几何布朗运动：Black–Scholes 背后的实用基准
仅供教育参考，不构成投资建议
**几何布朗运动（GBM）**是连续时间模型，资产百分比变化由恒定漂移与布朗随机冲击组成：
dS(t) / S(t) = μ dt + σ dW(t)。
其解为 S(T) = S0 exp[(μ − 0.5σ²)T + σW(T)]。对数收益服从正态分布，价格服从对数正态分布，所以模型价格保持为正。GBM 是经典 Black–Scholes 框架的核心，因为它易于解析，而不是因为真实股票完全遵循它。
漂移、伊藤修正与定价测度
Section titled “漂移、伊藤修正与定价测度”期限 T 内，ln[S(T)/S0] 的均值是 (μ − 0.5σ²)T，方差是 σ²T。−0.5σ² 伊藤修正抵消指数函数的凸性，使真实世界设定下 E[S(T)] = S0e^(μT)。价格期望增长率 μ 与平均对数收益增长率并不相同。
风险中性定价把 μ 换为 r − q，即无风险利率减连续股息率。这不是预测股票真实回报等于 r − q，而是给贴现可交易资产施加无套利鞅条件。混淆真实世界与风险中性测度，会把投资观点错误塞进定价。
GBM 假设路径连续、增量独立平稳且服从高斯分布、波动率恒定。它遗漏财报跳空、厚尾、波动聚集、偏斜变化、停牌、违约机制、流动性和交易成本。缩小时间步不能修复这些结构缺失。
从 $100 出发的一年分布
Section titled “从 $100 出发的一年分布”设 S0 = $100、真实世界 μ = 8%、σ = 20%、T = 1。平均对数收益是 8% − 20%²/2 = 6%，标准差为 20%。
- 终值中位数：
$100e^0.06 = $106.18。 - 终值期望：
$100e^0.08 = $108.33。 - 标准正态冲击
Z = −1：$100e^(0.06−0.20) = $86.94。 Z = +1：$100e^(0.06+0.20) = $129.69。
均值高于中位数，因为对数正态价格分布右偏。Z = ±1 是情景，不是上下限。真实市场还可能直接跳到连续 GBM 路径无法瞬间跨越的价格。
精确离散模拟使用 S(t+Δt)=S(t)exp[(μ−0.5σ²)Δt+σsqrt(Δt)Z]。日步长 Δt=1/252 时，一倍随机标准差约 20%/sqrt(252)=1.26%。应固定随机种子并报告蒙特卡洛标准误；更多路径只减少抽样误差，不减少模型误差。
建模检查清单
Section titled “建模检查清单”- 说明任务是真实世界预测、风险中性定价、压力测试还是教学。
- 记录
S0、漂移、波动率、股息、利率、期限、日数、步长和数据时点。 - 统一年化输入与
Δt单位，不隐式混用交易日和自然年。 - 使用 GBM 精确指数步和可审计随机种子，核验模拟对数收益均值与方差。
- 报告路径数、标准误、收敛情况和置信区间。
- 将 GBM 与跳跃、波动状态切换、厚尾和流动性压力情景比较。
- 障碍或路径依赖产品需检查观察频率和布朗桥修正。
- 不要用
μ预测短期方向；漂移相对噪声很小且难以估计。 - 良好数值拟合只是模型条件下结果，不证明假设能描述未来市场。
- “GBM 预测股票价格。”它只在给定参数下规定条件分布。
- “对数收益漂移是
μ。”在这里的符号下是μ − 0.5σ²。 - “风险中性概率是真实预测。”它服务无套利估值并包含风险定价。
- “模拟步数越多越真实。”只能降低离散误差，不会增加跳跃或随机波动率。
- “对数正态代表下行有限。”有限模型时间内价格大于零，但可任意接近零。
- “恒定波动率无关紧要。”它与期限结构、偏斜、聚集和危机行为冲突。