几何布朗运动：测度、精确模拟与模型风险

从物理测度与风险中性测度、对数正态矩、精确模拟与 Euler 模拟、蒙特卡洛误差、路径监测和模型局限等方面审查 GBM。

仅供教育参考，不构成投资建议；投资可能产生损失。

直接答案

在物理测度 P 下，参数恒定的几何布朗运动为 dS_t / S_t = mu dt + sigma dW_t^P。其精确解是 S_t = S_0 exp[(mu - 0.5 sigma^2)t + sigma W_t^P]，因此 ln(S_t / S_0) ~ N((mu - 0.5 sigma^2)t, sigma^2 t)，有限期限的价格严格为正。

这里的 mu 是价格瞬时期望增长参数，并非平均对数收益增长率。在风险中性测度 Q 下，连续收益率为 q 的除息资产遵循 dS_t / S_t = (r - q)dt + sigma dW_t^Q。两种测度回答不同问题，并使用不同的布朗运动；风险中性概率不是收益预测。

分七步建立并验证 GBM

说明任务是物理测度预测、风险中性估值、压力测试、数值测试还是教学；不得混用 P 与 Q 的输出。
锁定 S_0、币种、价格或总收益口径、mu 或 r - q、波动率、利率、股息、期限、时间戳、日数惯例、复利方式以及公司行动处理方法。
写明特定测度下的随机微分方程、精确解与单位。在 P 下，E[S_t] = S_0 e^(mu t)、Var[S_t] = S_0^2 e^(2 mu t)(e^(sigma^2 t) - 1)，且 E[S_t / S_0 - 1] = e^(mu t) - 1。
在使用路径或损益函数前，验证对数收益的均值与方差、价格的均值、方差、中位数、众数和分位数，并区分简单收益与对数收益。
对分段常数 GBM，使用 S_(i+1) = S_i exp[(mu - 0.5 sigma^2) Delta t + sigma sqrt(Delta t) Z_i] 模拟，其中独立的 Z_i ~ N(0,1)，并记录随机数生成器及可复现的种子。Euler 方法只用于离散化对比研究。
报告路径数、估计量、标准误、置信区间与收敛情况。对于障碍、极值、首次穿越或离散监测，应使用布朗桥或明确的监测近似处理步长之间的穿越。
分开参数误差、抽样误差、离散化误差与结构性模型误差；对跳跃、随机波动率、厚尾、杠杆效应、违约、流动性、停牌、交易成本、结算和状态转换进行压力测试。

四个完整示例

物理分布的矩。 设 S_0 = $100、mu = 8%、sigma = 20%、T = 1。对数收益均值为 0.06，方差为 0.04。中位数为 $106.1836546545，均值为 $108.3287067675，众数为 $102.0201340027，方差为 $478.9188716836，标准差为 $21.8842151261。冲击 Z = -1 与 Z = +1 分别得到 $86.9358235399 和 $129.6930086666；这些是情景，不是边界。
精确路径与 Euler 路径。 设 S_0 = $100、mu = 6%、sigma = 30%、Delta t = 0.25，且 Z = [0.5, -1, 0.25, 1.25]，精确价格依次为 $108.1933804806、$93.4727720616、$97.4091536282 和 $117.9393118711。Euler 终值为 $119.3300424062。对这些常数系数，精确指数转移保持价格为正；Euler 存在离散化偏差，且可能产生负值。
风险中性期权价值。 设 S_0 = $100、K = $105、r = 4%、q = 1.5%、sigma = 25%、T = 0.75。远期价格为 $101.8926885052，d_1 = -0.0304963995，d_2 = -0.2470027504；欧式看涨期权价值为 $7.2291486749。物理漂移 mu 不进入这一受控的无套利价格。
蒙特卡洛抽样误差。 在 P 下，设 S_0 = $100、mu = 7%、sigma = 25%、T = 0.5。对于 S_T > $120，阈值为 z_star = 0.9217649222，精确概率为 0.1783256040。若有 N = 100,000 条独立路径，Bernoulli 理论标准误为 0.0012104775；95% 区间的半宽为 0.0023725358，以真值为中心的参考区间是 [0.1759530681, 0.1806981400]。增加路径只能降低抽样误差，不能降低模型误差。

输入、数值与模型风险

混用物理测度与风险中性测度，或混用相应的布朗运动。
把 mu 当作平均对数收益增长率或有限期简单收益。
混淆除息价格、总收益和再投资分配。
混用 r、r - q、离散股息、复利方式和远期口径。
混用自然日、交易日、日内和年化时间单位。
把百分数波动率当作小数输入，或采用错误的年化方法。
使用过时参数、修订后数据、前视信息或不一致的时间戳。
依赖短样本且噪声很大的漂移估计来判断方向。
假定所有市场状态下的高斯对数增量均独立同分布。
认为恒定波动率可兼容偏斜、期限结构、波动聚集和杠杆效应。
遗漏跳跃、隔夜缺口、归零违约事件和停牌。
认为对数正态模型能够捕捉厚尾和危机相关性。
忽略随机利率、股息、借券或多资产相关结构。
有精确 GBM 转移时仍使用 Euler，或忽略其产生负价格的可能性。
未记录生成器、种子、对偶变量或方差缩减方法及复现资料。
只报告路径数，不报告估计量标准误、置信区间和收敛情况。
漏掉步长之间的障碍穿越、极值和首次穿越事件。
混淆增加时间步数与降低结构性模型误差。
把对单一价格或分布矩的校准视为模型验证。
遗漏可成交价格、流动性、成本、休市、产品结算、治理与勾稽。

常见误区

“GBM 能预测一只股票的价格。” 它只在选定参数下定义条件分布。
“对数收益漂移是 mu。” 在本文物理测度符号下，它是 mu - 0.5 sigma^2。
“风险中性概率是真实世界预测。” 它是在明确市场假设下使用的估值测度。
“增加步数或路径数能让市场模型变得真实。” 它们处理离散化或抽样误差，而非缺失的经济机制。
“对数正态价格为正，所以限制了下行风险。” 价格可以任意接近零，而且 GBM 遗漏突然违约。