条件付き分布を定義するモデルです。
「対数リターンのドリフトは mu である。」 本稿の物理測度の表記では mu - 0.5 sigma^2 です。
「リスク中立確率は実世界の予測である。」 明示した市場仮定の下で用いる評価測度です。
「ステップ数や経路数を増やせば市場モデルは現実的になる。」 改善するのは離散化誤差または標本誤差であり、欠落した経済構造ではありません。
「対数正規価格は正なので、下方リスクには上限がある。」 価格は限りなくゼロに近づき得るうえ、GBM は突然のデフォルトを表しません。