Movimento browniano geometrico: medidas, simulacao exata e risco de modelo

Audite o GBM por meio das medidas fisica e neutra ao risco, dos momentos lognormais, da simulacao exata versus Euler, do erro de Monte Carlo, do monitoramento de trajetorias e das limitacoes do modelo.

Somente para fins educacionais; nao constitui recomendacao nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

Resposta direta

Sob a medida fisica P, o movimento browniano geometrico com parametros constantes e dS_t / S_t = mu dt + sigma dW_t^P. Sua solucao exata e S_t = S_0 exp[(mu - 0.5 sigma^2)t + sigma W_t^P]; portanto, ln(S_t / S_0) ~ N((mu - 0.5 sigma^2)t, sigma^2 t) e os precos em horizonte finito sao estritamente positivos.

Aqui, mu e o parametro instantaneo de crescimento esperado do preco, nao o crescimento medio do retorno logaritmico. Sob a medida neutra ao risco Q, um ativo ex-dividendo com rendimento continuo q segue dS_t / S_t = (r - q)dt + sigma dW_t^Q. Essas medidas respondem a perguntas diferentes e usam movimentos brownianos distintos; probabilidades neutras ao risco nao sao previsoes de retorno.

Construa e valide o GBM em sete etapas

Declare se a tarefa e previsao fisica, avaliacao neutra ao risco, teste de estresse, teste numerico ou ensino; nao misture resultados de P e Q.
Fixe S_0, moeda, convencao de preco ou retorno total, mu ou r - q, volatilidade, taxas, dividendos, horizonte, timestamp, contagem de dias, capitalizacao e tratamento de eventos societarios.
Escreva a EDE especifica da medida, a solucao exata e as unidades. Sob P, E[S_t] = S_0 e^(mu t), Var[S_t] = S_0^2 e^(2 mu t)(e^(sigma^2 t) - 1) e E[S_t / S_0 - 1] = e^(mu t) - 1.
Valide media e variancia do retorno logaritmico, media, variancia, mediana, moda e quantis do preco e a distincao entre retorno simples e logaritmico antes de usar trajetorias ou payoffs.
Para GBM constante por trechos, simule com S_(i+1) = S_i exp[(mu - 0.5 sigma^2) Delta t + sigma sqrt(Delta t) Z_i], variaveis independentes Z_i ~ N(0,1), gerador registrado e semente reproduzivel. Compare Euler apenas como estudo de discretizacao.
Informe numero de trajetorias, estimador, erro-padrao, intervalo de confianca e convergencia. Para barreiras, extremos, primeira passagem ou monitoramento discreto, trate cruzamentos entre passos com pontes brownianas ou aproximacao de monitoramento explicita.
Separe erros de parametros, amostragem, discretizacao e estrutura do modelo; estresse saltos, volatilidade estocastica, caudas pesadas, alavancagem, default, liquidez, suspensoes, custos, liquidacao e mudancas de regime.

Quatro exemplos desenvolvidos

Momentos da distribuicao fisica. Considere S_0 = $100, mu = 8%, sigma = 20% e T = 1. A media do retorno logaritmico e 0.06 e a variancia 0.04. A mediana e $106.1836546545, a media $108.3287067675, a moda $102.0201340027, a variancia $478.9188716836 e o desvio-padrao $21.8842151261. Os choques Z = -1 e Z = +1 produzem $86.9358235399 e $129.6930086666; sao cenarios, nao limites.
Trajetoria exata versus Euler. Com S_0 = $100, mu = 6%, sigma = 30%, Delta t = 0.25 e Z = [0.5, -1, 0.25, 1.25], os precos exatos sao $108.1933804806, $93.4727720616, $97.4091536282 e $117.9393118711. Euler termina em $119.3300424062. A transicao exponencial exata preserva a positividade para esses coeficientes constantes; Euler tem vies de discretizacao e pode ficar negativo.
Valor neutro ao risco da opcao. Considere S_0 = $100, K = $105, r = 4%, q = 1.5%, sigma = 25% e T = 0.75. O forward e $101.8926885052, d_1 = -0.0304963995 e d_2 = -0.2470027504; o valor da call europeia e $7.2291486749. A deriva fisica mu nao entra nesse preco controlado por ausencia de arbitragem.
Erro de amostragem de Monte Carlo. Sob P, use S_0 = $100, mu = 7%, sigma = 25% e T = 0.5. Para S_T > $120, o limiar e z_star = 0.9217649222 e a probabilidade exata 0.1783256040. Com N = 100,000 trajetorias independentes, o erro-padrao teorico de Bernoulli e 0.0012104775; a meia largura a 95% e 0.0023725358, produzindo o intervalo de referencia centrado na verdade [0.1759530681, 0.1806981400]. Mais trajetorias reduzem o erro amostral, nao o erro de modelo.

Riscos de dados, numericos e de modelo

Misturar medidas fisica e neutra ao risco ou seus movimentos brownianos.
Tratar mu como crescimento medio do retorno logaritmico ou retorno simples finito.
Confundir preco ex-dividendo, retorno total e distribuicoes reinvestidas.
Misturar r, r - q, dividendos discretos, capitalizacao e convencoes de forward.
Misturar unidades de tempo de calendario, negociacao, intradia e anualizadas.
Aplicar volatilidade em percentual em vez de decimal ou com anualizacao errada.
Usar parametros obsoletos, dados revisados, informacao futura ou timestamps incoerentes.
Confiar em estimativa curta e ruidosa da deriva para prever direcao.
Supor incrementos logaritmicos gaussianos, estacionarios e independentes em todo regime.
Tratar volatilidade constante como compativel com skew, estrutura a termo, clusters e efeito de alavancagem.
Omitir saltos, gaps noturnos, defaults para zero e suspensoes de negociacao.
Supor que um modelo lognormal captura caudas pesadas e dependencia em crises.
Ignorar taxas, dividendos e custo de aluguel estocasticos ou correlacao multiactivo.
Usar Euler quando ha transicao GBM exata ou ignorar a possibilidade de preco negativo.
Nao registrar gerador, semente, metodo antitetico ou de reducao de variancia e dados de reproducibilidade.
Relatar trajetorias sem erro-padrao do estimador, intervalo de confianca e convergencia.
Perder cruzamentos de barreira entre passos, extremos e eventos de primeira passagem.
Confundir mais passos temporais com menor erro estrutural do modelo.
Tratar ajuste a um preco ou momento da distribuicao como validacao do modelo.
Omitir precos executaveis, liquidez, custos, fechamento do mercado, liquidacao do produto, governanca e reconciliacao.

Equivocos comuns

“O GBM preve o preco de uma acao.” Ele define uma distribuicao condicional sob parametros escolhidos.
“A deriva do retorno logaritmico e mu.” Ela e mu - 0.5 sigma^2 na notacao fisica usada aqui.
“Probabilidade neutra ao risco e previsao do mundo real.” E uma medida de avaliacao sob hipoteses de mercado declaradas.
“Mais passos ou trajetorias tornam o modelo de mercado realista.” Tratam erros de discretizacao ou amostragem, nao a economia ausente.
“Precos lognormais positivos limitam o risco de queda.” Podem se aproximar arbitrariamente de zero, e o GBM omite default repentino.