Lognormale Aktienkurse: Annahme, Mathematik und Grenzen

Verstehen Sie, warum klassische Optionsmodelle lognormale Aktienpreise verwenden, wie sich einfache und logarithmische Renditen unterscheiden, wie Durchschnitts- und Medianpreise voneinander abweichen und warum Fat Tails, Sprünge und sich ändernde Volatilität die Annahme einschränken.

Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen.

Direkte Antwort

Klassische Optionsmodelle gehen häufig davon aus, dass ein zukünftiger Aktien- Preis logarithmisch normalverteilt ist, was bedeutet, dass seine kontinuierlich zusammengesetzte logarithmische Rendite normalverteilt ist. Der Preis selbst wird nicht als normal angenommen, und eine Rendite ist nicht „lognormal“. Unter geometrischer Brownscher Bewegung:

S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z], wobei Z∼N(0,1).

Dabei ist μ die Kursdrift unter dem verwendeten Wahrscheinlichkeitsmaß, σ die Volatilität und T der Zeithorizont. Die Exponentialfunktion hält modellierte Kurse positiv, macht logarithmische Mehrperiodenrenditen additiv und führt zu handhabbaren Optionsformeln. Reale Märkte erfüllen die Annahme nicht exakt: Renditen zeigen Schiefe, Fat Tails, Volatilitätscluster, Sprünge, Handelsunterbrechungen und wechselnde Verteilungen. Lognormalität ist ein transparenter Vergleichsmaßstab, kein Marktgesetz.

Verteilungs- und Bewertungsmechanik

Die einfache Rendite ist R=S_T/S_0-1; die logarithmische Rendite ist g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R). Logarithmische Renditen addieren sich über die Zeit, einfache Renditen werden dagegen multiplikativ verkettet. Ein Anstieg von $100 auf $110 und anschließender Rückgang auf $99 ergibt ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005%. Wer +10% und -10% als einfache Renditen addiert, käme fälschlich auf null.

Wenn ln S_T∼N(m,v) gilt, beträgt der Kursmedian e^m, der Mittelwert e^(m+v/2) und der Modalwert e^(m-v). Die rechtsschiefe Kursverteilung hat null als Untergrenze und keine endliche Obergrenze. Sie kann in endlicher Zeit nicht exakt null erreichen; Ausfall und andere absorbierende Ereignisse müssen daher separat modelliert werden.

Unter dem physischen Maß erfordert die Wahl von μ eine Renditeannahme oder -schätzung. Unter dem risikoneutralen Black-Scholes-Maß wird die Kursdrift zu r−q; der Mittelwert der logarithmischen Rendite ist dann (r-q-σ²/2)T. Diese Verteilung bewertet bedingte Ansprüche unter Arbitragefreiheit und prognostiziert keine realen Häufigkeiten. Eine konstante σ würde zudem für alle Ausübungspreise einer Laufzeit dieselbe implizite Volatilität bedeuten, entgegen dem beobachteten Skew oder Smile.

Ein Beispiel für eine einjährige Verteilung

Sei S_0=$100, und die logarithmische Einjahresrendite sei mit Mittelwert 5% und Standardabweichung 20% normalverteilt. Der Median des künftigen Kurses beträgt $100e^0.05=$105.13, sein Mittelwert $100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25 und sein Modalwert $100e^(0.05-0.20²)=$101.01. Der „erwartete Kurs“ ist somit weder die Mitte noch der wahrscheinlichste Wert der Verteilung.

Mit Z=-1 und Z=+1 als Näherungen für das 16. und 84. Perzentil ergeben sich $100e^(0.05-0.20)=$86.07 und $100e^(0.05+0.20)=$128.40. Die Spanne in Dollar ist asymmetrisch, obwohl das Intervall der logarithmischen Rendite symmetrisch ist.

Ein weiteres Beispiel zeigt, warum die Renditedefinition wichtig ist. Nach einem Rückgang um 50% von $100 auf $50 und einem anschließenden Anstieg um 50% liegt der Kurs nur bei $75; die kumulierte einfache Rendite beträgt -25%. Die logarithmischen Renditen summieren sich exakt zu ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%. Für die Erholung von $50 auf $100 ist ein Anstieg um 100% erforderlich.

Checkliste für Tests und Modellrisiken

Verwenden Sie Gesamtrendite- oder korrekt bereinigte Kursdaten; Aktiensplits und gewöhnliche Ausschüttungen können in unbereinigten Reihen falsche Sprünge erzeugen.
Stimmen Sie Zeitstempel, Währungen, Börsenschlusszeiten, fehlende Beobachtungen und handelsfreie Tage ab, bevor Sie Renditen berechnen.
Geben Sie ausdrücklich an, ob Sie einfache oder logarithmische Renditen verwenden; nur bei kleinen Veränderungen liegen beide nahe beieinander.
Vergleichen Sie empirische Schiefe, übermäßige Kurtosis, 1 %/5 %/95 %/99 %-Quantile, Histogramme und Q-Q-Diagramme mit einem normalen Benchmark.
Prüfen Sie ruhige Phasen und Krisen getrennt. Schon die Mischung wechselnder Volatilitätsregime kann eine unbedingte Renditeverteilung mit Fat Tails erzeugen.
Testen Sie die serielle Abhängigkeit in Renditen und quadrierten Renditen. Volatilitätsclustering verstößt gegen konstante unabhängige Inkremente.
Wenden Sie die √T-Skalierung rund um Ergebnisveröffentlichungen, geplante Ereignisse, langes Gedächtnis oder Regimewechsel nicht mechanisch an.
Trennen Sie die für die Prognose verwendeten physikalischen Parameter von den für die Preisgestaltung abgeleiteten risikoneutralen Parametern.
Nutzen Sie für die Bewertung über mehrere Ausübungspreise die aktuelle implizite Volatilitätsoberfläche, statt jedem Ausübungspreis dieselbe At-the-money-Volatilität aufzuzwingen.
Unterziehen Sie Sprünge, Ausfall, Handelsstopps, Liquiditätsverlust und eine Neubewertung der Volatilität außerhalb der stetigen Diffusion einem Stresstest.
Validieren Sie Parameter und Absicherungsfehler außerhalb der Stichprobe; eine Anpassung an historische Extreme beweist keine künftige Stabilität.
Simulieren Sie für pfadabhängige Optionen Zwischenpfade und Diskretisierungsfehler, nicht nur lognormale Terminalpreise.

Häufige Irrtümer

„Aktienrenditen sind logarithmisch normal.“ Die klassische Aussage ist, dass die Preise logarithmisch normal sind und die logarithmischen Renditen normal sind.
„Positiv modellierte Preise beweisen Realismus.“ Positivität erfasst keine Ausfälle, Sprünge, Fat Tails oder Volatilitätsregime.
„Der mittlere Preis ist der wahrscheinlichste Preis.“ Mittelwert, Median und Modus einer Lognormalverteilung unterscheiden sich.
„Ein symmetrischer Log-Rendite-Bereich ist in Dollar symmetrisch.“ Durch Potenzierung entsteht eine asymmetrische Preisspanne.
„Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit ist die tatsächliche Wahrscheinlichkeit.“ Sie ist das mit diskontierter arbitragefreier Bewertung konsistente Maß und dient einem anderen Zweck als eine reale Prognose.
„Die jährliche Volatilität ist immer die tägliche Volatilität mal √252.“ Diese Skalierung erfordert stabile unabhängige Inkremente.
„Eine historische Volatilität bewertet jede Option.“ Marktpreise implizieren im Allgemeinen eine vom Ausübungspreis und von der Laufzeit abhängige Volatilität.
„Seltene Ereignisse sollten als Ausreißer gestrichen werden.“ Nach Prüfung der Daten können Extreme wichtige Evidenz gegen die angenommene Randverteilung sein.
„Eine Stichprobe lognormaler Endkurse bewertet jedes Derivat.“ Barriere-, asiatische und amerikanische Optionen hängen vom Pfad oder von Ausübungsentscheidungen ab.