การเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเชิงเรขาคณิต: มาตรวัด การจำลองแบบแม่นตรง และความเสี่ยงของแบบจำลอง

ตรวจสอบ GBM ผ่านมาตรวัดเชิงกายภาพและมาตรวัดเป็นกลางต่อความเสี่ยง โมเมนต์ของการแจกแจงล็อกนอร์มอล การจำลองแบบแม่นตรงเทียบกับออยเลอร์ ความคลาดเคลื่อนมอนติคาร์โล การติดตามเส้นทาง และข้อจำกัดของแบบจำลอง

จัดทำขึ้นเพื่อการศึกษาเท่านั้น ไม่ใช่คำแนะนำการลงทุน การลงทุนอาจทำให้สูญเสียเงินลงทุนได้

คำตอบโดยตรง

ภายใต้มาตรวัดเชิงกายภาพ P การเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเชิงเรขาคณิตที่มีพารามิเตอร์คงที่เขียนได้เป็น dS_t / S_t = mu dt + sigma dW_t^P คำตอบแบบแม่นตรงคือ S_t = S_0 exp[(mu - 0.5 sigma^2)t + sigma W_t^P] ดังนั้น ln(S_t / S_0) ~ N((mu - 0.5 sigma^2)t, sigma^2 t) และราคา ณ ขอบเวลาจำกัดจะเป็นบวกอย่างเคร่งครัด

ในที่นี้ mu คือพารามิเตอร์การเติบโตของราคาคาดหมายแบบฉับพลัน ไม่ใช่อัตราการเติบโตเฉลี่ยของผลตอบแทนลอการิทึม ภายใต้มาตรวัดเป็นกลางต่อความเสี่ยง Q สินทรัพย์ที่ไม่รวมเงินปันผลและมีอัตราผลตอบแทนต่อเนื่อง q เป็นไปตาม dS_t / S_t = (r - q)dt + sigma dW_t^Q มาตรวัดทั้งสองตอบคำถามต่างกันและใช้การเคลื่อนที่แบบบราวเนียนต่างกัน ความน่าจะเป็นที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงจึงไม่ใช่การพยากรณ์ผลตอบแทน

สร้างและตรวจสอบ GBM ในเจ็ดขั้นตอน

ระบุว่างานนี้เป็นการพยากรณ์เชิงกายภาพ การประเมินมูลค่าแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยง การทดสอบภาวะวิกฤต การทดสอบเชิงตัวเลข หรือการสอน และอย่าปะปนผลลัพธ์จาก P กับ Q
กำหนด S_0 สกุลเงิน แบบแผนราคาหรือผลตอบแทนรวม mu หรือ r - q ความผันผวน อัตราดอกเบี้ย เงินปันผล ขอบเวลา เวลาประทับ หลักเกณฑ์นับวัน การทบต้น และการปฏิบัติต่อเหตุการณ์ของบริษัท
เขียนสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มตามมาตรวัด คำตอบแบบแม่นตรง และหน่วย ภายใต้ P จะได้ E[S_t] = S_0 e^(mu t), Var[S_t] = S_0^2 e^(2 mu t)(e^(sigma^2 t) - 1) และ E[S_t / S_0 - 1] = e^(mu t) - 1
ตรวจสอบค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของผลตอบแทนลอการิทึม ค่าเฉลี่ยราคา ความแปรปรวน มัธยฐาน ฐานนิยม ควอนไทล์ และความแตกต่างระหว่างผลตอบแทนแบบธรรมดากับแบบลอการิทึม ก่อนใช้เส้นทางหรือผลตอบแทนตามสัญญา
สำหรับ GBM ที่มีค่าคงที่เป็นช่วง ให้จำลองด้วย S_(i+1) = S_i exp[(mu - 0.5 sigma^2) Delta t + sigma sqrt(Delta t) Z_i] โดยใช้ Z_i ~ N(0,1) ที่เป็นอิสระ บันทึกตัวสร้างเลขสุ่ม และใช้ค่าเริ่มต้นสุ่มที่ทำซ้ำได้ เปรียบเทียบกับออยเลอร์เฉพาะในการศึกษาการแบ่งช่วงเท่านั้น
รายงานจำนวนเส้นทาง ตัวประมาณ ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน ช่วงความเชื่อมั่น และการลู่เข้า สำหรับแนวกั้น ค่าสุดขีด เวลาที่ผ่านระดับครั้งแรก หรือการติดตามแบบไม่ต่อเนื่อง ให้จัดการการข้ามระหว่างขั้นด้วยสะพานบราวเนียนหรือระบุการประมาณการติดตามอย่างชัดเจน
แยกความคลาดเคลื่อนของพารามิเตอร์ การสุ่มตัวอย่าง การแบ่งช่วง และโครงสร้างแบบจำลอง ทดสอบภาวะวิกฤตสำหรับการกระโดด ความผันผวนสุ่ม หางหนา อัตราทด การผิดนัด สภาพคล่อง การหยุดซื้อขาย ต้นทุนธุรกรรม การชำระราคา และการเปลี่ยนระบอบ

ตัวอย่างคำนวณสี่กรณี

โมเมนต์ของการแจกแจงเชิงกายภาพ กำหนด S_0 = $100, mu = 8%, sigma = 20% และ T = 1 ค่าเฉลี่ยของผลตอบแทนลอการิทึมคือ 0.06 และความแปรปรวนคือ 0.04 มัธยฐานเท่ากับ $106.1836546545 ค่าเฉลี่ย $108.3287067675 ฐานนิยม $102.0201340027 ความแปรปรวน $478.9188716836 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $21.8842151261 แรงกระทบ Z = -1 และ Z = +1 ให้ราคา $86.9358235399 และ $129.6930086666 ซึ่งเป็นสถานการณ์จำลอง ไม่ใช่ขอบเขต
เส้นทางแบบแม่นตรงเทียบกับออยเลอร์ เมื่อ S_0 = $100, mu = 6%, sigma = 30%, Delta t = 0.25 และ Z = [0.5, -1, 0.25, 1.25] ราคาแบบแม่นตรงคือ $108.1933804806, $93.4727720616, $97.4091536282 และ $117.9393118711 ส่วนออยเลอร์สิ้นสุดที่ $119.3300424062 การเปลี่ยนผ่านแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่แม่นตรงคงความเป็นบวกสำหรับสัมประสิทธิ์คงที่เหล่านี้ แต่ออยเลอร์มีอคติจากการแบ่งช่วงและอาจให้ค่าติดลบ
มูลค่าออปชันแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยง กำหนด S_0 = $100, K = $105, r = 4%, q = 1.5%, sigma = 25% และ T = 0.75 ราคาฟอร์เวิร์ดคือ $101.8926885052, d_1 = -0.0304963995 และ d_2 = -0.2470027504 มูลค่าคอลออปชันแบบยุโรปคือ $7.2291486749 ดริฟต์เชิงกายภาพ mu ไม่ได้อยู่ในราคาปลอดการทำกำไรโดยไร้ความเสี่ยงที่ควบคุมนี้
ความคลาดเคลื่อนจากการสุ่มตัวอย่างมอนติคาร์โล ภายใต้ P กำหนด S_0 = $100, mu = 7%, sigma = 25% และ T = 0.5 สำหรับ S_T > $120 ค่าเกณฑ์คือ z_star = 0.9217649222 และความน่าจะเป็นแบบแม่นตรงคือ 0.1783256040 เมื่อมีเส้นทางอิสระ N = 100,000 เส้น ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานเชิงทฤษฎีของเบอร์นูลลีคือ 0.0012104775 ครึ่งความกว้างที่ 95% คือ 0.0023725358 จึงได้ช่วงอ้างอิงที่มีค่าจริงเป็นศูนย์กลาง [0.1759530681, 0.1806981400] การเพิ่มจำนวนเส้นทางลดความคลาดเคลื่อนจากการสุ่มตัวอย่าง แต่ไม่ลดความคลาดเคลื่อนของแบบจำลอง

ความเสี่ยงด้านข้อมูลนำเข้า ตัวเลข และแบบจำลอง

ปะปนมาตรวัดเชิงกายภาพกับมาตรวัดเป็นกลางต่อความเสี่ยง หรือปะปนการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน
ถือว่า mu เป็นการเติบโตเฉลี่ยของผลตอบแทนลอการิทึมหรือเป็นผลตอบแทนแบบธรรมดาสำหรับช่วงเวลาจำกัด
สับสนระหว่างราคาที่ไม่รวมเงินปันผล ผลตอบแทนรวม และเงินจ่ายที่นำกลับมาลงทุน
ปะปน r, r - q, เงินปันผลแบบไม่ต่อเนื่อง การทบต้น และแบบแผนฟอร์เวิร์ด
ปะปนหน่วยเวลาปฏิทิน วันซื้อขาย ระหว่างวัน และรายปี
ใช้ความผันผวนเป็นเปอร์เซ็นต์แทนทศนิยมหรือปรับเป็นรายปีผิดวิธี
ใช้พารามิเตอร์ล้าสมัย ข้อมูลที่ปรับย้อนหลัง ข้อมูลอนาคต หรือเวลาประทับที่ไม่สอดคล้องกัน
พึ่งพาค่าประมาณดริฟต์ระยะสั้นที่มีสัญญาณรบกวนเพื่อคาดการณ์ทิศทาง
สมมติว่าส่วนเพิ่มลอการิทึมแบบเกาส์เป็นอิสระและคงที่ในทุกระบอบ
ถือว่าความผันผวนคงที่สอดคล้องกับสกิว โครงสร้างตามอายุ การกระจุกตัว และผลของอัตราทด
ละเลยการกระโดด ช่องว่างข้ามคืน เหตุผิดนัดที่ทำให้มูลค่าเป็นศูนย์ และการหยุดซื้อขาย
สมมติว่าแบบจำลองล็อกนอร์มอลสะท้อนหางหนาและความสัมพันธ์ในภาวะวิกฤต
ละเลยอัตราดอกเบี้ย เงินปันผล ต้นทุนการยืม หรือโครงสร้างสหสัมพันธ์หลายสินทรัพย์ที่เป็นแบบสุ่ม
ใช้ออยเลอร์ทั้งที่มีการเปลี่ยนผ่าน GBM แบบแม่นตรง หรือมองข้ามความเป็นไปได้ที่ราคาจากออยเลอร์จะติดลบ
ไม่บันทึกตัวสร้างเลขสุ่ม ค่าเริ่มต้นสุ่ม วิธีแอนทิธีติกหรือการลดความแปรปรวน และข้อมูลสำหรับทำซ้ำ
รายงานเส้นทางโดยไม่มีความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของตัวประมาณ ช่วงความเชื่อมั่น และการลู่เข้า
พลาดการข้ามแนวกั้นระหว่างขั้น ค่าสุดขีด และเหตุการณ์ผ่านระดับครั้งแรก
สับสนว่าการเพิ่มจำนวนขั้นเวลาจะลดความคลาดเคลื่อนเชิงโครงสร้างของแบบจำลอง
ถือว่าการปรับเทียบกับราคาหรือโมเมนต์การแจกแจงเพียงค่าเดียวเป็นการตรวจสอบแบบจำลอง
ละเลยราคาที่ซื้อขายได้จริง สภาพคล่อง ต้นทุน การปิดตลาด การชำระราคาของผลิตภัณฑ์ ธรรมาภิบาล และการกระทบยอด

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

“GBM พยากรณ์ราคาหุ้น” GBM กำหนดการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขภายใต้พารามิเตอร์ที่เลือก
“ดริฟต์ของผลตอบแทนลอการิทึมคือ mu” ภายใต้สัญกรณ์เชิงกายภาพที่ใช้ที่นี่ ดริฟต์คือ mu - 0.5 sigma^2
“ความน่าจะเป็นที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงคือการพยากรณ์โลกจริง” ความน่าจะเป็นดังกล่าวเป็นมาตรวัดเพื่อการประเมินมูลค่าภายใต้ข้อสมมติของตลาดที่ระบุไว้
“ขั้นหรือเส้นทางที่มากขึ้นทำให้แบบจำลองตลาดสมจริง” จำนวนที่มากขึ้นช่วยเรื่องความคลาดเคลื่อนจากการแบ่งช่วงหรือการสุ่มตัวอย่าง ไม่ได้เติมกลไกเศรษฐกิจที่ขาดไป
“ราคาล็อกนอร์มอลที่เป็นบวกจำกัดความเสี่ยงขาลง” ราคาสามารถเข้าใกล้ศูนย์ได้โดยไม่มีขอบเขต และ GBM ไม่รวมการผิดนัดอย่างฉับพลัน